24.4.1 弧长课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册

数学 人教版 九年级上册 第二十四章 圆 　24.4 弧长和扇形面积 第1课时 弧长 目录 课后小结 随堂练习 知识讲解 情境导入 学习目标 1 3 5 2 4 学习目标 1. 理解弧长公式的探求过程.（重点） 2. 应用弧长公式解决问题.（难点） 情境导入 在我们日常生活中，弧形随处可见，大到星体运行轨道，小到水管弯管，操场跑道，高速立交的环形入口等等，你有没有想过，这些弧形的长度怎么计算呢？ 知识讲解 知识点　弧长公式及其应用 弧长公式: 1. 半径为R的圆中，360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：C=2πR. 2. n°的圆心角所对的圆的弧长公式(弧是圆的一部分)：l= . 知识讲解 知识点　弧长公式及其应用 (1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的 ； (2)公式中的n表示1°圆心角的倍数，故n和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； (3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 知识讲解 知识点　弧长公式及其应用 1.求弧长：要求出弧长关键弄清公式中各项字母的含义． 2.利用弧长求半径或圆心角：逆用弧长的计算公式可求出相应扇形的圆心角和半径． 3.求动点运行的弧形轨迹：翻转求路线长的问题，通过归纳探究出这个点经过的路线情况，并以此推断整个运动途径，从而利用弧长公式求出运动的路线长． 知识讲解 知识点　弧长公式及其应用 【例 1】在半径为1 cm的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是 ________cm. 解析：根据弧长公式l＝ ，这里R＝1，n＝120， 将相关数据代入弧长公式求解， 即l＝ . 知识讲解 知识点　弧长公式及其应用 【例 2】如图，⊙O的半径为6 cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO.若∠A＝30°，则劣弧BC的长为________cm. 知识讲解 知识点　弧长公式及其应用 【例 2】如图，⊙O的半径为6 cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO.若∠A＝30°，则劣弧BC的长为________cm. 解析：连接OB、OC， ∵AB是⊙O的切线，∴AB⊥BO. ∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°. ∵BC∥AO，∴∠OBC＝∠AOB＝60°. 知识讲解 知识点　弧长公式及其应用 【例 2】如图，⊙O的半径为6 cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO.若∠A＝30°，则劣弧BC的长为________cm. 在等腰△OBC中， ∠BOC＝180°－2∠OBC＝180°－2×60° ＝60°. ∴劣弧BC的长为 ＝2π cm. 2π 知识讲解 知识点　弧长公式及其应用 【例 3】(1)已知扇形的圆心角为45°，弧长等于 ，则该扇形的半径是________； (2)如果一个扇形的半径是1，弧长是 ，那么此扇形的圆心角的大小为________． 知识讲解 知识点　弧长公式及其应用 【例 3】(1)已知扇形的圆心角为45°，弧长等于 ，则该扇形的半径是________； 解析：(1)若设扇形的半径为R， 则根据题意，得 ＝ ， 解得R＝2. 2 知识讲解 知识点　弧长公式及其应用 【例 3】 (2)如果一个扇形的半径是1，弧长是 ，那么此扇形的圆心角的大小为________． (2)根据弧长公式得 ＝ ， 解得n＝60，故扇形圆心角的大小为60°. 60° 知识讲解 知识点　弧长公式及其应用 【例 4】如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC＝ ，∠ACB＝90°，∠A＝30°.若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)． 解析：点A所经过的路线的长为三个半径为2，圆心角为120°的扇形弧长与两个半径为 ， 知识讲解 知识点　弧长公式及其应用 【例 4】如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC＝ ，∠ACB＝90°，∠A＝30°.若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)． 圆心角为90°的扇形弧长之和， 即l＝3× ＋2× ＝4π＋ π. 4π＋ π 随堂练习 1. 已知弧所对的圆周角为90°，半径是4，则弧长为    . 2π  随堂练习 2. 如图，半径为1的圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C，劣弧AC的长度为（　　） A. B. C. D. 随堂练习 2. 如图，半径为1的圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C，劣弧AC的长度为（　　） 解析：因为正五边形ABCDE的内角和是 （5﹣2）×180=540°， 则正五边形ABCDE的一个内角= =108°； 连接OA、OB、OC， ∵圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C， ∴∠OAE=∠OCD=90°， 随堂练习 2. 如图，半径为1的圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C，劣弧AC的长度为（　　） ∴∠OAB=∠OCB=108°﹣90°=18°， ∴∠AOC=144° 所以劣弧AC的长度为 = π． 随堂练习 2. 如图，半径为1的圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C，劣弧AC的长度为（　　） A. B. C. D. B 随堂练习 3. 如图，某传送带的一个转动轮的半径为40 cm，转动轮转90°传送带上的物品A被传送        cm. 20π 解析： cm. 随堂练习 4. 如图所示，把一块∠A＝30°的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A'B'C的位置．若BC的长为15 cm，求顶点A从开始到结束所经过的路径长            ． 解析：顶点A经过的路径是一段弧，弧所在的扇形的圆心角是120°，半径AC=2BC=30 cm,  20π cm cm. 随堂练习 5. 如图所示，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上时，弧BC的长度等于           ． 解析： 连接AC，知AC＝AB＝BC， ∴∠BAC＝60°， ∴弧 随堂练习 6. 一滑轮起重机装置（如图），滑轮的半径=10cm，当重物上升15.7cm时，滑轮的一条半径绕轴心逆时针方向旋转多少度(假设绳索与滑轮之间没有滑动，π取3.14)？  解析：设半径OA绕轴心O逆时针方向旋转的度数为n°，则 解得n≈90. 因此，滑轮旋转的角度约为90°. 随堂练习 7. 如图，有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧所对的圆心角是81°.这段圆弧所在圆的半径R是多少米(结果保留小数点后一位)？ 解析：因为弧长公式 ， 所以 (m). 答：这段圆弧所在圆的半径R大约为8.5 m. 随堂练习 8. 如图，一个边长为10cm的等边三角形模板在水平桌面上绕顶点按顺时针方向旋转到△A'B'C的位置，求顶点从开始到结束所经过的路程为多少. 解析：由图可知，由于∠A'CB'=60°， 则等边三角形木板绕点C按顺时针方向旋转了120°，即∠ACA' =120°， 这说明顶点A经过的路程长等于弧AA' 的长. ∵等边三角形ABC的边长为10 cm， 随堂练习 8. 如图，一个边长为10cm的等边三角形模板在水平桌面上绕顶点按顺时针方向旋转到△A'B'C的位置，求顶点从开始到结束所经过的路程为多少. ∴弧AA' 所在圆的半径为10 cm. ∴l弧AA' = 答：顶点A从开始到结束时所经过的路程 为 课后小结 弧长 弧长公式的应用 弧长公式 圆的周长 弧长公式 求弧长 利用弧长求半径或圆心角 求动点运行的弧形轨迹 谢谢！同学们再见！ $$