精品解析：浙江省浙东北（ZDB）联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题

绝密★考试结束前 浙东北联盟（ZDB）2023－2024学年第二学期期中考试 高二数学试卷 命题学校：浙江省平湖中学 命题老师：汪大秀 审卷老师：谢秋杰 考生须知： 1．本卷共6页满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 2. 一批产品共有7件，其中5件正品，2件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则使成立的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化其中大数之间的计算而发明了对数.利用对数运算可以求大数的位数.已知，则是（ ） A. 5位数 B. 6位数 C. 7位数 D. 8位数 5. 函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ） A B. C. D. 6. 定义“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（ ） A. 18 B. 21 C. 35 D. 36 7. 若是函数的一个极值点，是函数的一个零点，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分数，有选错的得0分. 9. 投掷一枚质地均匀的骰子，事件“朝上一面点数为偶数”，事件“朝上一面点数不超过2”，则下列结论正确的是（ ） A 事件互斥 B. 事件相互独立 C. D. 10. 下列等式正确的是（ ） A. B. C D. 11. 已知为偶函数，对，且，若，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则______． 13. 利率变化是影响某金融产品价格的重要因素经分析师分析，最近利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%．根据经验，在利率下调的情况下该金融产品价格上涨的概率为80%，在利率不变的情况下该金融产品价格上涨的概率为40%．则该金融产品价格上涨的概率为__________． 14. 已知，直线与曲线有三个不同的交点，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求在处的切线方程； （2）证明：对. 16. 已知展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列． （1）求的值； （2）求展开式中的系数． 17. 如图，四棱锥，底面为正方形，平面平面，为的重心． （1）若点在线段上，且，求证：平面； （2）求直线与平面所成角正弦值． 18. 设函数，其中． （1）求的单调区间； （2）若存极值点，且，其中，求证：； （3）若，函数，求在上的最大值． 19. 某手机销售商为了了解一款手机的销量情况，对近100天该手机的日销售量（单位：部）进行了统计，经计算得到了样本的平均值，样本的标准差． （1）经分析，可以认为该款手机的日销售量近似服从正态分布，用样本的平均值作为的近似值，用样本的标准差作为的近似值，现任意选取一天，试估计这一天该款手机的销量恰好在之间的概率； （2）为了促销，该销售商推出了“摸小球、送手机”的活动，活动规则为：①每位购买了一部该款手机的顾客参加一次活动；②箱子中装有红球2个和白球4个，如果摸到的是白球，则获得1个积分，如果摸到的是红球，则获得2个积分．放回后进行下一次摸取．设顾客的初始积分为0，顾客的积分之和为的概率为， （ⅰ）求的值，并证明：数列是等比数列； （ⅱ）销售商家规定当积分之和达到19或20时，游戏结束，如果最终积分为19，顾客获得二等奖，手机的售价减免1000元；如果最终的积分为20，顾客获得一等奖，手机的售价减免2000元．活动的第一天共有300位顾客各购买了一部该手机，且都参加了活动，试估计获得一等奖的顾客人数．（结果四舍五入取整数） 参考数据：若随机变量，则， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★考试结束前 浙东北联盟（ZDB）2023－2024学年第二学期期中考试 高二数学试卷 命题学校：浙江省平湖中学 命题老师：汪大秀 审卷老师：谢秋杰 考生须知： 1．本卷共6页满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对数型函数定义域为真数大于0，求解即可. 【详解】函数需满足，解得，所以函数的定义域为. 故选：C. 2. 一批产品共有7件，其中5件正品，2件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用组合数分别求出恰好取出一件不合格产品的基本事件数和从7件产品中取出3件产品的基本事件数，再利用古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】恰好取出一件不合格产品的基本事件数为：， 从7件产品中取出3件产品的基本事件数为：， 故选：B 3. 已知，则使成立的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数的单调性，再根据函数的单调性得出不等式，最后解一元二次不等式求解. 【详解】因为,所以是单调递增函数， 又因为，所以, 所以, 所以x的取值范围为. 故选：A. 4. 苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化其中大数之间的计算而发明了对数.利用对数运算可以求大数的位数.已知，则是（ ） A. 5位数 B. 6位数 C. 7位数 D. 8位数 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数的运算性质即可得解. 详解】由于，设， 则， 则，故是8位数. 故选：D. 5. 函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设函数的两个极值点分别为、，且，求出，结合二次函数的性质分析、、的符号，又由函数与轴交点在轴上方，则有，综合可得答案． 【详解】根据题意，由函数图象易知存在两个极值点， 设两个极值点分别为、，且，， 在区间上，为减函数，此时， 在区间上，为增函数，此时， 在区间上，为减函数，此时， 则是开口向下的二次函数，，有两个根，即和， 则有，则有，， 函数与轴交点在轴上方，则有． 故选：A． 6. 定义“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（ ） A. 18 B. 21 C. 35 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】运用分类加法原理计算即可. 【详解】按照百位数字进行分类讨论： 当百位数是1，后两位相加为7，有8种；当百位数是2，后两位相加为6，有7种； 当百位数是3，后两位相加为5，有6种；当百位数是4，后两位相加为4，有5种； 当百位数是5，后两位相加为3，有4种；当百位数是6，后两位相加为2，有3种； 当百位数是7，后两位相加为1，有2种；当百位数是8，后两位相加为0，有1种； 总共有种. 故选：D. 7. 若是函数的一个极值点，是函数的一个零点，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先根据极值点及零点得出满足的等式，再结合函数的单调性得出等式计算即可求值. 【详解】因为是函数一个极值点， 所以， 因为是函数的一个零点， 所以， 设为单调递增函数， 因为， 所以. 故选：B. 8. 一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用超几何分布和二项分布知识分别计算从中随机地无放回摸出3个球、从中随机地有放回摸出3个球的期望、方差，再做比较可得答案． 【详解】试验一：从中随机地无放回摸出3个球，记白球的个数为， 则的可能取值是0，1，2，3， 则， ，， 故随机变量的概率分布列为： 0 1 2 3 则数学期望为：， 方差为：； 试验二：从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概率为， 则， 故，， 故，． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分数，有选错的得0分. 9. 投掷一枚质地均匀的骰子，事件“朝上一面点数为偶数”，事件“朝上一面点数不超过2”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件互斥 B. 事件相互独立 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合互斥事件的概念检验选项A，结合相互独立事件的概念检验选项B，结合条件概率公式检验选项C，结合并事件的概率公式检验选项D． 【详解】投掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数的可能情况有6种， 事件朝上一面点数为偶数包含3种情况：2，4，6， 事件朝上一面点数不超过2包含2种情况：1，2，显然，不互斥，A错误； 故， ，， 所以,即，相互独立，B正确； 因为，C正确； ，D正确． 故选：BCD． 10. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，由排列组合数公式依次分析选项，综合可得答案. 【详解】根据题意，依次分析选项: 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确； 故选：ACD 11. 已知为偶函数，对，且，若，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用的奇偶性与条件，结合赋值法依次得到，从而判断AB；利用的相关性质推得的周期性，从而判断CD，由此得解. 【详解】对于A，因为为偶函数， 所以，则， 令，得， 因为，， 令，得， 又，所以，故A正确； 对于B，在中， 令，得，即，得， 在中，令，得，故B错误； 对于CD，因为，所以， 所以，又，， 则，所以，故， 所以函数是周期为6的函数， 故，故C错误，D正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： （1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则______． 【答案】7 【解析】 【分析】利用组合数公式计算即可. 【详解】得到，解得或.故. 故答案为：7 13. 利率变化是影响某金融产品价格重要因素经分析师分析，最近利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%．根据经验，在利率下调的情况下该金融产品价格上涨的概率为80%，在利率不变的情况下该金融产品价格上涨的概率为40%．则该金融产品价格上涨的概率为__________． 【答案】#### 【解析】 【分析】根据概率的乘法公式即可求解. 【详解】有题意可知金融产品价格上涨的概率为：， 故答案为： 14. 已知，直线与曲线有三个不同的交点，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线与曲线相切时求出临界值k，再求有3个交点时k的取值范围即可得． 【详解】，， 直线过点， 设过点的直线与曲线相切于点， 故切线方程为， 将代入方程得，， 解得，，， 故，，， 由直线与曲线有三个不同的交点， 故或. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求在处的切线方程； （2）证明：对. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数求出切线斜率，然后代入点斜式化简即可求解. （2）作差，把所证不等式变为恒成立，利用导数研究的单调性，求出最值即可证明. 【小问1详解】 由题意得：切点，， 则，设切线方程：，化简得：. 【小问2详解】 要证：，即证：， 令，则， 又，则在单调递减， 所以，即，则得证． 16. 已知展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列． （1）求的值； （2）求展开式中的系数． 【答案】（1）7或14 （2）当时，的系数为35；当时，的系数为1001 【解析】 【分析】（1）由题意，建立组合数方程，利用组合数的阶乘表示式化简计算即得； （2）根据二项展开式的通项知，的系数为，则由（1）求得的的值，分两种情况分别求即得. 【小问1详解】 由题意得： 即化简得： 即，解得或，经检验，都符合题意. 故或. 【小问2详解】 因二项式的展开式通项为：其中的系数为 由（1）得：或14 ， 则当时，的系数为 ； 当时，的系数为. 综上，当时，的系数为35；当时，的系数为1001. 17. 如图，四棱锥，底面为正方形，平面平面，为的重心． （1）若点在线段上，且，求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得平面，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为2，求得和平面的法向量，计算其数量积即可得证； （2）由（1）得：，，设直线与平面所成角为，代入线面角公式即可求解． 【小问1详解】 平面平面，平面平面，平面，，平面， 以为坐标原点，垂直平面竖直向上为轴，以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系， 设正方形的边长为2，则，则， 由重心得，，即， 由得：，所以，， 设平面的一个法向量为，，令， ，又不平面内， 平面； 【小问2详解】 由（1）得：，， 设直线与平面所成角，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 18. 设函数，其中． （1）求的单调区间； （2）若存在极值点，且，其中，求证：； （3）若，函数，求在上的最大值． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）对求导，分和两种情况，讨论导函数的正负，从而得原函数的单调性； （2）由存在极值点，可得，再根据，经计算可得； （3）根据，分析其单调性，分，，三种情况求其最大值，可得结论. 【小问1详解】 ①当时，，所以在上单调递增； ②当时，在上单调递增，上单调递减． 【小问2详解】 由（1）知，，即 因为 所以 所以 所以 又，所以． 【小问3详解】 当时，，， 所以当时，，当时， 所以在上单调递增，上单调递减， 当时，，，所以 在上单调递增， ，，， ①当时，即时，在上单调递增， 所以； ②当时，即时， 在上单调递增，在上单调递减， 所以； ③当时，即时， 所以在上单调递增，上单调递减，在上单调递增， 由于，， 当时，即，所以， 当时，即，所以 则 综上，． 【点睛】关键点点睛：导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理. 19. 某手机销售商为了了解一款手机的销量情况，对近100天该手机的日销售量（单位：部）进行了统计，经计算得到了样本的平均值，样本的标准差． （1）经分析，可以认为该款手机的日销售量近似服从正态分布，用样本的平均值作为的近似值，用样本的标准差作为的近似值，现任意选取一天，试估计这一天该款手机的销量恰好在之间的概率； （2）为了促销，该销售商推出了“摸小球、送手机”的活动，活动规则为：①每位购买了一部该款手机的顾客参加一次活动；②箱子中装有红球2个和白球4个，如果摸到的是白球，则获得1个积分，如果摸到的是红球，则获得2个积分．放回后进行下一次摸取．设顾客的初始积分为0，顾客的积分之和为的概率为， （ⅰ）求的值，并证明：数列是等比数列； （ⅱ）销售商家规定当积分之和达到19或20时，游戏结束，如果最终积分为19，顾客获得二等奖，手机的售价减免1000元；如果最终的积分为20，顾客获得一等奖，手机的售价减免2000元．活动的第一天共有300位顾客各购买了一部该手机，且都参加了活动，试估计获得一等奖的顾客人数．（结果四舍五入取整数） 参考数据：若随机变量，则， ． 【答案】（1）0.47725 （2）（ⅰ），证明见解析；（ⅱ）获得一等奖的顾客人数约为75人 【解析】 【分析】（1）应用正态分布的概率计算求解； （2）根据递推公式构造数列，计算得出数列为等比数列，再应用累加法得出通项公式. 【小问1详解】 由题知 所以 所以这一天该款手机的销量恰好在之间的概率为0.47725． 【小问2详解】 （ⅰ） 由题知，积分之和为的情况分为：①上一次积分为分，然后这次摸到白球； ②上一次积分为分，然后这次摸到红球． 于是（，且） 又，所以 所以 所以是以为首项，公比为的等比数列． （ⅱ）由（ⅰ）知， 累加得： 所以 又符合上式，所以 于是， 所以 设获得一等奖的顾客人数为，则 所以（人） 所以获得一等奖的顾客人数约为75人． 【点睛】方法点睛：根据递推公式构造数列，计算得出数列为等比数列，再应用累加法得出通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$