第02讲 一定是直角三角形吗（2个知识点+4种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第02讲 一定是直角三角形吗（2个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 知识点2．勾股数 勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 题型强化 题型一．勾股定理的逆定理 1．（2023春•恩施市期末）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是　　 A．3，4，5 B．，， C．5，12，13 D．1，， 2．（2023秋•鄞州区期末）若三角形的三边之比为，则此三角形为　　三角形． 3．（2023秋•玉环市期末）如图，是等腰三角形，其中，，是线段上一点，满足，连接，． （1）求证：； （2）求的长度． 题型二．勾股数 4．（2024春•信阳期末）在下列各组数据中，不能作为直角三角形的三边边长的是　　 A．3，4，6 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15 5．（2024春•潜江月考）观察以下几组勾股数，并寻找规律： ①3，4，5； ②5，12，13； ③7，24，25； ④9，40，41； ， 请你写出具有以上规律的第⑦组勾股数：　　． 6．（2023秋•新吴区校级期中）课堂上学习了勾股定理后知道：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决． 若两直角边为，，斜边为． （1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、　　、　　； （2）当为奇数，且时，若　　，　　时可以构造出勾股数（用含的代数式表示）；并证明你的猜想； （3）当为偶数，且时，若　　，　　时可以构造出勾股数（用含的代数式表示）； （4）构造勾股数的方法很多，请你寻找当时，　　． 题型三、勾股定理的证明方法 7．（23-24八年级上·河南郑州·期中）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如下图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”.实际上它也可用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（    ） A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．方程思想 8．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为： ； 9．（23-24全国·假期作业）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理． 下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中．求证：． 题型四、勾股定理与无理数 10．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）已知正方形的面积为1，该正方形的下列几何量的数值中，是无理数的是（       ） A．边长 B．周长 C．面积 D．对角线 11．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，，，以点为圆心，长为半径画弧与数轴交于点，点，表示的数分别为0，1．则点表示的数为 ．    12．（22-23八年级上·陕西西安·期中）在如图所示的数轴上作出表示的点（保留作图痕迹，不写作法）．    分层练习 一、单选题 1．某扇门的规格是，下列规格的长方形薄木板不能从该扇门通过的是（    ） A． B． C． D． 2．赵爽是我国东汉末至三国时代的一位数学家，其在为《周髀算经》作注时，解释了《周髀算经》中的勾股定理，并给出了证明（参照如图）：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实．”这种证明方法所体现的数学思想是（    ） A．转化思想 B．数形结合思想 C．方程思想 D．函数思想 3．下面图形能够验证勾股定理的有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 4．边长为1的正方形在数轴上的位置如图所示，点B表示的数是（　　）    A．1 B． C． D． 5．如图，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地面4.5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m内，灯就会自动发光.小明身高1.5m，他走到离墙多远的地方灯刚好发光（    ）    A．1m B．2m C．3m D．4m 6．如图，数轴于A，，，以O为圆心，以长为半径作圆弧交数轴于点P，则点P表示的数为（    ）        A．2 B． C． D． 7．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“秋千静止的时候，踏板高地1尺，将它往前推送两步(两步＝10尺)时，此时踏板升高到离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长?”如图，若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 8．如图是“赵爽弦图”，由4个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是52，小正方形的面积是4，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则的值是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 9．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的， ，点D，E，F，G，H，I都在长方形的边上，则长方形的面积为（    ） A．420 B．440 C．430 D．410 10．图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在中，若直角边，，将四个直角三角形中边长为的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在数轴上，点表示的数为，与数轴垂直，且，以原点为圆心，为半径的圆交数轴于点（点在点的右侧），则点表示的数为 ． 12．在图中所示的长方形零件示意图中，根据所给的部分尺寸，则两孔中心和的距离为 ．         13．如图，在中，，，在数轴上，点与原点重合，以原点为圆心，线段长为半径画弧，交数轴正半轴于一点，则这个点表示的实数是 ．    14．“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，它巧妙利用面积关系证明了勾股定理，如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，若小正方形的面积为，大正方形的面积为，那么为 ．    15．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将两个大小相同的“赵爽弦图”（如图1）中的两个小正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成边长为10的正方形，则空白部分面积为    16．如图，将一根长为的牙刷放置在底面直径为，高为的圆柱形牙刷筒中，则牙刷露在筒外的长度最小 ． 17．图1是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延长交、分别于点、，延长交于点（如图2）． （1）若的面积为，小正方形的面积为，则＝ ； （2）如图2，若，则＝ （用含的代数式表示）． 18．我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角形的边长分别是，斜边的长为c，作三个边长分别为a，b，c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A，C，E三点在一条直线上.若，四边形与面积之和为13.5，则正方形的面积为 . 三、解答题 19．如图，用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的点P；（保留作图痕迹，不写作法）    20．由若干个大小相同且边长为1的小正方形组成的方格中： (1)如图①，作直线； (2)在图②中画出一个面积为10的正方形． 21．如图，隧道的截面由半径为5米的半圆构成． (1)如图1，一辆货车宽，高，它能通过该隧道吗？ (2)如图2，如果该隧道内设双行道，一辆宽为，高为的货车能驶入这个隧道吗？ (3)如图3，如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有0.6m的隔离带，则一辆宽为，高为的货车______通过隧道（填“能”或“不能”）． 22．（1）在第一象限内，画，使，， ； （2）画出关于y轴对称的图形． 23．赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．    24．在我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从图1，图2，图3的证明方法中任选一种来证明该定理． (2)如图4所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明． 25．综合与实践 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者． (1)我国汉代数学家赵爽创制了一幅如图1所示的用4个全等的直角三角形拼成的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．在中，，若，，，请你利用这个图形说明． (2)业余数学爱好者向常春在1994年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图2所示的方式放置，，，，，连接，，用a，b，c分别表示出梯形，四边形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，从而证明勾股定理．请你补充该证明过程． 26．请阅读下面文字并完成相关任务． 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽． (1)如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面问题： 如图2，在中，是边上的高，，，，设，求的值．    (2)2002年在北京召开的国际数学家大会会标和2021年在上海召开的国际数学教育大会会标，都包含了赵爽的弦图． 如图3，如果大正方形的面积为18，直角三角形中较短直角边长为，较长直角边长为，且，那么小正方形的面积为______． (3)勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是______． A．函数思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 一定是直角三角形吗（2个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 知识点2．勾股数 勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 题型强化 题型一．勾股定理的逆定理 1．（2023春•恩施市期末）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是　　 A．3，4，5 B．，， C．5，12，13 D．1，， 【分析】根据勾股定理的逆定理，判断较小两边的平方和是否等于第三边的平方，则可以判断各个选项的三条线段能否构成直角三角形，本题得以解决． 【解答】解：、，故选项中的三条线段能构成直角三角形，故不符合题意； 、，故选项中的三条线段不能构成直角三角形，故符合题意； 、，故选项中的三条线段能构成直角三角形，故不符合题意； 、，故选项中的三条线段能构成直角三角形，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答． 2．（2023秋•鄞州区期末）若三角形的三边之比为，则此三角形为　直角　三角形． 【分析】根据勾股定理的逆定理得出即可． 【解答】解：三角形的三边之比为， ， 此三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，能熟记勾股定理的内容是解此题的关键． 3．（2023秋•玉环市期末）如图，是等腰三角形，其中，，是线段上一点，满足，连接，． （1）求证：； （2）求的长度． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可证； （2）根据勾股定理可得，即，解方程求出，进而得到． 【解答】（1）证明：在中，，，， ， 是直角三角形，且， ； （2）解：， 是直角三角形， ， 即， ， ， 解得， ． 【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形． 题型二．勾股数 4．（2024春•信阳期末）在下列各组数据中，不能作为直角三角形的三边边长的是　　 A．3，4，6 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15 【分析】根据勾股定理的逆定理，只需验证两较小边的平方和是否等于最长边的平方即可． 【解答】解：、，故符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形． 5．（2024春•潜江月考）观察以下几组勾股数，并寻找规律： ①3，4，5； ②5，12，13； ③7，24，25； ④9，40，41； ， 请你写出具有以上规律的第⑦组勾股数：　15，112，113　． 【分析】先根据给出的数据找出规律：发现第一个数是从3，5，7，9，的奇数，第二、第三个数相差为一．再根据勾股定理进行求解即可． 【解答】解：经观察，可以发现第①组勾股数的第一个数是奇数3，第②勾股数的第一个数是5，，故第⑤组勾股数的第一个数是11，第⑥组勾股数的第一个数是13，第⑦组勾股数的第一个数是15， 又发现每一组勾股数的第二、第三个数相差1，故设第二个数为，第三个数为， 根据勾股定理，得：， 解得． ， 则得第⑦组数是：15，112，113． 故答案为：15，112，113． 【点评】本题考查了勾股数，根据给出的数据找出规律是解题的关键． 6．（2023秋•新吴区校级期中）课堂上学习了勾股定理后知道：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决． 若两直角边为，，斜边为． （1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、　60　、　　； （2）当为奇数，且时，若　　，　　时可以构造出勾股数（用含的代数式表示）；并证明你的猜想； （3）当为偶数，且时，若　　，　　时可以构造出勾股数（用含的代数式表示）； （4）构造勾股数的方法很多，请你寻找当时，　　． 【分析】（1）分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一组一组勾股数：11，60，61； （2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一可得、，然后计算验证即可； （3）根据所提供的例子发现股是勾的平方的四分之一减一，弦是勾的平方的四分之一加一可得、，然后计算验证即可； （4）由勾股定理可得：，再根据勾股定理可得；然后根据列举法即可解答． 【解答】解：（1）、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；， ，60，61； 故答案为：60，61． （2）观察发现：当为奇数，且时，则股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；则用含的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为：； 证明如下： ， ， 又为奇数，且， ，三个数组成的数是勾股数． （3）观察发现：当为偶数，且时，则股是勾的平方的四分之一减一，弦是勾的平方的四分之一加一；则用含的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为：，； 证明如下： ， ， 又为偶数，且， ，，三个数组成的数是勾股数． 故答案为：，； （4）由勾股定理可得：， 当，则有：，即， 当， 解得：； 当， 解得：； 当， 解得：； 当， 解得：． 综上，的值为25或52或101或29． 故答案为：25或52或101或29． 【点评】本题考查了勾股数，列代数式，规律型：图形的变化类，发现规律是解题的关键． 题型三、勾股定理的证明方法 7．（23-24八年级上·河南郑州·期中）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如下图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”.实际上它也可用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（    ） A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．方程思想 【答案】C 【分析】本题是对数学思想的考查，根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，据此回答即可． 【详解】解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法， 如勾股定理的推导是根据图形面积转换得以证明的， 由图形到数学规律的转化体现的数学的思想为：数形结合思想， 故选：C． 8．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为： ； 【答案】 【分析】本题考查利用图形面积证明勾股定理，掌握图形面积的多种求法，一般利用面积公式直接求解，两种方法利用拼组图形面积和来求是解题关键． 先根据勾股定理得出大正方形的面积，再得出三角形的面积，最后根据小正方形的面积=大正方形面积4个三角形面积，即可解答． 【详解】解；大正方形的面积， 三角形的面积， ∴小正方形的面积， 故答案为：． 9．（23-24全国·假期作业）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理． 下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形的面积是解本题的关键．证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和，化简整理即可得到勾股定理表达式． 【详解】证明：如图（1），连接，过点作边上的高，则． ， ， ， ． 题型四、勾股定理与无理数 10．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）已知正方形的面积为1，该正方形的下列几何量的数值中，是无理数的是（       ） A．边长 B．周长 C．面积 D．对角线 【答案】D 【分析】本题考查无理数，勾股定理，根据正方形的面积公式，周长、对角线进行解答． 【详解】解：∵正方形的面积为1， 则正方形的边长为1，周长为4，面积为1，对角线长为，其中是无理数， 故选：D． 11．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，，，以点为圆心，长为半径画弧与数轴交于点，点，表示的数分别为0，1．则点表示的数为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴等知识，利用勾股定理依次求出、、的长，从而得出的长，即可得出答案． 【详解】解：在中，， 同理，，， 由题意知，， 点表示的数是． 故答案为：． 12．（22-23八年级上·陕西西安·期中）在如图所示的数轴上作出表示的点（保留作图痕迹，不写作法）．    【答案】见解析 【分析】只需作出以1和4为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是．然后以原点为圆心，以为半径画弧，和数轴的负半轴交于一点即可． 【详解】解：如图，点P表示的数为．    【点睛】本题考查了实数与数轴的关系、勾股定理等知识知识；熟练掌握勾股定理是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．某扇门的规格是，下列规格的长方形薄木板不能从该扇门通过的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．利用勾股定理计算出门框对角线长，再与薄木板的宽比较即可． 【详解】门框的对角线长为米． ∵米． ∴只有D选项的薄木板的宽大于，即只有D选项的薄木板不可以通过． 故选：D． 2．赵爽是我国东汉末至三国时代的一位数学家，其在为《周髀算经》作注时，解释了《周髀算经》中的勾股定理，并给出了证明（参照如图）：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实．”这种证明方法所体现的数学思想是（    ） A．转化思想 B．数形结合思想 C．方程思想 D．函数思想 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 【详解】解：题中根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：B． 3．下面图形能够验证勾股定理的有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】利用面积法验证或证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：第一个图形：两个小正方形的面积分别为4和9，大正方形的面积为13，可得，可得，可以验证勾股定理． 第二个图形：梯形的面积，化简得；可以证明勾股定理． 第三个图形：中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理． 第四个图形：由图形可知割补前后的两个小直角三角形全等，则正方形的面积两个直角三角形的面积的和，即，化简得；可以证明勾股定理， 能够验证勾股定理的有4个． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明、直角三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，运用面积法得出等式是解决问题的关键． 4．边长为1的正方形在数轴上的位置如图所示，点B表示的数是（　　）    A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由于正方形的边长为1，可知为等腰直角三角形，可利用勾股定理求出的长，即可得到B点表示的数． 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴在等腰直角中， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，根据四边形为正方形判断出为直角三角形是解题的关键． 5．如图，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地面4.5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m内，灯就会自动发光.小明身高1.5m，他走到离墙多远的地方灯刚好发光（    ）    A．1m B．2m C．3m D．4m 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意作出图形，正确构造直角三角形、根据勾股定理计算即可． 【详解】解：当人走到点的位置，头顶与点距离是时，灯刚好自动发光， 作于，    则， 在中，， 答：身高的学生要走到离墙的地方灯刚好发光． 故选：D． 6．如图，数轴于A，，，以O为圆心，以长为半径作圆弧交数轴于点P，则点P表示的数为（    ）        A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，进而得出，则，即可求解． 【详解】解：根据勾股定理可得： ， ， ∵以长为半径作圆弧交数轴于点P， ∴， ∴点P表示的数为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，在数轴上表示无理数，解题的关键是熟练掌握勾股定理：直角三角形两直角边是平方和等于斜边的平方． 7．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“秋千静止的时候，踏板高地1尺，将它往前推送两步(两步＝10尺)时，此时踏板升高到离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长?”如图，若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了考差了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出 的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．设秋千的绳索长为 尺，根据题意可得尺，利用勾股定理可得方程． 【详解】解：设秋千的绳索长为 尺，根据题意可列方程为：即． 故选：C 8．如图是“赵爽弦图”，由4个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是52，小正方形的面积是4，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则的值是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理的相关知识是解题的关键． 先求出小三角形的面积，然后根据勾股定理分析即可． 【详解】解：因为大正方形的面积是52，小正方形的面积是4， 所以一个小三角形的面积是，三角形的斜边为， 所以，， 所以， 所以． 故选：C． 9．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的， ，点D，E，F，G，H，I都在长方形的边上，则长方形的面积为（    ） A．420 B．440 C．430 D．410 【答案】B 【分析】延长交于P，延长交于Q，可得全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出和的长，再根据长方形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，延长交于P，延长交于Q， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∵图2是由图1放入长方形内得到， ∴，， ∴长方形的面积． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质与判定，作辅助线构造出全等三角形并得到长方形的邻边的长是解题的关键，也是本题的难点． 10．图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在中，若直角边，，将四个直角三角形中边长为的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理在几何图形中的应用，通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后即可求出风车外围的周长，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，又∵为直角三角形，将长度为的边延长一倍长度为， ∴由勾股定理知，延伸后斜边长为， 又∵四个直角三角形全等， ∴这个风车外围周长为， 故选：． 二、填空题 11．如图，在数轴上，点表示的数为，与数轴垂直，且，以原点为圆心，为半径的圆交数轴于点（点在点的右侧），则点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，利用勾股定理求出即可得到答案． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， ∴点P表示的数为， 故答案为：． 12．在图中所示的长方形零件示意图中，根据所给的部分尺寸，则两孔中心和的距离为 ．         【答案】130 【分析】首先根据题意算出和的长，再利用勾股定理计算出的长即可． 【详解】解：如图所示： 由题意得：，， 在中：， 答：两孔中心A、B之间的距离为． 故答案为：130． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键． 13．如图，在中，，，在数轴上，点与原点重合，以原点为圆心，线段长为半径画弧，交数轴正半轴于一点，则这个点表示的实数是 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，实数在数轴上的表示，根据勾股定理求出，根据题意即可求解，熟练掌握知识点得应用是解题的关键． 【详解】在中，，， 由勾股定理得：， 则这个点表示的实数是， 故答案为：． 14．“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，它巧妙利用面积关系证明了勾股定理，如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，若小正方形的面积为，大正方形的面积为，那么为 ．    【答案】1 【分析】结合图形，求出的值，再利用完全平方公式计算即可得出． 【详解】解：根据题意得：，，即， 则， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，采用数形结合的方法是解题的关键． 15．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将两个大小相同的“赵爽弦图”（如图1）中的两个小正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成边长为10的正方形，则空白部分面积为    【答案】50 【分析】本题主要考查正方形的面积，根据大正方形的边长求出“赵爽弦图”中正方形的边长是解题的关键． 【详解】解：正方形的边长为10， “赵爽弦图”中正方形的边长5， 空白处的面积大正方形的面积小正方形面积． 故答案为：． 16．如图，将一根长为的牙刷放置在底面直径为，高为的圆柱形牙刷筒中，则牙刷露在筒外的长度最小 ． 【答案】5 【分析】本题考查勾股定理，当牙刷一端在底面圆上时，露在筒外的长度最小，根据实际情况构建数学模型是解题的关键． 【详解】解：如图，为底面直径，为高，当牙刷如图放置时露在筒外的长度最小， ，， ， ， 即牙刷露在筒外的长度最小， 故答案为：5． 17．图1是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延长交、分别于点、，延长交于点（如图2）． （1）若的面积为，小正方形的面积为，则＝ ； （2）如图2，若，则＝ （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形的性质，图形面积的几何意义与代数式的变形．掌握正方形的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理求出和的等式，即可得到； （2）求出，，之间的关系式，从而求得面积比． 【详解】解：（1）设， ， ∵若的面积为，小正方形的面积为， ∴，， ∴， ∵， ∴ 故答案为：； （2）∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18．我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角形的边长分别是，斜边的长为c，作三个边长分别为a，b，c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A，C，E三点在一条直线上.若，四边形与面积之和为13.5，则正方形的面积为 . 【答案】36 【分析】作于点，根据四边形、四边形、四边形都是正方形，得，，，证明，由题意得，，证明，再证明，得出，根据，，通过计算可得，． 【详解】解：如图，作于点，则， 四边形、四边形、四边形都是正方形， ，，， ， ， ，， ，，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ①， ， ②， 由①②得， ， ， 故答案为：36． 【点睛】此题重点考查勾股定理的证明、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、乘法公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 三、解答题 19．如图，用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的点P；（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析 【分析】根据勾股定理求出斜边的长为，再根据点P在原点的右侧，即可得到点P． 【详解】解：如图，点P即为所求；    ∵， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了勾股定理，实数与数轴，掌握直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 20．由若干个大小相同且边长为1的小正方形组成的方格中： (1)如图①，作直线； (2)在图②中画出一个面积为10的正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定： （1）根据网格的特点进行作图即可； （2）根据弦图的特点，用四个全等的直角三角形（两直角边的产分别为1和3）进行构造弦图即可得到答案． 【详解】（1） 解：如图所示，即为所求． 21．如图，隧道的截面由半径为5米的半圆构成． (1)如图1，一辆货车宽，高，它能通过该隧道吗？ (2)如图2，如果该隧道内设双行道，一辆宽为，高为的货车能驶入这个隧道吗？ (3)如图3，如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有0.6m的隔离带，则一辆宽为，高为的货车______通过隧道（填“能”或“不能”）． 【答案】(1)能 (2)能 (3)不能 【分析】本题考查了勾股定理的应用， （1）设于点，根据勾股定理得出长，再进行比较即可； （2）设于点，连接，根据勾股定理得出长，再进行比较即可； （3）设于点，连接，根据勾股定理得出长，再进行比较即可； 熟练掌握知识点，并添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）如图所示， 设于点，， ，， ，这辆车能通过该隧道； （2）设于点，，连接，如图所示， ，， ，这辆车能通过该隧道； （3）设于点，，连接，如图所示， ， ， ， 这辆车不能通过该隧道, 故答案为：不能． 22．（1）在第一象限内，画，使，， ； （2）画出关于y轴对称的图形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了勾股定理，作图—轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据勾股定理，即可在第一象限内，画，使，， ； （2）根据轴对称的性质即可画出关于y轴对称的图形． 【详解】解：（1），，， 如图，即为所求； （2）如图，即为所求． 23．赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．    【答案】绳索的长度是 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．设秋千的绳索长为，，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可作答． 【详解】解：由题意得：， 在中，由勾股定理得：， 设绳索的长度为，则， ∴， 解得：， 答：绳索的长度是． 24．在我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从图1，图2，图3的证明方法中任选一种来证明该定理． (2)如图4所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明． 【答案】(1)任选一个即可，证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明，解决本题的关键是学会利用面积法证明勾股定理． （1）根据图中面积关系即可得证； （2）根据勾股定理及圆的面积公式解答即可得证． 【详解】（1）解：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即，化简得：； 在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即，化简得：； 在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即，化简得：； （2）解：，，满足的关系是， ，， ， ． 25．综合与实践 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者． (1)我国汉代数学家赵爽创制了一幅如图1所示的用4个全等的直角三角形拼成的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．在中，，若，，，请你利用这个图形说明． (2)业余数学爱好者向常春在1994年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图2所示的方式放置，，，，，连接，，用a，b，c分别表示出梯形，四边形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，从而证明勾股定理．请你补充该证明过程． 【答案】(1)说明见解析； (2)补充证明见解析． 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，全等三角形的性质，数形结合是解答本题的关键． （1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式； （2）先证明，然后分别表示出出梯形，四边形，的面积，再根据四边形的面积-四边形的面积的面积即可求解． 【详解】（1）∵大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为， ∴， 即； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵直角梯形的面积， 四边形的面积， 的面积， ∵四边形的面积－四边形的面积的面积 ∴， 化简得：． 26．请阅读下面文字并完成相关任务． 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽． (1)如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面问题： 如图2，在中，是边上的高，，，，设，求的值．    (2)2002年在北京召开的国际数学家大会会标和2021年在上海召开的国际数学教育大会会标，都包含了赵爽的弦图． 如图3，如果大正方形的面积为18，直角三角形中较短直角边长为，较长直角边长为，且，那么小正方形的面积为______． (3)勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是______． A．函数思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 【答案】(1) (2)2 (3)D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、完全平方公式的应用等知识，理解并掌握勾股定理及其验证过程是解题关键． （1）结合题意可知，，然后在和中，利用勾股定理列式求解即可； （2）设大正方形的边长为，由题意可知，利用勾股定理可得，结合易得，然后根据完全平方公式，由，即可求得答案． （3）勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了数相结合的数学思想，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵是边上的高， ∴， ∵，，，， ∴， 在和中， 可有， 即，整理可得， ∴； （2）设大正方形的边长为， 根据题意，， ∴， ∵， ∴， 又∵小正方形的边长为：， ∴， 即小正方形的面积为2． 故答案为：2； （3） 勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是数形结合思想． 故答案为：数形结合思想． 学科网（北京）股份有限公司 $$