精品解析：四川省乐山市2024届第三次调查研究考试理科数学试题

乐山市高中2024届第三次调查研究考试 理科数学 （本试卷共4页，满分150分．考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2，回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则集合A的元素个数为（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法表示集合A即可得出元素个数. 【详解】，共6个元素. 故选：C. 2. 已知是虚数单位，若和互为共轭复数，则复数的模为（ ） A. 2 B. C. 10 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由共轭复数的定义求出的值，再利用复数的模长公式求解即可. 【详解】由和互为共轭复数， 所以可得， ，， 所以，， 因此，. 故选：B . 3. 已知，且 为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角的平方关系与商数关系即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以，又 为第二象限角，所以. 故选：A. 4. 设双曲线，椭圆的离心率分别为，若，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得椭圆的离心率，进而可求得双曲线的离心率，可求 的值. 【详解】由椭圆，可得， 所以，所以椭圆的离心率， 又，所以双曲线的离心率为， 又双曲线，所以， 所以，解得. 故选：B. 5. 设，则（ ） A. 1 B. C. 2024 D. 【答案】C 【解析】 【分析】令 求得，令即可求得的值． 【详解】由，令 ，得； 令，得， 所以． 故选：C． 6. 一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ） A. 20 B. 24 C. 28 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的三视图，作出原几何体，再求出表面积即可得解. 【详解】原三视图对应的几何体是棱长为2的正方体，挖去角上一个棱长为1的正方体，如图， 该多面体的表面积为. 故选：B 7. 已知，若存在常数，使得为奇函数，则 的可能值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义，结合余弦型函数的奇偶性求解即得. 【详解】函数的定义域为 ，由为奇函数， 得是奇函数， 则必有函数是偶函数，函数是奇函数， 此时， 因此，当时，， 不存在整数，使得 值为BCD， 当时，是奇函数. 故选：A 8. 在区间，上任取一个实数 ，则使函数存在两个极值点的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得有两个不相等的实根，利用判别式可求得或，利用几何概型可求概率. 【详解】，若函数存在两个极值点， 则有两个不相等的实根， 所以， 解得或，区间的长度为15， 满足条件的区间长度为13， 由区间长度比得使函数存在两个极值点的概率为． 故选：D． 9. 在中，点是边上靠近点的三等分点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，由勾股定理求出，由余弦定理求出 可得，再由可得答案. 【详解】设，则， ， 由余弦定理得， ，解得 ，， 所以，， . 故选：C. 10. 若，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用放缩法可得，利用作商比较法可得，进而可得，可得结论. 【详解】， 所以则， 又， 所以，所以. 故选：D. 11. 三棱柱中，点在棱上，满足，点在棱上，且，点在直线上，若平面，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】作出示意图，根据体积关系可得为的靠近的三等分点，再根据面面平行的判定定理及性质，可找到点位置，从而可求解. 【详解】三棱柱中，，点在棱上，如图， 由，得， 则， 于是，则，即， 设三棱柱的侧棱长为6，则，， 又为的中点，取 的中点，连接 ，则，平面， 平面，于是平面，过作，且，连接， 平面，平面，于是平面，又， 平面，因此平面平面，又平面， 则平面，在中，，，， 所以. 故选：D 12. 已知圆，点，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，直线与 交于点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由表示出点坐标，代入直线方程得出点的轨迹，根据点到圆上一点距离最小值求法计算即可． 【详解】设，由题可知，则，即， 所以，所以点， 将点的坐标代入，化简得（ 不同时为0）， 故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又，点在该圆外， 所以的最小值为， 故选：B． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知，是夹角为的单位向量，若，则实数 的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】由平面向量数量积的运算及其性质进行计算即可. 【详解】由，是夹角为的单位向量，则， 由，则， 解得，. 故答案为：. 14. 若关于 的不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形，则的值为__________. 【答案】0或 【解析】 【分析】如图，分类讨论，当直线与y轴垂直时符合题意，解得；当直线与直线 垂直时符合题意，解得 . 【详解】作出直线 ，且直线经过定点， 若直线与y轴垂直，则 ， 不等式组表示的平面区域为 ，为等腰直角三角形，此时； 若直线与直线 垂直，则， 不等式组表示的平面区域为 ，为等腰直角三角形，此时 . 故答案为：0或. 15. 函数在区间上有且仅有3个零点，则 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】化简可得，在区间上有且仅有3个零点，等价于在区间上有且仅有3个解，结合图象进行求解即可. 【详解】 由函数 ， 又，则， 因为在区间上有且仅有3个零点， 即在区间上有且仅有3个解. 结合 与的图象，知， 解得，. 故答案为：. 16. 峨眉山是一个著名的旅游和朝圣地，以其壮丽的自然风光和宗教文化遗址而闻名．其中“九十九道拐”景点约有2000级台阶，某游客一次上1个或2个台阶，设爬上第个台阶的方法数为，给出下列四个结论： ①；②；③；④． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④． 【解析】 【分析】依题意得出，， ，再对每一选项进行判断． 【详解】根据一次上1个台阶或2个台阶，爬上第 个台阶的方法数为， 可得，， ， 所以，，，所以①正确； 因为 ，所以②正确； 由①有，，则，， 显然不满足，故③不正确； 因为 ， ， ， ， ， 累加可得， 所以，④正确． 故答案为：①②④． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 17. 已知是等差数列的前项和. （1）证明：是等差数列； （2）设为数列的前项和，若 ，求. 【答案】（1） 证明：设等差数列的公差为， ，． ． 是等差数列． （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，然后由等差数列的定义证明即可； （2）由（1）可知数列是等差数列，由 求出其首项和第四项，然后求出公差，利用等差数列的前项和公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 数列的首项为2，第四项为． 数列的公差． ． 18. 某学校举办了一次主题为“科技兴国，强国有我”的知识竞赛，并从所有参赛学生中随机抽取了男、女生各50人，统计他们的竞赛成绩（满分100分，每名参赛学生至少得60分），并将成绩分成4组：，，，（单位：分），得到如下的频率分布直方图． （1）现将竞赛成绩不低于90分的学生称为“科技知识达人”，成绩低于90分的学生称为“非科技知识达人”．把随机抽取的参赛学生数据统计如下，将下列 列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为能否获得“科技知识达人”称号与性别有关． 科技知识达人 非科技知识达人 合计 男生 15 女生 合计 （2）将频率视为概率，从所有参赛学生中随机抽取3人进行访谈，记这3人中是“科技知识达人”的人数为 ，求 的分布列与数学期望． 附：（其中 ）． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 科技知识达人 非科技知识达人 合计 男生 15 35 50 女生 5 45 50 合计 20 80 100 有的把握认为能否获得“科技知识达人”称号与性别有关 （2） 0 1 2 3 期望 【解析】 【分析】（1）补充完整 列联表，计算的值，再与临界值比较即可； （2）由题意可知， 的可能取值为0，1，2，3，利用二项分布的概率公式求出相应的概率，进而得到 的分布列，再结合期望公式求解． 【小问1详解】 列联表补充完整如下： 科技知识达人 非科技知识达人 合计 男生 15 35 50 女生 5 45 50 合计 20 80 100 零假设：能否获得“科技知识达人”称号与性别无关， 则， 所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即有的把握认为能否获得“科技知识达人”称号与性别有关； 【小问2详解】 从所有参赛学生中任取一人是“科技知识达人”的概率， 由题意可知：， 的可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， 所以 的分布列为： 0 1 2 3 所以． 19. 如图，平行六面体中，底面是边长为2的菱形，且 ，与平面所成的角为与交于． （1）证明： 平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1） 连结， 底面是边长为2的菱形，． ， ． 点为线段中点，． 为菱形，平面，平面 又 平面， 平面平面， 在平面上的射影为， 为直线与平面所成的角，即． 在中，， ． 则． 又平面平面， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先根据线面垂直得出面面垂直，再应用面面垂直性质定理得出线面垂直； （2）根据线面垂直建系，应用空间向量法求出二面角的余弦，最后应用同角三角函数关系得出正弦. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面，建立如图所示的空间直角坐标系 则， 则 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则即取，则． 即取则． 设二面角大小为 ， 则． ， 二面角的正弦值为． 20. 已知椭圆 的左､右焦点分别为 分别是椭圆的上下顶点， 分别是椭圆的左右顶点，点在椭圆上，且的面积为. （1）求椭圆的方程； （2）点是椭圆上的动点（不与 重合），是在点处的切线，直线交 于点，直线 交于点，求证：直线的斜率为定值. 【答案】（1） （2） 如图： 易知直线 斜率不为0，设直线 方程为 直线方程为： ， 联立，得． 由，得 ， ． 直线 的斜率为：． 直线 方程为： ． 令 ，得． ． 所以直线的斜率为定值. 【解析】 【分析】（1）根据条件求 的值，确定椭圆的标准方程. （2）因为直线 的斜率不为0，可设直线 方程为： ，与直线方程联立可得点坐标，与椭圆方程联立，可得点坐标，进一步写出直线 的方程，令 得点坐标，列出直线的斜率，化简即可. 【小问1详解】 ． 点在椭圆上， ，解得 或（舍） ． 椭圆的方程为 ． 【小问2详解】 略 21. 已知函数 （1）讨论 的单调性； （2）令，若存在，使得成立，求整数 的最小值． 【答案】（1）当 时， 在上单调递增；当 时， 在上单调递增，在上单调递减． （2）5. 【解析】 【分析】（1）先对 求导，再根据导数与函数单调性的关系即可求解； （2）问题转化为，存在，使成立， 构造函数，然后结合存在性问题与最值关系进行求解. 【小问1详解】 由题意 定义域为，． 当 时， ，在上单调递增． 当 时，由 ，得 当时， ，所以 在上单调递增． 当时， ，所以 在上单调递减． 综上所述，当 时， 在上单调递增； 当 时， 在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 由题知， 又，化简得：， 问题等价于：存在，使成立． 设，则 设， ，当时，，在上单调递增． 又，， 在上存在唯一零点． 设零点，则，即． ，；， 因此 在单调递减，在单调递增， ． ， 又， 的最小值为5． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法： 一是，利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是，函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理． 请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22. 在直角坐标系中，曲线的方程为的方程为是一条经过原点且斜率为正的直线. （1）以坐标原点为极点，轴正方向为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程； （2）若与分别相交于异于原点的两点，当时，求的直角坐标方程. 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）根据即可求解； （2）设曲线的极坐标方程为，分别联立与和的极坐标方程，求出，再根据即可得解. 【小问1详解】 由题意，， 因为的直角坐标方程， 所以的极坐标方程为． 因为的直角坐标方程化简得：， 所以的极坐标方程为． 【小问2详解】 由曲线是经过原点且斜率为正的直线． 故其极坐标方程可设为， 由题可得，得． 由，得． 因为， 所以． 故的直角坐标方程为． 23. 设不等式的解集为. （1）证明：； （2）比较与的大小. 【答案】（1）证明：记 则 ，解得，即． ， 则． 当且仅当时取等号. （2） 【解析】 【分析】（1）令，化简后，由，可求出，然后利用绝对值三角不等式可求证得结论； （2）结合利用作差法比较即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，所以 则 ， ∴， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乐山市高中2024届第三次调查研究考试 理科数学 （本试卷共4页，满分150分．考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2，回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则集合A的元素个数为（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 5 2. 已知是虚数单位，若和互为共轭复数，则复数的模为（ ） A. 2 B. C. 10 D. 3. 已知，且 为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 4. 设双曲线，椭圆的离心率分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，则（ ） A. 1 B. C. 2024 D. 6. 一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ） A. 20 B. 24 C. 28 D. 32 7. 已知，若存在常数，使得为奇函数，则 的可能值为（ ） A. B. C. D. 8. 在区间，上任取一个实数，则使函数存在两个极值点的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 在中，点是边上靠近点的三等分点，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 若，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 11. 三棱柱中，点在棱上，满足，点在棱上，且，点在直线上，若平面，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 12. 已知圆，点，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，直线 与 交于点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知，是夹角为的单位向量，若，则实数 的值是______． 14. 若关于 的不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形，则的值为__________. 15. 函数在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围是______． 16. 峨眉山是一个著名的旅游和朝圣地，以其壮丽的自然风光和宗教文化遗址而闻名．其中“九十九道拐”景点约有2000级台阶，某游客一次上1个或2个台阶，设爬上第个台阶的方法数为，给出下列四个结论： ①；②；③；④． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 17. 已知是等差数列的前项和. （1）证明：是等差数列； （2）设为数列的前项和，若 ，求. 18. 某学校举办了一次主题为“科技兴国，强国有我”的知识竞赛，并从所有参赛学生中随机抽取了男、女生各50人，统计他们的竞赛成绩（满分100分，每名参赛学生至少得60分），并将成绩分成4组：，，，（单位：分），得到如下的频率分布直方图． （1）现将竞赛成绩不低于90分的学生称为“科技知识达人”，成绩低于90分的学生称为“非科技知识达人”．把随机抽取的参赛学生数据统计如下，将下列 列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为能否获得“科技知识达人”称号与性别有关． 科技知识达人 非科技知识达人 合计 男生 15 女生 合计 （2）将频率视为概率，从所有参赛学生中随机抽取3人进行访谈，记这3人中是“科技知识达人”的人数为 ，求 的分布列与数学期望． 附：（其中 ）． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19. 如图，平行六面体中，底面是边长为2的菱形，且 ，与平面所成的角为与交于． （1）证明： 平面； （2）求二面角的正弦值． 20. 已知椭圆 的左､右焦点分别为 分别是椭圆的上下顶点， 分别是椭圆的左右顶点，点在椭圆上，且的面积为. （1）求椭圆的方程； （2）点是椭圆上的动点（不与 重合），是在点处的切线，直线 交 于点，直线 交于点，求证：直线的斜率为定值. 21. 已知函数 （1）讨论 的单调性； （2）令，若存在，使得成立，求整数的最小值． 请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22. 在直角坐标系中，曲线的方程为的方程为是一条经过原点且斜率为正的直线. （1）以坐标原点为极点，轴正方向为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程； （2）若与分别相交于异于原点的两点，当时，求的直角坐标方程. 23. 设不等式的解集为. （1）证明：； （2）比较与的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $