22.2 二次函数与一元二次方程课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册

数学 人教版 九年级上册 第二十二章 二次函数 　22.2 二次函数与一元二次方程 目录 课后小结 随堂练习 知识讲解 情境导入 学习目标 1 3 5 2 4 学习目标 1．通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系． 2．能运用二次函数及其图象确定方程和不等式的解或解集．（重点） 3．根据函数图象与x轴的交点情况确定未知字母的值或取值范围．（难点） 情境导入 如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，你能通过观察图象得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解集吗？不等式ax2＋bx＋c<0的解集呢？ 知识讲解 知识点1　二次函数与一元二次方程的关系 一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系： 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2－4ac   有两个交点 有两个不相等的实数根 b2－4ac＞0 有两个重合的交点 有两个相等的实数根 b2－4ac=0 没有交点 没有实数根 b2－4ac＜0 知识讲解 知识点1　二次函数与一元二次方程的关系 【例 1】下列函数的图象与x只有一个交点的是(　　) A．y＝x2＋2x－3   B．y＝x2＋2x＋3 C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－2x＋1 解析：选项A中b2－4ac＝22－4×1×(－3)＝16＞0， 选项B中b2－4ac＝22－4×1×3＝－8＜0， 选项C中b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0， 选项D中b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0， 所以选项D的函数图象与x轴只有一个交点. D 【例 2】小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是(　　) A．无解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4 知识讲解 知识点1　二次函数与一元二次方程的关系 【例 2】小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是(　　) 知识讲解 知识点1　二次函数与一元二次方程的关系 解析：∵二次函数y＝x2＋ax＋b的图象与x轴交于(－1，0)和(4，0)， 即当x＝－1或4时，x2＋ax＋b＝0， ∴关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解为x1＝－1，x2＝4，故选D. 【例 2】小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是(　　) A．无解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4 知识讲解 知识点1　二次函数与一元二次方程的关系 D 知识讲解 知识点2　二次函数与一元二次不等式的关系 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 a＞0 a＜0 有两个交点x1，x2 (x1＜x2) y＜0，x1＜x＜x2； y＞0，x＞x2或x＜x1 y＞0，x1＜x＜x2； y＜0，x＞x2或x＜x1. 有一个交点x0 y＞0，x0之外的所有实数；y＜0，无解 y＜0，x0之外的所有实数；y＞0，无解. 没有交点 y＞0，所有实数；y＜0，无解 y＜0，所有实数；y＞0，无解 知识讲解 知识点2　二次函数与一元二次不等式的关系 【例 3】抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(　　) A．x＜2 B．x＞－3 C．－3＜x＜1 D．x＜－3或x＞1 知识讲解 知识点2　二次函数与一元二次不等式的关系 【例 3】抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(　　) 解析：观察图象，可知当－3＜x＜1时，抛物线在x轴上方，此时y＞0，即ax2＋bx＋c＞0， ∴关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集 是－3＜x＜1.故选C. 知识讲解 知识点2　二次函数与一元二次不等式的关系 【例 3】抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(　　) A．x＜2 B．x＞－3 C．－3＜x＜1 D．x＜－3或x＞1 C 知识讲解 知识点3　利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 用图象法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的近似解的步骤： （1）作二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； （2）确定一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的取值范围．即确定抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点的横坐标的大致范围； 知识讲解 知识点3　利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 （3）在（2）确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值． （4）确定一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方ax2+bx+c=0（a≠0）的近似根． 知识讲解 知识点3　利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 【例 4】利用函数图象求方程x²－2x－2=0的实数根(结果保留小数点后一位). 解：画出函数y=x²-2x-2 的图象（如图）， 由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间，另一个在2与3之间. 知识讲解 知识点3　利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 【例 4】利用函数图象求方程x²－2x－2=0的实数根(结果保留小数点后一位). 先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是 -0.8或-0.7，利用计算器进行探索，见下表： x ··· -0.8 -0.7 ··· y ··· 0.24 -0.11 ··· 知识讲解 知识点3　利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 观察上表可以发现，当x分别取-0.8和-0.7时，对应的y由负变正， 可见在-0.8与-0.7之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-2的一个根， 题目只要求精确到0.1，这时取x= -0.8或x= -0.7都符合要求. 但当x= -0.7时更为接近0，故x1≈-0.7. 同理可得，另一近似值为x2≈2.7. x ··· -0.8 -0.7 ··· y ··· 0.24 -0.11 ··· 随堂练习 1. 如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为________． 解析：∵点(1，0)与(3，0)是一对对称点，其对称中心是(2，0)，∴对称轴的方程是x＝2. x＝2 随堂练习 2. 若函数y＝mx2＋(m＋2)x＋m＋1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为(　　) A．0      B．0或2       C．2或－2        D．0，2或－2 解析：若m≠0，二次函数与x轴只有一个交点，则可根据一元二次方程的根的判别式为零来求解； 若m＝0，原函数是一次函数，图象与x轴也有一个交点． 由(m＋2)2－4m( m＋1)＝0，解得m＝2或－2， 所以当m＝0，2或－2时，图象与x轴只有一个交点． D 随堂练习 3. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是(　　) A．x＜－1 B．x＞3 C．－1＜x＜3 D．x＜－1或x＞3 随堂练习 3. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是(　　) 解析：根据图象可知抛物线与x轴的一个交点为(－1，0)且其对称轴为x＝1， 则抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)． 当y＞0时，函数的图象在x轴的上方， 由左边一段图象可知x＜－1， 由右边一段图象可知x＞3.因此，x＜－1或x＞3. 随堂练习 3. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是(　　) A．x＜－1 B．x＞3 C．－1＜x＜3 D．x＜－1或x＞3 D 随堂练习 4. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(　　) A．x1≈－2.1，x2≈0.1      B．x1≈－2.5，x2≈0.5 C．x1≈－2.9，x2≈0.9      D．x1≈－3，x2≈1 解题方法：解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确． B 随堂练习 5. 已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围． 解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数． ∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点， ∴k＝3； 当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数． ∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点， ∴Δ＝b2－4ac≥0. 随堂练习 5. 已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围． ∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16， ∴－4k＋16≥0. ∴k≤4且k≠3. 综上所述，k的取值范围是k≤4. 随堂练习 6. 某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时距地面 米，与篮框中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面3米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ (2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？ 随堂练习 6. 某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时距地面 米，与篮框中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面3米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ 解：(1)由条件可得到出手点、最高点和篮框的坐标分别为A  ， B(4，4)，C(7，3).其中B是抛物线的顶点． 设二次函数关系式为y＝a(x－4)2＋4， 将点A的坐标代入，可得y＝－ (x－4)2＋4. 随堂练习 6. 某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时距地面 米，与篮框中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面3米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ 将点C的坐标代入上式，得左边＝3， 右边＝－ (7－4)2＋4＝3，左边＝右边， 即点C在抛物线上．所以此球一定能投中. 随堂练习 6. 某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时距地面 米，与篮框中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面3米． (2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？  (2)将x＝1代入函数关系式，得y＝3. 因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功． 课后小结 二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次不等式的关系 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数的图象 一元二次方程的根 判别式 二次函数与x轴的交点 一元二次不等式的解 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 图象法的步骤 谢谢！同学们再见！ $$