1.3 相似三角形的性质（同步课件）-2024-2025学年九年级数学上册教材配套教学课件+同步练习（青岛版）

§1.3 相似三角形的性质 9上数学青岛版--第1章 图形的相似 一、什么叫两个三角形相似？ 三、三角形相似的性质是什么？ 二、三角形相似的判定方法有哪些？ 1、相似三角形的对应角相等。 2、相似三角形的对应边成比例。 复习回顾 1. 理解相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比也等于相似比；多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. 2. 能应用相似三角形的有关性质解决相关问题. 学习目标 A C B A1 C1 B1 问题： △ABC与△A1B1C1相似吗？ 一、课堂导入 如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？ 如图，分别作△ABC和△A′B′C′的对应高AD和A′D′. ∵ △ABC∽△A′B′C′ ∴ ∠B=∠B′ 又 AD⊥BC，A′D′⊥B′C′ ∴ ∠ADB=∠A′D′B′=90° ∴ △ABD∽△A′B′D′ ∴ 二、探究新知 如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？ 如图，分别作△ABC和△A′B′C′的对应中线AE和A′E′. ∵ △ABC∽△A′B′C′ ∴ ∠B=∠B′ 又 E、E′分别是BC，B′C′的中点 ∴ BE=BC，B′E′=B′C′ ∴ ∴ ∴△ABE∽△A′B′E′ ∴ 6 如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？ 如图，分别作△ABC和△A′B′C′的对应角平线AF和A′F′. ∵ △ABC∽△A′B′C′， ∴ ∠B=∠B′，∠BAC=∠B′A′C′ ∵ AF、A′F′分别平分∠BAC和∠B′A′C′ ∴ ∠BAF=∠BAC，∠BA′F′=∠B′A′C′ ∴ ∠BAF=∠BA′F′ ∴ △ABF∽△A′B′F′ ∴ 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比. 一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比. 8 ∵ ∴ =k ∴AB=kA’B’，AC=kA’C’，BC=kB’C’ = 相似三角形对应周长的比等于相似比。 解：∵ ∴ =k 则BC=kB’C’，AD=kA’D’ = 相似三角形对应面积的比等于相似比的平方。 3、相似三角形的对应角平分线、对应中 线和对应高线的比都等于相似比。 相似三角形的性质： 1、相似三角形的对应角相等。 2、相似三角形的对应边成比例。 4、相似三角形的周长的比等于相似比。 5、相似三角形的面积的比等于相似比 的平方。 例：如图，AD是ΔABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=60 cm，AD= 40 cm，四边形PQRS是正方形. (1)AE是Δ ASR的高吗？为什么？ (2) ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？ (3)求正方形PQRS的边长. S R Q P E D C B A （1）AE是ΔASR的高吗？为什么？ 解： AE是ΔASR的高. 理由： ∵AD是ΔABC的高, ∴ ∠ADC=90°. ∵四边形PQRS是正方形, ∴SR∥BC. ∴∠AER=∠ADC=90°. ∴ AE是ΔASR的高. S R Q P E D C B A （2） ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？ 解： ΔASR与ΔABC相似. 理由: ∵ SR∥BC, ∴ ∠ASR=∠B, ∠ARS=∠C. ∴ ΔASR与ΔABC相似. S R Q P E D C B A （3）求正方形PQRS的边长. 是方程思想哦！ 解：∵ ΔASR ∽ ΔABC, AE,AD分别是ΔASR 和ΔABC 对应边上的高, ∴ . 设正方形PQRS的边长为 x cm, 则SR=DE=x cm,AE=(40-x)cm. ∴ 解得x=24. ∴正方形PQRS的边长为24 cm. S R Q P E D C B A 三、课堂练习 1. 如果两个相似三角形的对应高的比为 2 : 3，那么对应角平分线的比是 ，对应边上的中线的比是______ . 2. △ABC 与 △A'B'C' 的相似比为3 : 4，若 BC 边上的高 AD＝12 cm，则 B'C' 边上的高 A'D' ＝_______ . 1. 如果两个相似三角形的对应高的比为 2 : 3，那么对应角平分线的比是 ，对应边上的中线的比是______ . 2. △ABC 与 △A'B'C' 的相似比为3 : 4，若 BC 边上的高 AD＝12 cm，则 B'C' 边上的高 A'D' ＝_______ . 2 : 3 2 : 3 16 cm 3、一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的周长扩大为原来的 倍； 4、一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边形的面积扩大为原来的 倍． 5. 两个相似三角形的一对对应边分别是 35 cm、14 cm，(1) 它们的周长差 60 cm，这两个三角形的周长分别是________________； (2) 它们的面积之和是 58 cm2，这两个三角形的面 积分别是______________. 3、一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的周长扩大为原来的 倍； 4、一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边形的面积扩大为原来的 倍． 5 81 5. 两个相似三角形的一对对应边分别是 35 cm、14 cm，(1) 它们的周长差 60 cm，这两个三角形的周长分别是________________； (2) 它们的面积之和是 58 cm2，这两个三角形的面 积分别是______________. 100 cm、40 cm 50 cm2、8 cm2 6、如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等.求 6、如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等.求 【解析】 ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC． ∴. ∵S△ADE=S四边形BCDE， ∴，即. 四、知识总结 3、相似三角形的对应角平分线、对应中 线和对应高线的比都等于相似比。 相似三角形的性质： 1、相似三角形的对应角相等。 2、相似三角形的对应边成比例。 4、相似三角形的周长的比等于相似比。 5、相似三角形的面积的比等于相似比 的平方。 五、课后作业 1、课本24练习1,2 2、习题1.3,T1-6 3. 如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高， AD∶CD＝1∶2，求S△ACD∶S△CBD. 习题 1.3 再见 $$