23.4 中位线 课件 2024—2025学年华东师大版数学九年级上册

23.4 中位线 第23章 图形的相似 知识点 三角形的中位线 知1－讲 1 1. 三角形的中位线的定义 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 . 数学表达式：如图 23.4-1， ∵AD＝BD，AE＝EC， ∴ DE是△ABC的中位线 . 课堂新授 知1－讲 2. 三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 数学表达式：如图 23 .4-1， ∵AD＝BD，AE＝EC， ∴ DE∥BC，且DE＝BC. 课堂新授 知1－讲 3.三角形的中位线的应用 (1) 三角形的中位线定理反映了三角形的中位线与第三边的双重关系： 一是位置关系，可以用来证两直线平行； 二是数量关系，可以用来证线段的倍分关系 . 课堂新授 知1－讲 (2) 中位线具有平移角、倍分转化线段的功能，因此当遇到中点或中线时，应考虑构造中位线，即我们常说的“遇到中点想中位线”；相应地，若知道了三角形的中位线，则三角形两边的中点即可找到 . 课堂新授 知1－讲 特别提醒 1. 一个三角形有三条中位线； 2. 三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形； 3. 三角形的中位线与三角形的中线的区别：三角形的中线是连结一顶点和它的对边中点的线段，而三角形的中位线则是连结两边中点的线段； 4. 三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分 . 课堂新授 知1－练 例 1 如图23.4-2，已知E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一点，且CE＝DC，连结AE， 分别交BC，BD 于点F，G，连结 AC交BD于点O，连结OF. 求证：AB＝2OF. 课堂新授 知1－练 解题秘方：紧扣“三角形中位线定理”的数量关系，将证明线段的倍数关系转化为证明OF是△ABC的中位线. 课堂新授 知1－练 证明：如图23.4-2，连结BE. ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴ AB∥CD，AB＝CD. ∵E为平行四边形ABCD中DC边延长线 上一点，且CE＝DC，∴ AB∥CE，AB＝CE， ∴四边形ABEC是平行四边形，∴点F是BC的中点. 又易知点O是AC的中点， ∴ OF是△ABC的中位线，∴ AB＝2OF. 课堂新授 知1－练 1-1. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足为E， 过点E作EF∥BC，交AC于点F，G为BC的中点， 连结FG． 求证：FG＝AB． 课堂新授 知1－练 课堂新授 知1－练 如图23.4-3，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且 DC＝AC，∠ACB的平分线CE交AD于E，点F是AB的中点，连结EF，求证：EF∥BC. 例 2 解题秘方：紧扣“三角形中位线定理”的位置关系，将证明线段的位置关系转化为证明三角形中位线的问题来解决. 课堂新授 知1－练 证明：∵ CE平分∠ACB，DC＝AC， ∴ CE是△ACD的中线，∴点E是AD的中点. 又∵点F是AB的中点， ∴ EF是△ABD的中位线， ∴ EF∥BD，即EF∥BC. 课堂新授 知1－练 2-1. 如图，在▱ABCD中，AE＝BF，AF，BE相交于点G，CE，DF相交于点H，连结GH. 求证：GH∥BC. 课堂新授 知1－练 证明：连结EF. 由▱ABCD可得AD∥BC，AD＝BC. ∵AE＝BF，∴ED＝FC. ∴四边形ABFE和四边形EFCD都是平行四边形．∴EG＝BG，EH＝CH. ∴GH是△EBC的中位线．∴GH∥BC. 课堂新授 知1－练 例 3 如图23.4-4，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连结DE，下列结论： ①＝；②＝； ③＝；④＝． 其中正确的有( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 课堂新授 知1－练 解题秘方：紧扣三角形的中位线平行于第三边，则截得的三角形与原三角形相似解决问题 . 解：由中线BE，CD知DE为△ABC的中位线， ∴ DE＝BC，DE∥BC. ∴＝，①正确 . 由DE∥BC可得△DOE∽△COB， ∴＝()2＝，②错误 . 课堂新授 知1－练 答案：C 由DE∥BC可得△ADE∽△ABC，∴＝， 由△DOE∽△COB可得＝，∴＝，③正确 . ∵D为AB边中点，∴ S△ADE＝S△BDE. ∵＝＝，∴ S△DOE＝S△BDE. ∴＝，④正确. 课堂新授 知1－练 3-1. 如图，DE是△ABC的中位线，F为DE的中点，连结AF并延长交BC于点G， 若S△EFG＝1，则S△ABC＝______. 24 课堂新授 知1－练 3-2. 如图，在△ABC中，分别取AB，AC的中点D，E，连结DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成矩形PBCQ．若DE＝5，AF＝ 4，则矩形PBCQ 的面积是( ) A. 40 B. 20 C. 15 D.10 A 课堂新授 知2－讲 知识点 三角形的重心 2 1. 三角形的重心 三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心 . 2. 三角形重心的性质 三角形的重心与一边中点的连线的长是对应中线长的. 注意：经过三角形顶点和重心的直线必然平分这个顶点的对边 . 课堂新授 知2－讲 特别解读 ●三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2 倍 . ●三角形的重心是三角形中每条中线的一个三等分点 . 课堂新授 知2－练 如图23.4-5，延长△ABC的边BC到点D，使CD＝BC， 取AB的中点F，连结FD交AC于点E，求的值. 例 4 解题秘方：已知条件中给出了中点，可以构造三角形的重心，紧扣重心的性质解题. 课堂新授 知2－练 解：如图23.4-5，连结AD. ∵ CD＝BC， ∴点C为BD的中点. 又∵ 点F为AB的中点，AC和DF交于点E， ∴ 点E为△ABD的重心，∴＝. 课堂新授 知2－练 4-1. 如图，点D在△ABC的边BC上，已知点E，F分别为△ABD和△ADC的重心， 如果BC＝12，那么两个重心之间的距离为_______. 4 课堂新授 知2－练 如图23.4-6，在△ABC中，G为重心，连结AG并延长，交边BC于点D，若△ABC的面积为6 cm2，则△BGD 的面积为( ) A. 1 cm2 B. 1.5 cm2 C. 2 cm2 D. 3 cm2 例 5 课堂新授 知2－练 答案：A 解题秘方：根据重心将中线分成的两条线段的比得到面积之间的比解决问题. 解：由点G为△ABC的重心可知，AD为BC边上的中线，且DG＝AD，故S△ABD＝S△ABC＝3 cm2 . 易得＝＝，故S△BGD＝S△ABD＝×3＝1(cm2). 课堂新授 知2－练 5-1. 如图，在菱形ABCD中，E为AB的中点， 连结DE交对角线AC于点F，若菱形ABCD的周长为40 cm，AC＝16 cm， 求△ADF与菱形ABCD的 面积比. 课堂新授 知2－练 解：如图，连结BD，交AC于点O. ∵四边形ABCD是菱形， ∴O是AC，BD的中点， 且AC⊥BD. ∵菱形ABCD的周长为40cm，AC＝16 cm， ∴AD＝10 cm，AO＝8 cm. 课堂新授 知2－练 课堂新授 中位线 三角形的 中位线 关键 两边的 中点 拓 展 重心 数量关系 分中线长为1∶2 位置关系 数量关系 平行于第三边 等于第三边的一半 归纳总结 证明：延长AE交BC于点H，∵CD平分∠ACB，AE⊥CD， ∴∠ACE＝∠HCE，∠AEC＝∠HEC＝90°，又∵CE＝CE，∴△ACE≌△HCE，∴AE＝EH＝AH.∵EF∥BC， ∴△AEF∽△AHC，∴＝＝，∴AC＝2AF，∴F是AC的中点．又∵G是BC的中点， ∴FG是△ABC的中位线，∴FG＝AB. 在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD＝＝6(cm)，∴BD＝12 cm，∴S菱形ABCD＝AC·BD＝96 cm2.∵O为BD的中点，E为AB的中点，∴点F是△ABD的重心， ∴AF＝AO＝×8＝(cm)，∴S△ADF＝AF·OD＝16 cm2， ∴S△ADF∶S菱形ABCD＝16∶96＝1∶6， 即△ADF与菱形ABCD的面积比为1∶6. $$