1.4用一元二次方程解决问题 自主学习解答同步练习题 2024-2025学年苏科版九年级数学上册

2024-2025学年苏科版九年级数学上册《1.4用一元二次方程解决问题》 自主学习解答同步练习题（附答案） 1．一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和．已知这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数． 2．春节过后，甲型流感病毒（以下简称：甲流）开始悄然传播，某办公室最初有两人同时患上甲流，经过两轮传播后，办公室现有8人确诊甲流，请问在两轮传染过程中，平均一人会传染给几个人？ 3．沈阳市推出“沈水之阳 我心向往——冬日雪暖阳”沈阳冬季游系列活动，涵盖四大主题余项精彩活动． 年春节假期期间，沈阳文旅市场异常火爆，累计接待国内游客万人次，据统计，我市某景点去年月份接待游客人数为万人，今年月份接待游客人数万人．求今年月和月这两个月中，该景点接待游客人数月平均增长率． 4．近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 5．在一次聚会上规定每两人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为4，共握手______次；若参加聚会的人数为（为正整数），共握手______次； (2)若参加聚会的人共握手45次，求参加聚会的人数； (3)嘉琪由握手问题想到了一个数学问题：有个即将初中毕业的学生在一起聚会，每两个人之间互送一张照片，共送出______张照片． 6．某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一个月生产80万个，第三个月生产96．8万个． (1)已知每个月生产量的增长率相等，求前三个月生产量的月增长率； (2)经调查发现，1条生产线最大产能是150万个/月，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少6万个/月，现该公司要保证每月生产内存芯片528万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 7．商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件． (1)若某天该商品每件降价元，当天可获利______元； (2)在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？ 8．如图，、、、为矩形的个顶点，，，动点从点出发，沿方向运动，动点同时从点出发，沿方向运动，如果点、的运动速度均为，经过多长时间、两点之间的距离是？ 9．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，若每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若商场每天要获得利润1200元，请计算出每件衬衫应降价多少元？ (2)商场每天要获得利润有可能达到1400元吗？若能，请求出此时每件衬衫的利润；若不能，请说明理由． 10．如图，利用一面墙（墙的最大可利用长度为25米），用栅栏围成一个矩形场地（靠墙一面不用栅栏），中间再用栅栏分隔成两个小矩形，且在如图所示位置留两个1米宽的小门，若所用栅栏的总长度为52米，设栅栏的长为x米，解答下列问题： (1)______米（用含x的代数式表示）； (2)若矩形场地面积为240平方米，求栅栏的长． (3)矩形场地面积能不能等于280平方米，为什么？ 11．随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱． (1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？ (2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值． 12．运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 13．某公司研发了一款新型玩具，成本为每个50元，投放市场进行试销售，其销售单价不低于成本．按照物价部门规定，销售利润率不高于，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）（x为整数）符合一次函数关系，如图所示． (1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 14．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 15．如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d．请解答下列问题． (1)若用含有 a 的式子分别表示出b，c，d， 则 ， ， ；按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ． (2)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (3)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 16．新高考采用“”的模式，对生物学科提出了更高的要求．某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践时，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21． (1)这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？ (2)学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植这种水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为10米），其余部分需要用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田的宽为米．若该种植田的面积为36平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽． 17．六月无锡的味道，总是有那么些酸酸甜甜．本地醉李和杨梅纷纷上市，锡城市民在酸甜中感受初夏的味道．某水果店月初推出醉李和杨梅两种季节性水果，已知每筐杨梅比每筐醉李多元，且用元购买到的醉李与用元购买到的杨梅的筐数相同． (1)求每筐醉李和杨梅的价格分别是多少元？ (2)月份第一周醉李和杨梅按原售价分别卖出筐和筐．因为这两种水果的采摘季只有天左右，又不耐储存，所以第二周该水果店对这两种水果进行降价促销，醉李每筐降元，销量比第一周增加了；杨梅每筐降价元，销量比第一周增加了筐，结果第二周这两种水果的销售总额比第一周增加了元．此时杨梅的价格仍然高于醉李的价格，求杨梅此时每筐多少元？ 18．手机下载一个，缴纳一定数额的押金， 就能以每小时 0.5 到 1 元的价格解锁一辆自行车任意骑行最近的网红非“共享单车”莫属 ． 共享单车为解决市民出行的“最后一公里”难题帮了大忙， 人们在享受科技进步、 共享经济带来的便利的同时， 随意停放、 加装私锁、 大卸八块等毁坏单车的行为也层出不穷 ． 某共享单车公司一月投入部分自行车进入市场， 一月底发现损坏率不低于，二月初又投入 1200 辆进入市场， 使可使用的自行车达到 7500 辆 ． (1)一月份该公司投入市场的自行车至少有多少辆？ (2)二月份的损坏率达到，进入三月份， 该公司新投入市场的自行车比二月份增长，由于媒体的关注， 毁坏共享单车的行为引起了一场国民素质的大讨论， 三月份的损坏率下降为，三月底可使用的自行车达到 7752 辆， 求的值 19．有一块长，宽的矩形纸片． (1)如图1，如果在纸片的四个角裁去四个边长相等的小正方形（阴影部分）后，将其折成无盖长方体盒子．若折成的盒子的底面积为，求裁去的小正方形的边长； (2)若需要制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，小颖设计了如图2的裁剪方案（阴影部分为裁剪下来的边角料），其中左侧的两个阴影部分为正方形，右侧的两个阴影部分为矩形，问能否折出底面积为的有盖盒子（接缝忽略不计）？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由． 20．如图，中，，，． (1)如图1，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动）．如果点，分别从，两点同时出发． ①经过多少秒钟，的面积等于； ②线段能否将分成面积为的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (2)如图2，若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，直接写出几秒后，的面积为． 参考答案： 1．解：设该三位数的百位数字是为正整数），则十位数字是，个位数字是．则： ， 整理，得：， 所以． 所以或， 解得，或（舍去）， 则，， 则该三位数是257． 答：这个数是257． 2．解：设在两轮传染过程中，平均一人会传染给个人，则第一轮传染中有人被传染，第二轮传染中有人被传染， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，(不符合题意，舍去)． 答：在两轮传染过程中，平均一人会传染给1个人． 3．解：设今年月和月这两个月中，该景点接待游客人数月平均增长率为， 由题意得：，即， 解得：（不合题意，舍去），， 答：今年月和月这两个月中，该景点接待游客人数月平均增长率为． 4．（1）解：设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给9人； （2）解：人， 答：从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 5．（1）解：参加聚会的人数为4，则共握手（次）； 参加聚会的人数为为正整数），则共握手次． 故答案为：6，； （2）设有人参加聚会，根据题意得， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：参加聚会的有10人； （3）根据题意得（张）． 答：共送出张照片， 故答案为：． 6．（1）解：设前三个月生产量的月增长率为x， 依题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：前三个月生产量的平均增长率为； （2）设应该再增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/月， 依题意得：， ， 解得：， 又∵在增加产能同时又要节省投入成本， ． 答：应该再增加3条生产线． 7．（1）解：当天盈利： （元）， 故答案为：； （2）解：设每件商品降价元，则每件盈利元，商场平均每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又为了尽快减少库存， ， 答：每件商品降价元时，商场日盈利可达到元． 8．解：设运动秒时，它们相距，则，，依题意有 ， 解得，． 故运动秒或秒时，它们相距． 9．（1）解∶ 设每件衬衫应降价x元，根据题意，得 ， 解得，， ∵要尽快减少库存， ∴， 答：每件衬衫应降价20元； （2）解∶设每件衬衫应降价x元 ， 化简得， ， ∴方程无实根， ∴1400元的利润不能达到． 10．解：（1）根据题意，米， 故答案为：； （2）依题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：栅栏的长为10米． （3）依题意得：， 整理得：， ∴方程无实数根 ∴矩形场地面积不能等于280平方米． 11．（1）解：设李大伯徒步走的速度为每分钟米，得 解得 ∴（米） 所以，张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米； （2）解：依题意，得 整理得 解得（舍）， 答：的值为． 12．（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意， 则， 答：小美每分钟跑360米． （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟． 13．（1）解：设y与x的函数关系式为， 将，代入，得：， 解得， 销售单价不低于成本，销售利润率不高于， ， ， y与x的函数关系式为； （2）解：由题意列方程：， 整理得， 解得或， 由（1）得， ， 即销售单价应定为80元． 14．（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元， ∴，解得，， ∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元． （2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元， ∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元， ∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 15．（1）解：由题意得，； ∵a是正整数， ∴也是正整数， ∴当a越大时，b也越大， 根据日历的特点可知a的最大值为23，此时b的值为24， ∴的最大值为； 故答案为：；；；； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． ∴最小数是10； （3）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由如下： 假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∵时，在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 16．（1）解：设这种水果黄瓜每个支干长出x个小分支， 由题意得：， 解得，（舍）， 即这种水果黄瓜每个支干长出4个小分支； （2）解：设种植田的宽为米，则长为米， 由题意得：， 整理得：， 解得，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； 综上可知，该种植田的宽为6米． 17．（1）解：设每筐醉李元，则每筐杨梅元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：每筐醉李元，每筐杨梅元； （2）解：由题意得，， 整理得，， 解得，， 当时，杨梅每筐的价格为，符合题意； 当时，杨梅每筐的价格为，不合题意，舍去； 答：杨梅此时每筐元． 18．解：（1）设一月份该公司投入市场的自行车辆， ， 解得，， 答： 一月份该公司投入市场的自行车至少有 7000 辆； （2）由题意可得， ， 化简， 得 ， 解得：，， ， 解得，， ， 答：的值是 20 ． 19．解：（1）设小正方形的边长为，由题意得 ． 解得，，（不符合题意，舍去） ∴裁去的小正方形的边长为； （2）设小正方形的边长为，由题意得 解得，，（不符合题意，舍去） ∴盒子的体积为． 20．（1）解：①设经过秒钟，的面积等于， 由题意，，， ∴， ∴， 解得：，， ∴经过秒或秒钟，的面积等于； ②设经过秒，线段能将分成面积为的两部分，由题意得： 1），即：， ∴， 解得：（不合题意，舍去），； 2），即：， ∴， ∵， 此方程无实数根，即这种情况不存在； 综上所述，经过秒时，线段能将分成面积为的两部分； （2）设经过秒，的面积为，可分三种情况： ①点在线段上，点在线段上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：（舍去），； ②点在线段上，点在线段的延长线上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：； ③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）； 综上所述，经过秒或秒或秒后，的面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $$