22.2 相似三角形的判定 课件-2024-2025学年沪科版九年级数学上册

22.2 相似三角形的判定 第二十二章 相似形 知识点 相似三角形 知1－讲 1 1. 定义 如果两个三角形中，对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形相似. 数学表达式：如图22.2-1， 在△ABC和△A'B'C'中， ∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C' ＝＝ △ABC∽△A′B′C′ 感悟新知 知1－讲 2. 相似三角形的表示方法 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”. 如图22.2-2， △ABC与△A'B'C'相似， 记作“△ABC∽△A'B'C'”，读作“△ABC相似于△A'B'C'”. 感悟新知 知1－讲 特别警示：用符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大写字母写在对应的位置上. 如△ABC ∽ △A'B'C'表示顶点A与A'，B与B'，C与C' 分别对应； 如果仅说“△ABC与△A'B'C' 相似”，没有用“∽”连接，则需要分类讨论它们顶点的对应关系. 感悟新知 知1－讲 特别提醒 1. 相似三角形具有传递性，即若△ABC∽△A′ B′ C′，△A′B′C′∽△A″B″C″，则△ABC∽△A″B″C″. 2. 相似三角形的相似比具有顺序性，即如果△ABC与△A′B′C′的相似比为k， 那么△A′B′C′与△ABC的相似比为. 3. 全等三角形是特殊的相似三角形，即全等三角形是相似比为1的相似三角形，而相似三角形不一定是全等三角形. 感悟新知 知1－练 例 1 如图22.2-3，已知△ABC∽△ADE，∠A＝70°， ∠B＝40°，AB＝6，BC＝6，AD＝3. 解题秘方：紧扣“相似三角形定义中对应角相等，对应边成比例”求解. 感悟新知 知1－练 解：△ABC与△ADE的相似比为＝＝2. (1)求△ABC与△ADE的相似比； 感悟新知 知1－练 解：∵∠A＝70°，∠B＝40°， ∴∠C＝180°－70°－40°＝70°. ∵△ABC ∽△ADE，∴∠AED＝∠C＝70°，＝. 又∵ AB＝6，BC＝6，AD＝3，∴＝ .∴ DE＝3. (2)求∠AED的度数和DE的长. 感悟新知 知1－练 感悟新知 1-1.如图，已知△ ABC∽△ ADE， AE=50 cm，EC=30 cm， BC=70 cm，∠ BAC=45°， ∠ ACB=40°. (1) 求∠ AED和∠ ADE的度数； 解：∵∠BAC＝45°，∠ACB＝40°， ∴∠ABC＝95°. ∵△ABC∽△ADE， ∴∠AED＝∠ACB＝40°，∠ADE＝∠ABC＝95°. 知1－练 感悟新知 (2)求 DE 的长． 知2－讲 知识点 平行线截三角形相似的定理 2 1. 定理 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似. 数学表达式：如图22.2-4 所示， ∵ DE∥BC， ∴△ABC∽△ADE. 书写两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大写字母写在对应的位置上. 感悟新知 知2－讲 2. 作用 本定理是相似三角形判定定理的预备定理，它通过平行证三角形相似，再由相似证对应角相等、对应边成比例. 感悟新知 知2－讲 特别提醒 根据定理得到的相似三角形的三个基本图形中都有BC∥DE，图22.2-4 ①②很像大写字母A，故我们称之为“A”型相似；图22.2-4 ③ 很像大写字母X，故我们 称之为“X”型相似 (也像阿拉伯数字“8”). 感悟新知 知2－练 如图22.2-5，已知在 ABCD中，E为AB延长线上的一点，AB＝3BE，DE与BC相交于点F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比. 例2 感悟新知 知2－练 解题秘方：紧扣“平行线截三角形两边的两种基本图形——‘A’ 型和‘X’型”进行查找. 感悟新知 知2－练 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD. ∴△BEF ∽△CDF，△BEF ∽△AED.∴△CDF ∽△AED. ∵ AB＝3BE，∴△BEF与△CDF的相似比k1＝＝＝；△BEF与△AED的相似比k2＝＝；△CDF与△AED的相似比k3＝＝＝. 感悟新知 知2－练 感悟新知 2-1.如图，在 ABCD中， E 是 AB 延 长 线 上一点，连接 DE，交 AC于点 G，交 BC 于点 F，那么图中相 似三角形(不含全等三角形)共有(     ) A.6 对　　　　B.5 对 C.4 对　　　　D.3 对 B 知2－练 如图22.2-6 ，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C， 视线DC与井口的直径AB交于点E，如果 测得AB＝1.6 米，BD＝1 米，BE＝0.2 米， 那么AC为_______米． 例 3 7 感悟新知 知2－练 解题秘方：判断是用“平行线截线段成比例”，还是用“平行线截三角形相似的对应边成比例”解题是关键. 解：由题意知BD⊥AB，AC⊥AB，∴ BD∥AC. ∴△ACE∽△BDE. ∴ ＝，即＝ . ∴ AC＝7 米. 感悟新知 知2－练 感悟新知 3-1.如图，在 ABCD中， AC 与 BD 相 交 于点 O， E 为 OD 的 中点，连接 AE 并延长交DC 于 点 F， 则 DF∶FC=(     ) A. 1∶ 4 B. 1∶ 3 C. 2∶ 3 D. 1∶ 2 D 知3－讲 知识点 利用角的关系判定三角形相似的定理 3 1. 定理 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似(可简单说成：两角分别相等的两个三角形相似). 数学表达式：如图22.2-7 所示， 在△ABC和△DEF中， ∵∠A＝∠D，且∠B＝∠E， ∴△ABC ∽△DEF. 感悟新知 知3－讲 特别提醒 由两角分别相等判定两个三角形相似，其关键是找准对应角. 一般地，相等的角是对应角．如：公共角、对顶角、同角(等角)的余角(补角)等都是相等的角，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件. 感悟新知 知3－讲 2. 常见的相似三角形的类型 (1)平行线型： 如图22.2-8 ①，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC； (2)相交线型： 如图22.2-8 ②，若∠AED＝∠B，则△AED∽△ABC； 感悟新知 知3－讲 (3)“子母”型： 如图22.2-8 ③，若∠ACD＝∠B，则△ACD∽△ABC； (4)“K ”型：如图22.2-8 ④，若点A，C，D共线， 且∠A＝∠D＝∠BCE＝90°，则△ACB∽△DEC，图形整体像一个横放的字母K ，所以称为“K ”型相似. 感悟新知 知3－练 感悟新知 如图 22.2-9，△ ABC 是等边三角形，点 D， E 分别在CB， AC 的延长线上，∠ ADE=60°． 求证：△ ABD ∽△ DCE. 例4 知3－练 感悟新知 解题秘方：紧扣“两角分别相等的两个三角形相似”找到两组角对应相等即可． 证明： ∵∠ ABC= ∠ ACB=60°， ∴∠ ABD= ∠ DCE=120°． ∵∠ ADB+ ∠ DAB= ∠ ABC=60°， ∠ ADB+ ∠ EDC= ∠ ADE=60°， ∴∠ DAB= ∠ EDC．∴△ ABD ∽△ DCE． 知3－练 感悟新知 4-1. [ 期末·六安]如图，在 △ ABC 与 △ ADE中，∠ C= ∠ E，∠ 1=∠ 2，证明：△ ABC ∽△ ADE. 证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC， ∴∠BAC＝∠DAE. 又∵∠C＝∠E，∴△ABC∽△ADE. 知3－练 感悟新知 如图 22.2-10， 在 Rt △ ABC 中， ∠ A=90°， AB=6，AC=8，点 D， E 分别在边 BC， AC 上，且 CD=5，若以 C， D，E 为顶点的三角形与△ ABC 相似，则 CE 的长度为( ) A.3 B. C. 或 4 D.4 或 例5 知3－练 感悟新知 解题秘方：先利用勾股定理求出 BC 的长，再分类讨论 . 根据 “两角分别相等的两个三角形相似”和“相似三角形的对应边成比例”计算． 知3－练 感悟新知 解：∵∠ BAC=90°， AB ＝ 6， AC=8，∴ BC= =10. 当∠ EDC=90°时，∠ EDC= ∠ A. 又∵∠ DCE= ∠ ACB，∴△ CDE ∽△ CAB， ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得 CE= ； 当∠ DEC=90°时，∠ DEC= ∠ A. 知3－练 感悟新知 答案： D 又∵∠ DCE= ∠ BCA，∴△ CED ∽△ CAB， ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得 CE=4. 综上所述， CE 的长为 4 或 ． 知3－练 感悟新知 5-1.如图， 在 △ ABC中，按如下步骤作图： (1) 以点 B 为圆心，BA 长为半径画弧，交BC 于点 D； (2)以点 C 为圆心，CA 长为半径画弧，交CB 于点 E．若 AB=AC=2， ∠ B=36°，求 ED 的长． 知3－练 感悟新知 解：连接AE，AD. 由作图可得BD＝BA＝2，CA＝CE＝2. ∵AB＝AC，∠B＝36°，∴∠B＝∠C＝36°， ∴∠BAD＝∠ADB＝72°，∠CAE＝∠CEA＝72°， ∴∠ADB＝∠CEA，∠BAE＝∠CEA－∠B＝36°，∴AE＝AD，∠BAE＝∠B.∴BE＝AE. ∴AE＝BE＝AD. 知3－练 感悟新知 知4－讲 知识点 利用边角关系判定三角形相似的定理 4 定理 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似(可简单说成：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似). 数学表达式：如图22.2-11 所示， 在△ABC和△DEF中， ∵ ＝，且∠B＝∠E，∴△ABC∽△DEF. 感悟新知 知4－讲 特别提醒 运用该定理证明相似时，一定要注意边角的关系，相等的角一定是成比例的两组对应边的夹角. 类似于判定三角形全等的SAS的方法. 感悟新知 知4－练 [中考·南充] 如图22.2-12，在△ABC中，D为BC上一点，BC＝AB＝3BD，则AD∶AC的值为_______． 例 5 感悟新知 知4－练 解题秘方：先紧扣“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明两个三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例解决问题． 解：∵ BC＝AB＝3BD，∴ ＝＝3． 又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△DBA． ∴ ＝＝.∴ AD∶AC＝． 感悟新知 知4－练 感悟新知 6-1.如图， 根据图中给出的数据， 一定能得到(　　) A. △ AED ∽△ CED B. △ ABE ∽△ ACB C. △ ABC ∽△ EDC D. △ AED ∽△ CBA C 知5－讲 知识点 利用三边关系判定三角形相似的定理 5 定理 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似(可简单说成：三边成比例的两个三角形相似). 数学表达式：如图22.2-13 所示， 在△ABC和△DEF中， ∵ ＝＝，∴△ABC∽△DEF. 感悟新知 知5－讲 特别提醒 1. 由三边成比例判定两个三角形相似的方法与三边对应相等判定三角形全等的方法类似，只需把三边对应相等改为三边成比例即可. 2. 应用时要注意比的顺序性， 即分子为同一个三角形的 三边， 分母为另一个三角形的三边， 同时要注意边的对应情况，用大边对大边、小边对小边的思路找对应边. 感悟新知 感悟新知 知5－练 [期中·安庆 ]如图 22.2-14，正方形网格中的小正方形的面积都为 1，网格中有△ ABC 和△ DEF (三角形中的每个顶点都在格点上)．这两个三角形相似吗？请说明你的理由． 例7 知5－练 感悟新知 解题秘方：先根据勾股定理分别求出△ ABC 和 △ DEF 的三边长，再判断它们是否对应成比例即可． 解：△ ABC ∽△ DEF，理由如下： 在 △ ABC 中， AB= = ， AC= = ，BC=5，在△ DEF 中， DE= = ， DF=2， EF= = . 知5－练 感悟新知 ∵ = = ， = ， = = ， ∴ = = ， ∴△ ABC ∽△ DEF． 知5－练 感悟新知 7-1.如图，网格中相似的两个三角形是________．(填序号) ①③ 知6－讲 知识点 直角三角形相似的判定 6 1. 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似(可简单说成：斜边和一组直角边对应成比例的两个直角三角形相似). 感悟新知 知6－讲 2. 直角三角形相似的判定方法 (1)一组锐角相等的两个直角三角形相似； (2)两组直角边对应成比例的两个直角三角形相似； (3)斜边和一组直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 感悟新知 知6－讲 数学表达式：如图22.2-15，在Rt△ABC和Rt△A'B'C' 中， (1)∵∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'， ∴ Rt△ABC∽Rt△A'B'C'. (2)∵∠C ＝∠C'＝90°，＝， ∴ Rt△ABC∽Rt△A'B'C'. (3)∵∠C＝∠C'＝90°，＝， ∴ Rt△ABC∽Rt△A'B'C'. 感悟新知 知6－讲 思路总结 判定两个三角形相似的思路： 已知平行于三角形一边的直线，直接找两个三角形相似； 已知一角对应相等，找另一角对应相等，或夹这个角的两边对应成比例； 已知两边对应成比例，找夹角相等，或与第三边成比例； 已知直角三角形，找一组锐角相等，或两组直角边对应成比例，或斜边和一组直角边对应成比例. 感悟新知 知6－练 [母题 教材 P84 练习 T3 ]在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中，不能判定这两个 三角形相似的是( ) A. ∠A＝55°，∠D＝35° B. AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8 C. AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8 D. AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9 例8 感悟新知 知6－练 解题秘方：紧扣“直角三角形相似的判定方法”一一进行验证. 感悟新知 知6－练 解：A. ∵∠A＝55°，∴∠B＝90°－55°＝35°. 又∵∠D＝35°，∴∠B＝∠D. 又∵∠C＝∠F＝90°，∴△ABC∽△EDF. B. ∵ AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8， ∴ ＝＝. 又∵∠C＝∠F＝90°，∴△ABC∽△DEF. 感悟新知 知6－练 C. 由题干知 ∠C＝ ∠F＝90 °，但由已知条件不能得出两组对应边成比例，故不能判定两三角形相似 . D. ∵ AB＝10，AC＝8，∴ 由勾股定理可得BC＝6. ∵ DE＝15，EF＝9，∴ ＝＝. 又∵ ∠C＝ ∠F＝90 °， ∴ Rt△ABC∽Rt△DEF. 答案：C 感悟新知 知6－练 感悟新知 8-1.如图，点 A， B，C ， D ， E ， F ， G ，H， K 都是 8×8 方格纸中的格点， 为使△ EDM ∽△ BAC，则点 M 应是 F， G， H，K 四点中的(     ) A.F B.G C.H D.K C 相似三角形的判定 相似三角 形的判定 相似三角形的定义 平行线截三角形相似的定理 相似三角形 的判定定理 直角三角形 相似的判定 课堂小结 解：∵△ABC∽△ADE， ∴＝＝＝. 又∵BC＝70 cm，∴DE＝43.75 cm. ∵∠BAD＝∠AED＝72°，∠ADB＝∠EDA＝72°， ∴△ABD∽△EAD，∴＝， 即＝，解得ED＝3－或3＋(不合题意，舍去)．∴ED＝3－. $$