2.3 用公式法求解一元二次方程 第1课时 课件2024-2025学年北师大版数学九年级上册

第二章 一元二次方程 2.3 用公式法求解一元二次方程 第1课时 公式法与根的判别式 九 数学 上册 年级 北师版 1 知识点一：用配方法推导一元二次方程求根公式 （北师9上P41、人教9上P9）推导 <m></m> 的求根公式. 解：一移：把常数项移到等号的右边，得</m> . 二化：二次项系数化为1，得 <m></m> . 2 三配：配方，得 _ _______ ________， 即 _ ____ _ _______. 四开：若 ，则 ， 即 . <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> 1.用公式法解下列一元二次方程： （1） . 解： ＝____， ＝_____， ＝_____. ______________________=_____ . ________=______， 即 ____， _ _____. 2 -3 -2 25 <m></m> <m></m> 2 <m></m> 4 （2） . 解： ____， _____， ____. ___________________=____. _______， 即 ____. 2 -4 2 <m></m> 0 <m></m> 1 5 知识点二：用公式法解一元二次方程 （1）一元二次方程 <m></m> 的求根公式为 <m></m> . （2） 解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入___________，可以避免配方过程而直接求出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 求根公式 6 2.（北师9上P42）用公式法解一元二次方程： <m></m> . 解： <m></m> ， <m></m> ， <m></m> . <m></m> ， <m></m> . <m></m> ， <m></m> . 7 知识点三：一元二次方程根的判别式 （1） 一元二次方程 的根的判别式为： ___________. <m></m> （2） _____0 方程有两个不相等的实数根； ____0 方程有两个相等的实数根； _____0 方程没有实数根. ＞ = ＜ 8 3.下列一元二次方程中,没有实数根的是( @27@ ) A. B. C. D. C 9 例1 解方程： . 【点拨】先把方程化为一般形式,确定 ， ， 的值,在 的前提下,将 ， ， 的值代入公式求解,同时要注意符号. 【解】 , , , , , . 10 例2 取何值时,关于 的一元二次方程 ， 【点拨】根据方程根的情况,由 与0的关系列不等式解决问题. （1） 有两个不相等的实数根？ （2） 有两个相等的实数根？ （3） 没有实数根？ 11 【解】（1） 方程 是关于 的一元二次方程, . 方程的判别式为 . 由 ,求得 .又 ， 当 且 时,方程有两个不相等的实数根. （2）由 ,得 . 当 时,方程有两个相等的实数根. （3）由 ,得 ， 当 时,方程没有实数根. 变式 已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根. （1） 求实数 的取值范围. 解： . 原方程有两个不相等的实数根， ， . 14 （2） 方程的两个根可以互为相反数吗？若可以，请求出这两个根和此时 的值;若不可以,请说明理由. 假设方程的两个根互为相反数， 则 ， ，此时，原方程变为 ，解得 ， . 此方程的两个根可以互为相反数. 易错示例 已知关于 的方程 有实数根,求 的取值范围. 【错解】 方程 有实数根， 且 . 解这两个不等式,得 且 . 当 且 时,关于 的方程 有实数根. 【点拨】本题把方程有实数根与有两个实数根混为一谈,将关于 的方程片面地看成一元二次方程导致错误.应根据二次项系数 是否为零分一元一次方程和一元二次方程进行讨论. 16 【正解】 方程 有实数根， 当 时, , 即方程为 ,解得 . 当 且 时, 解这两个不等式,得 且 . 当 时,关于 的方程 有实数根. 17 1. 用公式法解一元二次方程 时，首先要确定 ， ， 的值，下列叙述中正确的是( ) A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ， ， D 18 2. 一元二次方程 根的判别式的值为( ) A. B. C. D. A 3. 下列关于 的一元二次方程中有实数根的是( ) A. B. C. D. D 19 4. 关于 的一元二次方程 有两个实数根，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. 且 D. 且 C 5. 小明设计了一个魔术盒，将任意实数对 放入其中，会得到一个新的实数 .若将实数对 放入其中，得到的新数为5，则 ___________. -3 20 6. 用公式法解方程： （1） ; 解： , . （2） . 解： . 21 7. 解关于 的一元二次方程： ． 解： 是关于 的一元二次方程的一般形式, , ， . . 当 时, . 由求根公式,得 ， , . 22 8. 已知关于 的方程 . （1） 求证：无论 取何值，此方程总有实数根； 证明： ， 无论 取何值，此方程总有实数根. 23 （2） 若等腰 的一条边长 ，另两条边长 ， 恰好是此方程的两根，求 的周长. 解:①若 为底边长，则 ， 为腰长， ，此时 . ，解得 . 此时原方程化为 . ，即 . 此时 的三边长为3， ， ，周长为7. ②若 为腰长，则 ， 中有一个为腰长，不妨设 . 知识点一：用公式法解一元二次方程在实际生活中的应用（解符合实际问题的情况） （1）能够建立一元二次方程模型解决有关面积的问题. （2）与直角三角形有关的问题：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是这类问题的等量关系,即用勾股定理列方程. 25 1.（北师9上P44）如图 , 在一块长 <m></m> ,宽 <m></m> 的矩形荒地上,要建造一个花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半.其中花园四周小路的宽都相等,求小路的宽. 26 解：设小路的宽为 <m></m> , 根据题意,得 <m></m> . 即 <m></m> . 解得 <m></m> , <m></m> . 将 <m></m> 代入方程中 , 不符合题意舍去. 答：小路的宽为 <m></m> . 27 知识点二：用公式法解一元二次方程在实际生活中的应用（解不符合实际问题的情况） （1）主要集中在几何图形的面积问题, 这类问题中面积公式是等量关系. （2）如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程,注意验证解是否符合实际. 28 2.在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角,墙 <m></m> 足够长,墙 <m></m> 长为 <m></m> ,用 <m></m> 长的篱笆围成一个矩形花园 <m></m> ,能够围成面积为 <m></m> 的矩形花园吗？如果能,说明围法；如果不能,请说明理由. 29 解：设 <m></m> , 则 <m></m> . 由题意,得 <m></m> ,即 <m></m> . <m></m> , <m原方程无实数根. 答：不能围成面积为 <m></m> 的矩形花园. 30 例1 某公司投资新建了一个商场,共有商铺30间.据预测,当每间的年租金定为10万元时,可全部租出；每间的年租金每增加5000元,商铺就会少租出1间.该公司每年要为租出的每间商铺交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年需交各种费用5000元． 31 （1） 当每间商铺的年租金定为13万元时,能租出多少间？ 【解】 , 能租出24间. （2） 当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益(收益＝租金－各种费用)为275万元？ 【点拨】解答本题须知:①金额单位统一为“万元”;②租金增加导致少租出的间数 租金增加额 ;③需从租金中扣除的金额(即“收益 租金 各种费用”中的“各种费用”)为:租出去的间数 没租出去的间数 . 设每间商铺的年租金增加 万元,则 , , 其中 ， , , . 则 , 或 . 每间商铺的年租金定为 万元或15万元时，该公司的年收益为275万元． 例2 如图，某公司计划用 长的材料沿墙建造矩形仓库，仓库的一边靠墙.已知墙长 ，设矩形的宽 为 . 【点拨】利用矩形的性质及面积公式，构建方程模型，再根据实际问题及根的判别式验证所获得的方程、方程的解是否符合题意. 34 （1） 用含 的代数式表示矩形的长 . 【解】依题意得 . （2） 能否建造成面积为 的矩形仓库？若能，求出矩形仓库的长和宽；若不能，请说明理由. 能. 由题知 ， 解得 ， . 当 时， ，舍去. 故能建成面积为 的矩形仓库，此时长为 ，宽为 . （3） 能否建造成面积为 的矩形仓库？若能，求出矩形仓库的长和宽；若不能，请说明理由. 不能. 由题知 ， 化简整理得 . 此时 ，此方程无解， 不能建造成面积为 的矩形仓库. 1. 在正方形铁片上，截去 宽的一条长方形铁片，余下的面积是 ，则原来的正方形铁片的面积是( ) A. B. C. D. B 2. 直角三角形两直角边长的和为7，面积为6，则斜边长为____. 5 38 3. 如图，将边长为 的正方形 沿其对角线 剪开，再把 沿着 方向平移，得到 .若两个三角形重叠部分的面积为 ，则它移动的距离 等于____ . 39 4. 将一块长 、宽 的矩形荒地修建成一个花园，花园所占的面积为原来荒地面积的 . ①设计方案1（如图1）：花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路； ②设计方案2（如图2）：花园中每个角的扇形都相同. 以上两种方案是否都符合条件？若符合，请计算出图1中小路的宽和图2中扇形的半径；若不符合，请说明理由.（结果精确到 ） 40 解：都符合条件.设小路的宽度为 ，根据题意列方程，得 . 由公式法，可得 ， （不合题意，舍去）. 故图1中小路的宽为 . 设扇形的半径为 ，根据题意列方程，得 . 解得 ， （不合题意，舍去）. 故扇形的半径约为 . 5. “任意给定一个矩形 ，是否存在另一个矩形 ，它的周长和面积分别是已知矩形 的周长和面积的 ？” 42 （1） 当已知矩形 的边长分别为3和1时，小明是这样研究的：设所求矩形 的两边长分别是 和 ，由题意得方程组 消去 化简得 . ， 此方程_______. 满足要求的矩形 _________（填“不存在”或“存在”）. 无解 不存在 （2） 若已知矩形 的边长分别为10和1，请仿照小明的方法研究是否存在满足要求的矩形B.若存在，求出矩形 的长和宽；若不存在，请说明理由. 解：设长是 ，宽是 ，则有 化简得 . 由公式法可求得 , . 此时 , . 存在矩形 ，它的长为2，宽为 . （3） 如果矩形 的边长为 和 ，请你直接写出：当 , 满足什么条件时，矩形 存在？ 当 时，矩形 存在. $$