1.3 相似三角形的性质（同步练习）-2024-2025学年九年级数学上册教材配套教学课件+同步练习（青岛版）

1.3相似三角形的性质（同步练习）（原卷版） 一、单选题 1．若，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点D、E分别在边AB、AC上，连接DE，如果AD：：3，那么下列条件中能判断的是　　 A． B． C． D． 3．如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AC上，且AD平分∠BAC，若∠ABE＝∠C，BE与AD相交于点F．则图中相似三角形的对数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在平行四边形中，为上一点，连接、交于点，，下列说法正确的个数（    ） ①  ②  ③  ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，已知，其中，，则（    ） A．2 B． C． D．4 6．如图，在中，，点是的重心，，垂足为，若，则线段的长度为（    ） A．10 B．9 C．6 D． 7．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC、BD相交于点O，若AD＝1，BC＝3，△AOD的面积为3，则△AOB的面积为(          ) A．27 B．6 C．9 D．3 8．如图，在中，，平分，平分，，相交于点，若，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 9．如图，点D是△ABC的边BC上一点，AB=8，AD=4，∠DAC=∠B．如果△ABD的面积为30，那么△ACD的面积为（  ） A．5 B．7.5 C．10 D．15 10．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE，分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论：①OG＝AB；②图中与△EGD 全等的三角形共有5个；③以点A、B、D、E为顶点的四边形是菱形；④ S四边形ODGF＝ S△ABF．其中正确的结论是（  ） A．①③ B．①③④ C．①②③ D．①②④ 二、填空题 11．如图，身高1.6米的小颖在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为10米，则这棵树的高度为 米． 12．如图，在矩形中，点在上，连接，相交于点，若，，则的长为 ． 13．如图，已知，则 ． 14．如图，在中，点在上，，点在上，，，相交于，则 ． 15．如图，物理课上张明做小孔成像试验，已知蜡烛与成像板之间的距离为24cm，要使烛焰的像A′B′是烛焰AB的2倍，则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛 cm的地方． 三、解答题 16．如图，在台球赛中，一球在A点处，要从A射出，经球台边挡板CD反射，击中球B，已知厘米，厘米，厘米，问：反射点E在距点C多远时才能击中球B？ 17．如图，直线和直线是两排树，其中点E、B、P、F、C、H、Q为每棵树所在的位置，且，，为测量这两排树之间的距离，小明先在两棵树的延长线上选取一点A，恰好发现点A、B、C在一条直线上，然后小明后退到达点D处，发现点D、E、F也在一条直线上，图中，求两排树之间的距离．    18．已知：如图，交的延长线于D，交的延长线于E，，，．求的长． 19．如图，在中，，，，点D为斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接． (1)当点D为的中点时，线段与有何位置关系？并说明理由． (2)当点D在什么情况下时，线段的长最小？这个最小值是多少？ 20．一数学兴趣小组为了测量校园内灯柱的高度，设计了以下方案：在点处放一面平面镜，从点处后退到点处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部点的像；再将平面镜向后移动放在处（即），从点处向后退到点处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部点的像，测得眼睛距地面的高度均为，已知点，在同一水平线上，且．求灯柱的高度．（平面镜的大小忽略不计）      原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3相似三角形的性质（同步练习）（解析版） 一、单选题 1．若，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质，三角形的内角和定理． 根据，则，根据三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：∵， ， ，， ． 故选：C． 2．如图，在中，点D、E分别在边AB、AC上，连接DE，如果AD：：3，那么下列条件中能判断的是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC，由相似推出∠ADE=∠B，再由平行线的判定得出即可． 【详解】解：只有选项B正确， 理由是：∵AD：BD=2：3， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵∠DAE=∠BAC， ∴△ADE∽△ABC， ∴∠ADE=∠B， ∴DE∥BC， 根据选项A、C、D的条件都不能推出DE∥BC， 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，能熟练转移比例线段得三角形相似是解此题的关键． 3．如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AC上，且AD平分∠BAC，若∠ABE＝∠C，BE与AD相交于点F．则图中相似三角形的对数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理∠ABE＝∠C，∠BAE=∠CAB，可得△ABE∽△ACB；由AD平分∠BAC，可得∠BAF=∠CAD，结合∠ABF＝∠C，可得△ABF∽△ACD；根据三角形相似的性质可得∠AFB=∠ADC，等角的补角性质可得∠BFD=∠BDF=∠AFE，进而可证△ABD∽△AEF即可． 【详解】解：∵∠ABE＝∠C，∠BAE=∠CAB， ∴△ABE∽△ACB； ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAF=∠CAD， ∵∠ABF＝∠C， ∴△ABF∽△ACD； ∴∠AFB=∠ADC， ∴∠BFD=∠BDF=∠AFE， ∵∠BAD=∠EAF， ∴△ABD∽△AEF， 则图中相似三角形的对数是3对． 故选择C． 【点睛】本题考查三角形相似判定与性质，角平分线，等角的补角性质，掌握三角形相似判定与性质，角平分线，等角的补角性质是解题关键． 4．如图，在平行四边形中，为上一点，连接、交于点，，下列说法正确的个数（    ） ①  ②  ③  ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质以及面积的计算方法：熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键． 先证明，根据相似三角形的边之比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴，故①错误，故②正确． ∴，， 故③正确，故④错误． 故选：B． 5．如图，已知，其中，，则（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴（负值已舍去）， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解题的关键． 6．如图，在中，，点是的重心，，垂足为，若，则线段的长度为（    ） A．10 B．9 C．6 D． 【答案】B 【分析】延长交于，如图，利用三角形重心的性质得到，，再证明，则可判断，然后利用相似比可求出的长，进而得到线段的长度． 【详解】解：延长交于，如图， 点是的重心， ，， ， ， 而， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．也考查了相似三角形的判定与性质，掌握三角形重心的性质是解决问题的关键． 7．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC、BD相交于点O，若AD＝1，BC＝3，△AOD的面积为3，则△AOB的面积为(          ) A．27 B．6 C．9 D．3 【答案】C 【分析】根据平行可得: △AOD∽△COB,利用相似的性质可得: ,然后根据△AOD和△AOB等高,即可求出,从而求出△AOB的面积. 【详解】解:∵AD//BC，AD＝1，BC＝3 ∴△AOD∽△COB ∴ ∵△AOD和△AOB等高, △AOD的面积为3， ∴ ∴ 故选C. 【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质,掌握利用平行证相似和相似三角形的对应边成比例是解决此题的关键. 8．如图，在中，，平分，平分，，相交于点，若，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了角平分线定义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，先求出，进而利用勾股定理即可得出，进而求出，最后判断出即可求解，求出是解题的关键． 【详解】解：如图， 过点作于， 连接， ∵，是分别是和的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，根据勾股定理得， ， ∵平分，平分， ∴是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：． 9．如图，点D是△ABC的边BC上一点，AB=8，AD=4，∠DAC=∠B．如果△ABD的面积为30，那么△ACD的面积为（  ） A．5 B．7.5 C．10 D．15 【答案】C 【详解】解：∵在△ABC和△ACD中，∠DAC=∠B，∠C=∠C， ∴△ABC∽△DAC中， ∴， 设S△ACD=，则由题意可得：S△ABC=， ∴， 解得：，即△ACD的面积为10． 故选：C． 10．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE，分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论：①OG＝AB；②图中与△EGD 全等的三角形共有5个；③以点A、B、D、E为顶点的四边形是菱形；④ S四边形ODGF＝ S△ABF．其中正确的结论是（  ） A．①③ B．①③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】B 【分析】由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG=DG，证出OG是△ACD的中位线，得出OG= CD=AB，①正确；先证明四边形ABDE是平行四边形，证出△ABD、△BCD是等边三角形，得出AB=BD=AD，因此OD=AG，得出四边形ABDE是菱形，③正确；由菱形的性质得得出△ABG≌△BDG≌△DEG，由SAS证明△ABG≌△DCO，得出△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，得出②不正确；证出OG是△ABD的中位线，得出OG//AB，OG=AB，得出△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，由相似三角形的性质和面积关系得出S四边形ODGF=S△ABF；④不正确；即可得出结果. 【详解】解：四边形ABCD是菱形， 在△ABG和△DEG中， ∴△ABG≌△DEG（AAS）， ∴.AG=DG， ∴OG是△ACD的中位线， ∴OG=CD=AB，①正确； ∵AB//CE，AB=DE， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴∠BCD=∠BAD=60°， ∴△ABD、△BCD是等边三角形， ∴AB=BD=AD，∠ODC=60°， ∴OD=AG，四边形ABDE是菱形，③正确； ∴AD⊥BE， 由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG， 在△ABG和△DCO中， ∴△ABG≌△DCO ∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，则②不正确． ∵OB=OD，AG=DG， ∴OG是△ABD的中位线， ∴OG∥AB，OG=AB， ∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF， ∴△GOD的面积=△ABD的面积，△ABF的面积=△OGF的面积的4倍，AF:OF=2：1， ∴△AFG的面积=△OGF的面积的2倍， 又∵△GOD的面积=△AOG的面积=△BOG的面积， ∴ S四边形ODGF=S△ABF；④正确； 故答案为：B. 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大. 二、填空题 11．如图，身高1.6米的小颖在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为10米，则这棵树的高度为 米． 【答案】8 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似． 【详解】解：∵同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似， ∴， ∴， ∴BC=8米． 故答案为：8． 【点睛】本题考查相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 12．如图，在矩形中，点在上，连接，相交于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得出，证明，根据，，得出，进而即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 13．如图，已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用、平行线的性质等知识，解题的关键是由，可得，构建方程计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验：是分式方程的解， 即：河宽的长为米． 故答案为：． 14．如图，在中，点在上，，点在上，，，相交于，则 ． 【答案】 【分析】如图，作出辅助线，首先设出BD、DC的长度，运用相似三角形判定及其性质求出AG的长度，运用△AGF∽△DCF，列出比例式，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点A作BC的平行线，交CE的延长线与点G， ∵AG//BC， ∴△AGE∽△BCE，△AGF∽△DCF， ∵， 设BD=x，CD=2x，BC=3x， ∵， ∴， ∴AG=， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是对相似三角形知识的考查，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键． 15．如图，物理课上张明做小孔成像试验，已知蜡烛与成像板之间的距离为24cm，要使烛焰的像A′B′是烛焰AB的2倍，则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛 cm的地方． 【答案】8 【详解】设蜡烛距小孔cm，则小孔距成像板cm， 由题意可知：AB∥A′B′， ∴△ABO∽△A′B′O， ∴，解得：（cm）. 即蜡烛与成像板之间的小孔相距8cm. 点睛：相似三角形对应边上的高之比等于相似比. 三、解答题 16．如图，在台球赛中，一球在A点处，要从A射出，经球台边挡板CD反射，击中球B，已知厘米，厘米，厘米，问：反射点E在距点C多远时才能击中球B？ 【答案】反射点E在距点C20厘米处才能击中球B. 【分析】易得∠ACE=∠BDE=90°，利用入射角等于反射角可得∠BED=∠AEC，那么可得△ACE∽△BDE．利用相似三角形的对应边成比例可得CE的长． 【详解】解：由题知，， ∴， ∴，即， ∴， 答：反射点E在距点C 20厘米处才能击中球B. 【点睛】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例． 17．如图，直线和直线是两排树，其中点E、B、P、F、C、H、Q为每棵树所在的位置，且，，为测量这两排树之间的距离，小明先在两棵树的延长线上选取一点A，恰好发现点A、B、C在一条直线上，然后小明后退到达点D处，发现点D、E、F也在一条直线上，图中，求两排树之间的距离．    【答案】两排树之间的距离． 【分析】设，由，推出，求得，由，推出，求得，据此列式计算即可求解． 【详解】解：设， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴，即， ∴， 解得，即， 答：两排树之间的距离． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握三角形的相似是解题的关键． 18．已知：如图，交的延长线于D，交的延长线于E，，，．求的长． 【答案】6 【分析】证，可得 ，则，从而可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∵，，， ∴ ∴． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，证明是解本题的关键． 19．如图，在中，，，，点D为斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接． (1)当点D为的中点时，线段与有何位置关系？并说明理由． (2)当点D在什么情况下时，线段的长最小？这个最小值是多少？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)当时，线段的长最小，最小为，理由见解析 【分析】（1）先证明，得到，再由线段中点的定义得到，则可得到点M为的中点，同理可证点N为的中点，则为的中位线，由此即可证明； （2）如图所示，连接，证明四边形是矩形，得到．则当时，最小，即此时最小．利用勾股定理求出，再用等面积法求出的最小值为即可得到答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点D为的中点，即， ∴， ∴点M为的中点， 同理可证点N为的中点， ∴为的中位线， ∴； （2）解：当时，线段的长最小，理由如下： 如图所示，连接， ， ∴． 又∵， ∴四边形是矩形． ∴． ∵点D在上， ∴当时，最小，即此时最小． ∵， ∴ ∵当时，的面积， ∴的最小值为． ∴线段的最小值为， ∴当时，线段的长最小，最小为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 20．一数学兴趣小组为了测量校园内灯柱的高度，设计了以下方案：在点处放一面平面镜，从点处后退到点处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部点的像；再将平面镜向后移动放在处（即），从点处向后退到点处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部点的像，测得眼睛距地面的高度均为，已知点，在同一水平线上，且．求灯柱的高度．（平面镜的大小忽略不计）      【答案】灯柱的高度为． 【分析】先证明得到，再证明得到，由此建立方程，求出的长即可求出的长． 【详解】解：， ． ． ， ． 设，则， 同理可得， ． ，， ， 解得， ． 答：灯柱的高度为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的实际应用，正确理解题意利用相似三角形的性质推出是解题的关键． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$