22.3.2二次函数与商品利润问题课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册

数学 人教版 九年级上册 第二十二章 二次函数 　22.3 实际问题与二次函数 第2课时 二次函数与商品利润问题 目录 课后小结 随堂练习 知识讲解 情境导入 学习目标 1 3 5 2 4 学习目标 1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系． 2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．（难点） 3．能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题．（重点） 情境导入 红光旅社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张，若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张，以每提高2元的这种方式变化下去，每床每日应提高多少元，才能使旅社获得最大利润？ 知识讲解 知识点1　二次函数的最值在销售问题中的应用 求解最大利润问题的一般步骤 (1) 建立利润与价格之间的函数关系式，运用“总利润=总售价－总成本”或“总利润=单件利润×销售量”； (2) 结合实际意义，确定自变量的取值范围； (3) 在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润，也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 知识讲解 知识点1　二次函数的最值在销售问题中的应用 【例 1】某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数关系式y2＝mx2－8mx＋n，其变化趋势如图②所示． (1)求y2的解析式； (2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？ 最大利润是多少？ 知识讲解 知识点1　二次函数的最值在销售问题中的应用 【例 1】某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数关系式y2＝mx2－8mx＋n，其变化趋势如图②所示． (1)求y2的解析式； 解：(1)由题意可得，函数y2的图象经过两点(3，6)，(7，7)， 知识讲解 知识点1　二次函数的最值在销售问题中的应用 【例 1】某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数关系式y2＝mx2－8mx＋n，其变化趋势如图②所示． (1)求y2的解析式； ∴y2的解析式为y2＝ x2－x＋ (1≤x≤12)． 知识讲解 知识点1　二次函数的最值在销售问题中的应用 (2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？ 最大利润是多少？ (2)设y1＝kx＋b， ∵函数y1的图象过两点(4，11)，(8，10)， ∴y1的解析式为y1＝－ x＋12(1≤x≤12)． 知识讲解 知识点1　二次函数的最值在销售问题中的应用 (2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？ 最大利润是多少？ 设这种水果每千克所获得的利润为w元． 则w＝y1－y2＝(－ x＋12)－( x2－x＋ ) ＝－ x2＋ x＋ ， ∴w＝－ (x－3)2＋ (1≤x≤12)， 知识讲解 知识点1　二次函数的最值在销售问题中的应用 (2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？ 最大利润是多少？ ∴当x＝3时，w取最大值 ， ∴第3月销售这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是 元/千克． 知识讲解 知识点1　二次函数的最值在销售问题中的应用 【例 2】某种商品每天的销售利润y (元)与销售单价x (元)之间满足关系：y=ax2+bx－75.其图象如图. (1) 销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ (2) 销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？ 知识讲解 知识点1　二次函数的最值在销售问题中的应用 【例 2】某种商品每天的销售利润y (元)与销售单价x (元)之间满足关系：y=ax2+bx－75.其图象如图. (1) 销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 解：（1）由图象可求y=-x2+20x-75. ∵-1<0，对称轴x=10，∴当x=10时，y值最大，最大值为25. 即销售单价定为10元时，销售利润最大，最大值为25元. 知识讲解 知识点1　二次函数的最值在销售问题中的应用 【例 2】某种商品每天的销售利润y (元)与销售单价x (元)之间满足关系：y=ax2+bx－75.其图象如图. (2) 销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？ （2）由对称性知y=16时，x=7和13. 故销售单价在7 ≤x ≤13时，利润不低于16元. 知识讲解 知识点2　建立二次函数模型解决每每型问题 每每型问题的解题步骤： (1) 找出原来的销量和每件盈利； (2)确定每件产品降价（或涨价）后的利润； (3)计算出降价（或涨价）后销量的变化量； (4)找出降价（或涨价）后的销量； (5)利润=每件利润×数量. 知识讲解 知识点2　建立二次函数模型解决每每型问题 要点注意： (1) 若题中要求价格为整数，而二次函数的对称轴不是整数，要用二次函数的性质取适当的整数求最值； (2)若题中有“最优惠”等条件，算出多个结果需要舍弃不符合实际的根. 知识讲解 知识点2　建立二次函数模型解决每每型问题 【例 3】为了推进知识和技术创新、节能降耗，使我国的经济能够保持可持续发展．某工厂经过技术攻关后，产品质量不断提高，该产品按质量分为10个档次，生产第一档次(即最低档)的新产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件可节约能源消耗2元，但一天产量减少4件．生产该产品的档次越高，每件产品节约的能源就越多，是否获得的利润就越大？请你为该工厂的生产提出建议． 解：设该厂生产第x档的产品一天的总利润为y元， 则有y＝[10＋2(x－1)][76－4(x－1)]＝－8x2＋128x＋640＝－8(x－8)2＋1152. 知识讲解 知识点2　建立二次函数模型解决每每型问题 【例 3】为了推进知识和技术创新、节能降耗，使我国的经济能够保持可持续发展．某工厂经过技术攻关后，产品质量不断提高，该产品按质量分为10个档次，生产第一档次(即最低档)的新产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件可节约能源消耗2元，但一天产量减少4件．生产该产品的档次越高，每件产品节约的能源就越多，是否获得的利润就越大？请你为该工厂的生产提出建议． 当x＝8时，y最大值＝1152. 由此可见，并不是生产该产品的档次越高，获得的利润就越大． 建议：若想获得最大利润，应生产第8档次的产品． 知识讲解 知识点2　建立二次函数模型解决每每型问题 【例 4】某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？ 解：设每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，建立函数关系式：y=(10+x)(180-10x), 即：y= -10x2+80x+1800 =-10(x-4)2+1960. 知识讲解 知识点2　建立二次函数模型解决每每型问题 【例 4】某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？ 由题可知0≤x ≤18，则当x=4时，即涨价4元时，y取最大值1960元. 答：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最大利润1960元. 随堂练习 1. 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元. (1) 当售价在40～50元时，每月销售量都为60件， 则此时每月的总利润最多是多少元？ (2) 当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？ (3) 若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价与当月的销售量各是多少？ 随堂练习 1. 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元. (1) 当售价在40～50元时，每月销售量都为60件， 则此时每月的总利润最多是多少元？ 解：（1）由题意得，当40≤x≤50时，Q = 60(x－30)= 60x－1800， ∵ y = 60 > 0，Q随x的增大而增大，∴当x最大= 50时，Q最大= 1200. 答：此时每月的总利润最多是1200元. 随堂练习 1. 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元. (2) 当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？ （2）当50≤x≤70时，设y与x函数关系式为y=kx+b, ∵线段过(50，60)和(70，20). ∴y =－2x +160（50≤x≤70）. 随堂练习 1. 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元. (2) 当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？ ∴Q=(x－30)y  =(x－30)(－2x + 160)=－2x2 + 220x－ 4800 =－2(x－55)2 +1250 (50≤x≤70) ， ∵a = －2＜0，图象开口向下，∴当x = 55时，Q最大= 1250. 随堂练习 1. 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元. (2) 当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？ ∴当售价在50～70元时，售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元. 随堂练习 1. 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元. (3) 若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价与当月的销售量各是多少？ （3）∵当40≤x≤50时， Q最大= 1200＜1218， 当50≤x≤70时， Q最大= 1250＞1218. ∴售价x应在50~70元之间. 随堂练习 1. 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元. (3) 若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价与当月的销售量各是多少？ ∴令－2(x－55)2 +1250=1218，解得x1=51，x2=59. 当x1=51时，y1=－2x+160=－2×51+160= 58(件)， 当x2=59时，y2=－2x+160= －2×59+160= 42(件). 随堂练习 1. 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元. (3) 若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价与当月的销售量各是多少？ ∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价为51元或59元，当月的销售量分别为58件或42件. 随堂练习 2. 一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次（最低档次）的产品一天能生产80件，每件可获利润12元.产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？ 解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元， w=[12+2(x－1)][80－4(x－1)]=(10+2x)(84－4x) =－8x2+128x+840=－8(x－8)2+1352. 则当x=8时，w有最大值，且w最大=1352. 课后小结 二次函数与商品利润问题 建立二次函数模型解决每每型问题 二次函数的最值在销售问题中的应用 求解最大利润问题的一般步骤 解题步骤 要点注意 谢谢！同学们再见！ $$