24.2.2 .2切线的判定与性质课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册

数学 人教版 九年级上册 第二十四章 圆 　24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系 第2课时 切线的判定与性质 目录 课后小结 随堂练习 知识讲解 情境导入 学习目标 1 3 5 2 4 学习目标 1．掌握判定直线与圆相切的方法，并能运用直线与圆相切的方法进行计算与证明．（重点） 2．掌握直线与圆相切的性质，并能运用直线与圆相切的性质进行计算与证明．（难点） 3．能运用直线与圆的位置关系解决实际问题． 情境导入 约在6 000年前，美索不达米亚人做出了世界上第一个轮子——圆型的木盘，你能设计一个办法测量这个圆形物体的半径吗？ 知识讲解 知识点1　切线的判定 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 知识讲解 知识点1　切线的判定 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线； 2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，则该直线是圆的切线； 3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 知识讲解 知识点1　切线的判定 证切线时辅助线的添加方法： (1)有交点，连半径，证垂直； 当已知直线过圆上的一点时，连接圆心和该点得到圆的半径，然后证明直线与这条半径垂直，即可得出已知直线为圆的切线. 知识讲解 知识点1　切线的判定 证切线时辅助线的添加方法： (2)无交点，作垂直，证半径. 当未提及直线与圆有公共点时，过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于半径，即可得出已知直线为圆的切线. 知识讲解 知识点1　切线的判定 【例 1】如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°，求证：CD是⊙O的切线． 证明：连接OC，∵AC＝CD，∠D＝30°， ∴∠A＝∠D＝30°. ∵OA＝OC，∴∠2＝∠A＝30°， ∴∠1＝60°，∵∠OCD＝180°∠1∠D=90°， ∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线． 知识讲解 知识点2　切线的性质 切线性质——圆的切线垂直于经过切点的半径． 有切线时常用辅助线添加方法：见切点，连半径，得垂直. 利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题. 知识讲解 知识点2　切线的性质 切线的其他重要结论： (1) 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； (2) 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 知识讲解 知识点2　切线的性质 【例 2】如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC. (1)求证：△ACB≌△APO； (2)若AP＝ ，求⊙O的半径． 知识讲解 知识点2　切线的性质 【例 2】如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC. (1)求证：△ACB≌△APO； (1)证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点， ∴∠OAP＝90°. ∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°， 知识讲解 知识点2　切线的性质 【例 2】如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC. (1)求证：△ACB≌△APO； 又∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形． ∴AB＝AO，∠ABO＝60°. ∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°. 知识讲解 知识点2　切线的性质 【例 2】如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC. (1)求证：△ACB≌△APO； 在△ACB和△APO中，∠BAC＝∠OAP， AB＝AO，∠ABO＝∠AOB， ∴△ACB≌△APO. 知识讲解 知识点2　切线的性质 【例 2】如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC. (2)若AP＝ ，求⊙O的半径． (2)解析：在Rt△AOP中，∵∠P＝30°， AP＝ ，∴AO＝1， ∴CB＝OP＝2， ∴OB＝1，即⊙O的半径为1. 知识讲解 知识点2　切线的性质 【例 3】如图，AB是⊙O的直径，点F、C是⊙O上的两点，且 ， 连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为D. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若CD＝2 ，求⊙O的半径． 知识讲解 知识点2　切线的性质 【例 3】如图，AB是⊙O的直径，点F、C是⊙O上的两点，且 ， 连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为D. (1)求证：CD是⊙O的切线； (1)证明：连接OC，BC. ∵ ， ∴∠DAC＝∠BAC. ∵CD⊥AF，∴∠ADC＝90°. 知识讲解 知识点2　切线的性质 【例 3】如图，AB是⊙O的直径，点F、C是⊙O上的两点，且 ， 连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为D. (1)求证：CD是⊙O的切线； ∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠B， ∵BO＝OC，∴∠OCB＝∠OBC， ∵∠ACO＋∠OCB＝90°，∠OCB＝∠OBC，∠ACD＝∠ABC， 知识讲解 知识点2　切线的性质 【例 3】如图，AB是⊙O的直径，点F、C是⊙O上的两点，且 ， 连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为D. (1)求证：CD是⊙O的切线； ∴∠ACO＋∠ACD＝90°，即OC⊥CD， 又∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线． 知识讲解 知识点2　切线的性质 【例 3】如图，AB是⊙O的直径，点F、C是⊙O上的两点，且 ， 连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为D. (2)若CD＝2 ，求⊙O的半径． (2)解析：∵ ， ∴∠DAC＝∠BAC＝30°. ∵CD⊥AF，CD＝2 ， ∴AC＝4 . 知识讲解 知识点2　切线的性质 【例 3】如图，AB是⊙O的直径，点F、C是⊙O上的两点，且 ， 连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为D. (2)若CD＝2 ，求⊙O的半径． 在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AC＝4 ， ∴BC＝4，AB＝8， ∴⊙O的半径为4. 知识讲解 知识点2　切线的性质 【例 4】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC＝10，BC＝12，P是 上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D. (1)当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？请说明理由； (2)当DP为⊙O的切线时，求线段BP的长． 知识讲解 知识点2　切线的性质 【例 4】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC＝10，BC＝12，P是 上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D. (1)当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？请说明理由； 解析：(1)当点P是 的中点时，DP是⊙O的切线． 理由如下：连接AP，∵AB＝AC，∴ ， 又∵ ，∴ ， ∴PA是⊙O的直径． 知识讲解 知识点2　切线的性质 【例 4】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC＝10，BC＝12，P是 上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D. (1)当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？请说明理由； ∵ ，∴∠BAP＝∠CAP， 又∵AB＝AC，∴PA⊥BC. 又∵DP∥BC，∴DP⊥PA， ∴DP是⊙O的切线． 知识讲解 知识点2　切线的性质 【例 4】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC＝10，BC＝12，P是 上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D. (2)当DP为⊙O的切线时，求线段BP的长． (2)连接OB，设PA交BC于点E.由垂径定理， 得BE＝ BC＝6. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE＝ ＝8. 设⊙O的半径为r，则OE＝8－r， E 知识讲解 知识点2　切线的性质 【例 4】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC＝10，BC＝12，P是 上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D. (2)当DP为⊙O的切线时，求线段BP的长． 在Rt△OBE中，由勾股定理，得r2＝62＋(8－r)2， 解得r＝ .在Rt△ABP中，AP＝2r＝ ，AB＝10， ∴BP＝ . E 随堂练习 1. 如图，在Rt△ABC 中，∠ABC =90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，求证：AC 是⊙O 的切线． 证明：如图，过点D作DE ⊥AC于点E. ∵∠ABC =90，∴DB ⊥ AB. 又∵AD平分∠BAC，DE ⊥AC， ∴DE=DB=r. ∵DE ⊥AC，∴AC 是⊙O 的切线. 随堂练习 2. 如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，连接AB，若∠B=25°，求∠P的度数. 解析：连接OA，∵PA是⊙O的切线， ∴∠OAP=90°. ∵∠AOP=2∠B=50°， ∴∠P=180°－90°－50°=40°. 随堂练习 3. 如图，△ABC 为等腰三角形，O 是底边BC的中点，腰AB 与⊙O相切于点D．求证：AC 是⊙O 的切线． 证明：如图，连接OD，OA，过O 作OE ⊥AC. ∵⊙O 与AB 相切于D，∴OD ⊥ AB. 又∵△ABC 为等腰三角形，O 是BC 的中点， ∴AO 平分∠BAC， 又OD ⊥AB ，OE⊥AC， ∴OD ＝OE. 随堂练习 3. 如图，△ABC 为等腰三角形，O 是底边BC的中点，腰AB 与⊙O相切于点D．求证：AC 是⊙O 的切线． ∵OD 是⊙O 半径，OE ＝OD，OE ⊥ AC， ∴AC 是⊙O 的切线． 课后小结 切线的判定与性质 切线的性质 切线的判定 判定定理 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法 证切线时辅助线的添加方法 切线的性质 有切线时常用辅助线添加方法 切线的其他重要结论 谢谢！同学们再见！ $$