精品解析：安徽省六安市金安区皋城中学2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题

安徽省六安市金安区皋城中学2023-2024学年 九年级上学期期末数学模拟测试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 若，则下列比例式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，熟记性质是解题的关键．根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解． 【详解】解∶A．由得，故本选项不符合题意； B．由得，故本选项符合题意； C．由得，故本选项不符合题意； D．由得，故本选项不符合题意； 故选∶B． 2. 如图，在中，，，，下列三角函数正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数求出答案． 【详解】解：在中，，，，由勾股定理得， ， 所以，，，， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义和勾股定理． 3. 二次函数图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标. 【详解】∵， ∴二次函数图象顶点坐标为：. 故答案为A. 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）． 4. 若点在反比例函数的图象上，则代数式ab－5的值为（ ） A. －3 B. 0 C. 2 D. －5 【答案】A 【解析】 【分析】由点在反比例函数的图象上，可知，代入进行求值即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是反比例函数图象上对应点与对应函数的关系，关键在于本题不必单独求得a，b值，直接求得进行整体代入． 5. 如图，在离铁塔100米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高为1.4米，则铁塔的高为（ ） A 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】过点作，为垂足，由锐角三角函数的定义求出的长，再由即可得出结论． 【详解】解：过点作，为垂足，如图所示： 则四边形为矩形，米， 米， 在中，， ， （米， 故选：A． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确作出辅助线，解题的关键是构造出直角三角形． 6. 已知函数，其中，，此函数的图像可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在函数，，，则函数图像开口向下，，可得函数图像与y轴的交点在y轴的负半轴上，即可得． 【详解】解：在函数，，， ∴函数图像开口向下，， ∴函数图像与y轴的交点在y轴的负半轴上， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图像，解题的关键是掌握二次函数的图像． 7. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB的值为（　　） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值及等腰直角三角形的性质解答． 【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ， ∴∠A=∠B=45°， ∴cosB=． 故选B． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 8. 如图：将一个矩形纸片，沿着折叠，使点分别落在点处.若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设∠ABE=x， 根据折叠前后角相等可知，∠C1BE=∠CBE=50°+x， 所以50°+x+x=90°， 解得x=20°． 故选B． 9. 如图，A是双曲线上的一点，点C是的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，且的面积是4，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据点C是OA的中点，根据三角形中线的可得，进而可得，根据点B在双曲线上，轴，以及，进而即可求解． 【详解】点C是OA的中点， ∴， ∴ ∴ 点B在双曲线上，轴， ∴ 双曲线经过一，三象限 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 10. 已知二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点B的坐标为，其图象如图所示．下列结论：①；②；③一元二次方程的两个根分别是，；④当时，；⑤当时，y随x的增大而减小．其中结论错误的个数为（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象开口方向、对称轴、与坐标轴的交点以及增减性质即可判断． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴． ∴． ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴． ∴， 故①错误； ∵， ∴， 故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线， 与x轴的一个交点B的坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为． ∴一元二次方程的两个根分别是 ，， 故③正确； 由图象可知时， 相应的x的取值范围为或， 故④错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， 故⑤错误． 综上所述，错误的结论有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质；解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 二、填空题（每题5分，本大题共4小题，共20分） 11. ______． 【答案】0 【解析】 【分析】先算特殊角的三角函数值，再进行减法运算即可． 【详解】解：； 故答案为：0． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 12. 抛物线的顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据抛物线的顶点式直接求得顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 13. 如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数的图象上，交y轴于点B，若点B是的中点，的面积为，则k的值为 _____． 【答案】6 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式可得，进而得出，由系数k的几何意义可得答案． 【详解】解：如图，过点C作轴于D， ∴， ∵点B是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义以及全等三角形的判定和性质，理解反比例函数系数k的几何意义，掌握全等三角形的判定和性质是正确解答的前提． 14. 正方形纸片中，E，F分别是、上的点，且，交于M．若E为中点，则_____；若，则_________________． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】连接，根据相似三角形计算即可求第一空；把的角放到直角三角形中，所以过作所在直线，利用角平分线的性质、全等三我的判定与性质和解直角三角形求解即可得第二空答案． 详解】解：连接，如图， 四边形正方形， ，且， ，， ， ， 为中点， ； 过点作，交的延长线于点，如图， 在中，， ，， ，， 即， ，， ， 即， ， ， ，， ， ， ， ， ， 过点作于点， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：2；． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解直角三角形，解题的关键是从题中找到作出正确的辅助线． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：cos60°﹣2sin245°＋tan230°﹣sin30°． 【答案】﹣ 【解析】 【分析】根据特殊角三角函数值进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题的关键． 16. 在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）以点为位似中心，作出的位似图形，使其位似比为，并写出点的坐标； （2）作出绕点逆时针旋转后的图形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）延长到使，延长到使，则可得到，然后写出点的坐标； （2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点、即可． 【小问1详解】 如图，为所作，点的坐标为； 【小问2详解】 如下图，为所作： 【点睛】本题考查了作图−位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 如图，在四边形中，对角线，是等边三角形，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得到，利用等边三角形的性质得到．则，即可得到结论； （2）证明．则．证明是等边三角形．进一步得到．在中，由勾股定理即可得到的长． 【小问1详解】 证明：由旋转的性质，知． ∵是等边三角形， ∴． ∴． ∴， 即． 【小问2详解】 解：在和中， ∴． ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴． 在中， 【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． （1）求一次函数的解析式． （2）当时，请直接写出x的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）将点代入反比例函数，求得，；再利用待定系数法求得一次函数的解析式即可； （2）根据一次函数与反比例函数的图象，结合，即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入反比例函数， 得，解得， ∵点A在第二象限， ∴， ∴，． 将点，代入， 得，解得， ∴一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：∵，， ∴由图象可得，当时，或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决问题的关键是掌握根据函数图象的交点坐标求一次函数解析式和有关不等式解集的方法．解答此类试题的依据是：①函数图象的交点坐标满足两个函数解析式；②不等式的解集就是其所对应的函数图象上满足条件的所有点的横坐标的集合． 五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆，箱长，拉杆的长度都相等，在上，在上，支杆，请根据以上信息，解决下列问题． 求的长度（结果保留根号）； 求拉杆端点到水平滑杆的距离（结果保留根号）． 【答案】（1）cm；（2）cm. 【解析】 【分析】过作于,,根据求出再求出CD，根据求出DE,即可求出AC; 过作交的延长线于，根据，求出即可. 【详解】解：过作于, 过作交的延长线于， 答：拉杆端点到水平滑杆的距离为． 【点睛】本题考查的是三角形的实际应用，熟练掌握三角形的性质是解题的关键. 20. 上体育课时，阿进在某次试投铅球时，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系是．建立如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的点A处出手，运动路径可看作抛物线，且点B是该函数图象上的一点． （1）请你画出该函数的大致图象； （2）若铅球推出的距离不小于的成绩为优秀，请通过计算，试求铅球落地的最远距离，并判断阿进此次试投的成绩是否能达到优秀． 【答案】（1）见解析 （2），能达到，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图象即可； （2）根据题意解方程即可得到结论． 【小问1详解】 函数图象如图所示． 【小问2详解】 解：令，得， 解得，（舍去）， ∴抛物线与x轴正半轴的交点坐标为． ∴铅球推出的距离为． ∴铅球推出的距离不小于的成绩为优秀， ∴阿进此次试投的成绩达到优秀． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确建立平面直角坐标系、熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 六、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 21. 已知一抛物线的顶点为（2，4），图象过点（1，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）动点P（x，5）能否在抛物线上？请说明理由； （3）若点A（a，y1），B（b，y2）都在抛物线上，且a＜b＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2）不在，见解析 （3）y1＜y2，见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件设抛物线的解析式为顶点式，把点（1，3）的坐标代入所设的解析式中即可求得a，从而可求得函数解析式； （2）把点P纵坐标代入抛物线的解析式中，得到关于x的二元一次方程，若方程有解，则点P在抛物线，否则不在抛物线上； （3）抛物线的对称轴为直线x=2，根据抛物线的增减性质即可比较大小． 【小问1详解】 设抛物线的解析式为 把点（1，3）的坐标代入中，得a+4=3 ∴ 即抛物线的解析式为； 【小问2详解】 动点P（x，5）不在抛物线上 理由如下： 在中，当y=5时，得 即 此方程无解 故点P不在抛物线上； 【小问3详解】 y1＜y2 理由如下： 抛物线的对称轴为直线x=2 ∵二次项系数−1<0，且 ∴函数值随自变量的增大而增大 即y1＜y2 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象与性质等知识，熟练掌握这些知识是关键，属于二次函数的基础题目． 22. 如图，在矩形中，，动点E从点A出发，沿边，向点C运动，A，D关于直线的对称点分别为M，N． （1）如图1，当E在边上且时，则的度数为________． （2）如图2，当N在延长线上时，设与延长线交于F，求的长． （3）连接，当直线恰好经过点C时，求的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由知，，可知，从而得出答案； （2）根据对称性得，，则，得，可得； （3）当在边上时，若直线过点，利用证明，得，当点在边上时，利用，则，从而解决问题． 【小问1详解】 解：， ， 四边形是矩形， ， ． 由对称性知， ． 【小问2详解】 如图2，，， ， 当落在延长线上时，， ． 由对称性得，， ， 得， ． 【小问3详解】 如图3，当在边上时，根据轴对称的性质知，点在上， ， ． ，， ， ． 如图4，点在边上时， ，， ，． ， ， ， ， ． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，根据题意画出图形，并运用分类讨论思想是解题的关键． 七、本大题（14分） 23. 如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标； （3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积． 【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处． 【解析】 【分析】（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式； （2）先求出点B的坐标，再根据勾股定理求得BC的长，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；②PB=PC；③BP=BC；分别根据这三种情况求出点P的坐标； （3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB最大面积；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处． 【详解】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c， 解得：b=﹣4，c=3， ∴二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3； （2）令y=0，则x2﹣4x+3=0， 解得：x=1或x=3， ∴B（3，0）， ∴BC=3， 点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1， ①当CP=CB时，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3 ∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）； ②当PB=PC时，OP=OB=3， ∴P3（0，-3）； ③当BP=BC时， ∵OC=OB=3 ∴此时P与O重合， ∴P4（0，0）； 综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）； （3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t， ∴S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1， 当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 安徽省六安市金安区皋城中学2023-2024学年 九年级上学期期末数学模拟测试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 若，则下列比例式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，，，下列三角函数正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 若点在反比例函数的图象上，则代数式ab－5的值为（ ） A. －3 B. 0 C. 2 D. －5 5. 如图，在离铁塔100米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高为1.4米，则铁塔的高为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 已知函数，其中，，此函数的图像可以是（ ） A. B. C. D. 7. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB的值为（　　） A. B. C. D. 1 8. 如图：将一个矩形纸片，沿着折叠，使点分别落在点处.若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，A是双曲线上的一点，点C是的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，且的面积是4，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 10. 已知二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点B的坐标为，其图象如图所示．下列结论：①；②；③一元二次方程的两个根分别是，；④当时，；⑤当时，y随x的增大而减小．其中结论错误的个数为（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题（每题5分，本大题共4小题，共20分） 11. ______． 12. 抛物线的顶点坐标为______． 13. 如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数的图象上，交y轴于点B，若点B是的中点，的面积为，则k的值为 _____． 14. 正方形纸片中，E，F分别是、上的点，且，交于M．若E为中点，则_____；若，则_________________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：cos60°﹣2sin245°＋tan230°﹣sin30°． 16. 在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）以点为位似中心，作出的位似图形，使其位似比为，并写出点的坐标； （2）作出绕点逆时针旋转后的图形． 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 如图，在四边形中，对角线，是等边三角形，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若，求长． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． （1）求一次函数的解析式． （2）当时，请直接写出x的取值范围． 五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆，箱长，拉杆的长度都相等，在上，在上，支杆，请根据以上信息，解决下列问题． 求的长度（结果保留根号）； 求拉杆端点到水平滑杆的距离（结果保留根号）． 20. 上体育课时，阿进在某次试投铅球时，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系是．建立如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的点A处出手，运动路径可看作抛物线，且点B是该函数图象上的一点． （1）请你画出该函数的大致图象； （2）若铅球推出的距离不小于的成绩为优秀，请通过计算，试求铅球落地的最远距离，并判断阿进此次试投的成绩是否能达到优秀． 六、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 21. 已知一抛物线的顶点为（2，4），图象过点（1，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）动点P（x，5）能否抛物线上？请说明理由； （3）若点A（a，y1），B（b，y2）都在抛物线上，且a＜b＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由． 22. 如图，在矩形中，，动点E从点A出发，沿边，向点C运动，A，D关于直线的对称点分别为M，N． （1）如图1，当E在边上且时，则的度数为________． （2）如图2，当N在延长线上时，设与延长线交于F，求长． （3）连接，当直线恰好经过点C时，求的长． 七、本大题（14分） 23. 如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P坐标； （3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$