1.4 图形的位似（同步练习）-2024-2025学年九年级数学上册教材配套教学课件+同步练习（青岛版）

1.4图形的位似（同步练习）（原卷版） 一、单选题 1．如图中，已知，，且的面积为，则的面积为（      ） A． B． C． D． 2．如图，已知小鱼与大鱼是位似图形，则小鱼的点（a，b）对应大鱼的点（　　） A．(-a,-2b) B．(-2a,-b) C．(-2b,-2a) D．(-2a,-2b) 3．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA＝10cm，OA′＝20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比是（　　） A．1：2 B．2：1 C．1：3 D．3：1 4．如图，以点O为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到，以下说法中错误的是（    ）    A． B．点A，O，三点在同一条直线上 C． D． 5．如图，在中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是．以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，使得的边长是的边长的2倍．设点的坐标是，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．如图，中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，记所得的图形是．设点B的对应点的横坐标是，则点B的横坐标是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，是关于点的位似图形，点的对应点为点，且的坐标为，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 8．如图，和是位似图形，点O是位似中心，若，的周长为9，则的周长为（    ） A． B． C． D． 9．如图所示，与是位似图形，点O为位似中心．若，的周长为5，则的周长为（    ）    A．10 B．15 C．25 D．125 10．如图，与位似，点为位似中心，已知，且的面积为4，则的面积为（    ） A．8 B．10 C．16 D．36 二、填空题 11．线段AB、CD在平面直角坐标系中的网格位置，如图所示，O为坐标原点，A、B、C、D均在格点上，线段AB、CD是位似图形，位似中心的坐标是 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，且OA＝2．OC＝1，则矩形AOCB的对称中心的坐标是 ；在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B，…，按此规律，则矩形A4OC4B4的对称中心的坐标是 ． 13．如图，△A′B′C′是△ABC在点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC 的面积比是4：9，则OB′：OB为 ． 14．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的周长为 ．    15．如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，先以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1（点A，B的对应点分别为A1，B1），再将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，则四边形AA1B1A2的面积是 个平方单位． 三、解答题 16．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为．    (1)以坐标原点为位似中心，在轴上方作与的位似比为的位似图形． (2)顶点的坐标为 ，与的面积之比为 ． 17．如图，点和在平面直角坐标系中，点的坐标是，根据下列要求，解答相应的问题：    (1)作关于轴对称的，直接写出点的对应点的坐标； (2)作关于点成位似中心的位似，与的相似比为，且这两个三角形在点同侧，直接写出点的对应点的坐标． 18．如图，和是位似图形，与平行么？ 19．过梯形对角线的交点，作底的平行线分别交两腰于和，，求：图中的位似图形，并分别指出位似中心和位似比． 20．如图在6×6的方格中，每个小正方形的边长都是1，与都是格点三角形． （1）在图①中，请判断与是否相似，答： ； （2）在图②中以O为位似中心，请在网格内再画一个格点三角形，使它与位似，且位似比为2：1；（指出所画三角形的名称） （3）在图③中请画一个满足条件的格点三角形：它与相似，且有一条公共边和一个公共角．（指出所画三角形的名称） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4图形的位似（同步练习）（解析版） 一、单选题 1．如图中，已知，，且的面积为，则的面积为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，可推出和的面积比，由已知和的面积和是18，可求出的面积，同理，由，可知和的面积比，即可求出的面积. 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：B 【点睛】本题考查了两个三角形同高时，面积比就等于底边的比，已知两个三角形底边比和面积和，即可分别求出两个三角形面积. 2．如图，已知小鱼与大鱼是位似图形，则小鱼的点（a，b）对应大鱼的点（　　） A．(-a,-2b) B．(-2a,-b) C．(-2b,-2a) D．(-2a,-2b) 【答案】D 【分析】直接利用位似图形的性质得出位似比，进而得出答案． 【详解】解：由图形可得，小鱼与大鱼的位似比为：1：2， 则小鱼的点（a，b）对应大鱼的点为：（﹣2a，﹣2b）． 故选D． 【点睛】考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确得出位似比是解题关键． 3．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA＝10cm，OA′＝20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比是（　　） A．1：2 B．2：1 C．1：3 D．3：1 【答案】A 【分析】由以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA＝10cm，OA′＝20cm，可得五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为：10：20＝1：2，然后由相似多边形的性质进一步求解即可. 【详解】∵以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA＝10cm，OA′＝20cm， ∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为：10：20＝1：2， ∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比是：1：2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握相关概念是解题关键. 4．如图，以点O为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到，以下说法中错误的是（    ）    A． B．点A，O，三点在同一条直线上 C． D． 【答案】A 【分析】根据位似的性质对各选项进行判断后即可解答． 【详解】∵点O为位似中心，把△ABC中放大到原来的2倍得到△A'B'C'， ∴，，，点A，O，三点在同一条直线上． ∴， 综上，只有选项A错误，符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似的性质：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行（或共线）． 5．如图，在中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是．以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，使得的边长是的边长的2倍．设点的坐标是，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，根据相似三角形的性质求出CE，B′E的长，得到点B′的坐标． 【详解】作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E， ∵点的坐标是,点的坐标是， ∴CD=2，BD=， 由题意得：C∽△,相似比为1:2， ∴， ∴CE=4，B′E=1， ∴点B′的坐标为（3，-1）， 故选：A． 【点睛】本题考查了位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似变换的性质是解答的关键． 6．如图，中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，记所得的图形是．设点B的对应点的横坐标是，则点B的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的性质．的边长是的边长的2倍，过点B作轴于点M，过点作轴于点N，可证得，再由相似三角形对应边成比例的性质，解得点的横坐标为a，解得的长为，，据此解题． 【详解】解：如图，过点B作轴于点M，过点作轴于点N， 则， ∴， 又由已知条件知，，， ∴， ∴，， ∴． ∴点B的横坐标为． 故选：D． 7．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，是关于点的位似图形，点的对应点为点，且的坐标为，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，B′作B′F⊥x轴于点F，根据位似变换的性质得到，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】解：过点B作BE⊥x轴于点E，B′作B′F⊥x轴于点F，    则BE∥B′F， ∵点A、B的坐标分别为（4，0）、（2，-3）， ∴OE=EA=2，BE=3， ∵△AB′O′是△ABO关于的A的位似图形，且O′的坐标为（-2，0）， ∴OB∥O′B′， ∴， ∵BE∥B′F， ∴△AEB∽△AFB′， ∴， 即， 解得，AF=3，B′F=， ∴OF=1， 则点B'的坐标为(1，)， 故选：C. 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形. 8．如图，和是位似图形，点O是位似中心，若，的周长为9，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是位似变换的概念，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据位似图形的概念，，，根据相似三角形的周长比等于相似比即可解答． 【详解】解：和是位似图形， ，， ， ， 的的周长是9， 的周长是 故选：A 9．如图所示，与是位似图形，点O为位似中心．若，的周长为5，则的周长为（    ）    A．10 B．15 C．25 D．125 【答案】A 【分析】根据位似图形的概念得到，进而证明，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵与是位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与的周长比为， ∵的周长为5， ∴的周长为． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念，相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 10．如图，与位似，点为位似中心，已知，且的面积为4，则的面积为（    ） A．8 B．10 C．16 D．36 【答案】D 【分析】利用位似的性质得到△ABC∽△DEF，AB∥DE，所以，然后根据相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心， ∴△ABC∽△DEF，AB∥DE， ∴ ∵△ABC∽△DEF ∴， ∴S△DEF=9S△ABC=9×4=36， 故选：D． 【点睛】本题考查了位似变换：位似的两图形两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行（或共线）． 二、填空题 11．线段AB、CD在平面直角坐标系中的网格位置，如图所示，O为坐标原点，A、B、C、D均在格点上，线段AB、CD是位似图形，位似中心的坐标是 ． 【答案】(0，0)或(，4) 【分析】分①点A和点C为对应点，点B和点D为对应点；②点A和点D为对应点，点B和点C为对应点两种情况，根据位似中心的概念解答． 【详解】解：①当点A和点C为对应点，点B和点D为对应点时，延长CA、BD交于点O，则位似中心的坐标是（0，0）， ②当点A和点D为对应点，点B和点C为对应点时，连接AD、BC交于点P， 则点P为位似中心， ∵线段AB、CD是位似图形， ∴AB∥CD， ∴△PAB∽△PDC， ∴，即， ∴AP， ∴位似中心点P的坐标是(，4)，即(，4)， 综上所述，位似中心点的坐标是(0，0)或(，4)， 故答案为：(0，0)或(，4)． 【点睛】本题考查了位似图形的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似图形的概念是解题的关键． 12．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，且OA＝2．OC＝1，则矩形AOCB的对称中心的坐标是 ；在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B，…，按此规律，则矩形A4OC4B4的对称中心的坐标是 ． 【答案】 （﹣1，）， （﹣，）． 【分析】先利用矩形的性质写出B点坐标，则根据线段中点坐标公式可写出矩形AOCB的对称中心的坐标；再利用以原点为位似中心的对应点的坐标之间的关系分别写出B1、B2、B3、B4的坐标，然后矩形A4OC4B4的对称中心的坐标． 【详解】解：∵OA=2．OC=1， ∴B（-2，1）， ∴矩形AOCB的对称中心的坐标为（-1，）， ∵将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1， ∴B1（-3，）， 同理可得B2（-，），B3（-，），B4（-，）， ∴矩形A4OC4B4的对称中心的坐标是（﹣，）． 故答案为（-1，），（﹣，）． 【点睛】本题考查作图-位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 13．如图，△A′B′C′是△ABC在点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC 的面积比是4：9，则OB′：OB为 ． 【答案】 【详解】分析：先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可． 详解：由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC， ∴△A′B′C′∽△ABC． ∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9， ∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3， ∴OB′：OB=2：3 故答案为2：3． 点睛：本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 14．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的周长为 ．    【答案】 【分析】根据正方形的面积为2，求出，根据位似比求出，周长即可得出； 【详解】解：连接，则是四边形的外接圆的直径．   正方形的面积为2， ， ， ， ， ∴四边形的外接圆的周长； 故答案为：． 【点睛】本题考查位似图形，涉及知识点：正方形的面积，正方形的对角线，圆的周长，解题关键求出正方形的边长． 15．如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，先以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1（点A，B的对应点分别为A1，B1），再将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，则四边形AA1B1A2的面积是 个平方单位． 【答案】20 【分析】以点为位似中心，将线段放大为原来的倍，即可画出线段；将线段绕点逆时针旋转得到线段，即可画出线段；连接，即可得到四边形为正方形，进而得出其面积. 【详解】如图所示，线段即为所求， 如图所示，线段即为所求； 由图可得，四边形为正方形， 四边形的面积是. 故答案为. 【点睛】此题主要考查了位似变换以及旋转的性质以及勾股定理等知识的运用，利用相似变换的性质得出对应点的位置是解题关键. 三、解答题 16．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为．    (1)以坐标原点为位似中心，在轴上方作与的位似比为的位似图形． (2)顶点的坐标为 ，与的面积之比为 ． 【答案】(1)作图见解析 (2) ； 【分析】 （1）根据位似图形性质作图即可得到答案； （2）由（1）中作的位似图形得到顶点的坐标，再由相似的性质即可得到面积比． 【详解】（1）解：如图所示：    即为所求； （2）解：由（1）中所作图形可得顶点的坐标为；由相似三角形性质可知，与的面积之比为； 故答案为：；． 【点睛】 本题考查复杂作图-位似作图、坐标与图像及相似三角形性质，熟练掌握位似定义及性质是解决问题的关键． 17．如图，点和在平面直角坐标系中，点的坐标是，根据下列要求，解答相应的问题：    (1)作关于轴对称的，直接写出点的对应点的坐标； (2)作关于点成位似中心的位似，与的相似比为，且这两个三角形在点同侧，直接写出点的对应点的坐标． 【答案】(1)作图见详解， (2)作图见详解， 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可，再结合网格坐标，可得出的坐标； （2）根据与的相似比为，且这两个三角形在点同侧，连接并延长至D点，使得，连接并延长至E点，使得，连接并延长至F点，使得，依次连接D、E、F点即可得，问题随之得解． 【详解】（1）如图，      即为所求， 结合图形，点的对应点的坐标为：； （2）如图，      即为所求， 结合图形，点的对应点的坐标． 【点睛】本题主要考查了画位似图形、轴对称图形等知识，理解位似图形的性质是解答本题的关键． 18．如图，和是位似图形，与平行么？ 【答案】AB//CD ，理由见解析. 【分析】两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，并且对应边互相平行或位于同一直线上，像这样的两个图形叫做位似图形；根据两个三角形是位似图形可以得到它们相似，再利用相似三角形的性质定理得到AB与CD平行. 【详解】；原因如下： ∵与是位似图形， ∴， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）． 【点睛】本题主要考查学生对位似图形概念和相似三角形性质定理的掌握和应用，熟练掌握相似三角形的相关定理是解题关键. 19．过梯形对角线的交点，作底的平行线分别交两腰于和，，求：图中的位似图形，并分别指出位似中心和位似比． 【答案】和是位似图形，点为位似中心，位似比为；和是位似图形，点为位似中心，位似比为；和是位似图形，点为位似中心，位似比为；和是位似图形，点为位似中心，位似比为；和是位似图形，点为位似中心，位似比为． 【分析】由于PM∥AB∥CD，根据相似三角形的判定易得△DPM∽△DAB，△CQM∽△CBA，△APM∽△ADC，△BQM∽△BCD，再利用相似的性质求出它们的相似比，然后根据位似图形、位似中心和位似比可判断△DPM和△DAB是位似图形，点D为位似中心，位似比为；△CMQ和△CAB是位似图形，点C为位似中心，位似比为；△APM和△ADC是位似图形，点A为位似中心，位似比为；△BMQ和△BDC是位似图形，点B为位似中心，位似比为；△MCD和△MAB是位似图形，点M为位似中心，位似比为． 【详解】∵， ∴，相似比， 同理可得，相似比， ∵， ∴，相似比， 同理可得，相似比， ∵四边形为梯形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴和是位似图形，点为位似中心，位似比为； 和是位似图形，点为位似中心，位似比为； 和是位似图形，点为位似中心，位似比为； 和是位似图形，点为位似中心，位似比为； 和是位似图形，点为位似中心，位似比为． 【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行． 20．如图在6×6的方格中，每个小正方形的边长都是1，与都是格点三角形． （1）在图①中，请判断与是否相似，答： ； （2）在图②中以O为位似中心，请在网格内再画一个格点三角形，使它与位似，且位似比为2：1；（指出所画三角形的名称） （3）在图③中请画一个满足条件的格点三角形：它与相似，且有一条公共边和一个公共角．（指出所画三角形的名称） 【答案】（1）相似；（2）作图见解析；（3）作图见解析 【分析】（1）由网格特点得出：再证明：， 从而可得结论； （2）利用位似图形的性质：连接 由，确定的对应点即可得到答案； （3）利用相似三角形的性质结合有一条公共边和一个公共角,再由夹公共角的两边对应成比例确定三角形的另一个顶点，从而可得答案． 【详解】解：（1）相似； 理由如下： 由网格特点可得： 由勾股定理可得： 故答案：相似． （2）如图②所示：即为所求； （3）如图③所示：或或即为所求． 【点睛】本题考查的是位似变换的作图，相似三角形的作图，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 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