江苏省常州市某校2023-2024学年高二下学期3月阶段性检测数学试题（含答案）

2024年春学期 高二3月阶段性检测数学卷 学校:___________姓名：___________班级：___________ 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．函数在区间上的平均变化率为（    ） A．1 B．2 C． D．0 2．设函数的图象与轴相交于点，则该曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．若在处有极值，则函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 4．已知向量若与、共面，则实数（    ） A． B． C． D． 5．已知向量则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．如图，四棱柱的底面是正方形，，且，则（    ） A．4 B．0 C． D． 7．已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为 （    ） A． B． C． D． 8．已知函数，函数有三个不同的零点，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．直线是曲线的切线 D．若在区间上的最大值为3，则 10．下面四个结论正确的是（ ） A．若三个非零空间向量满足，则有 B．若空间四个点，，则三点共线． C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D．已知向量，，若，则为钝角． 11．如图，长方体中，，，点为线段上一点，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知（a，）是直线l的方向向量，是平面的法向量，如果，则 . 13．函数的单调递增区间为 . 14．已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是 . 四、解答题（共5小题，共77分） 15．（13分）如图，在直三棱柱中，，棱，N为的中点. (1)求的长； (2)求. 16．（15分）在平行六面体中，，，为与的交点. (1)用向量表示； (2)求线段的长及向量与的夹角. 17．（15分）已知函数. (1)讨论的极值； (2)求在上的最大值. 18．（17分）已知函数， (1)若，求函数在处的切线方程： (2)若恒成立，求实数的取值范围. 19．（17分）已知函数有两个零点. (1)求的取值范围； (2)设是的两个零点，，证明：. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年春学期 高二3月阶段性检测数学卷 学校:___________姓名：___________班级：___________ 一、单选题 1．函数在区间上的平均变化率为（    ） A．1 B．2 C． D．0 【答案】A 【分析】根据平均变化率的计算即可求解. 【详解】在区间上的平均变化率为， 故选：A 2．设函数的图象与轴相交于点，则该曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点的坐标，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】函数，由，得，则点， 由，求导得，则，于是， 所以该曲线在点处的切线方程为. 故选：B 3．若在处有极值，则函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由求得，结合导数正负可求的单调递增区间. 【详解】由得，，解得， 故， 当时，，单减；当时，，单增， 故函数的单调递增区间是. 故选：A 4．已知向量若与、共面，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量共面定理构造方程组即可求得结果. 【详解】由共面定理可得存在非零实数满足， 可得，解得， 故选：C 5．已知向量则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用投影向量的定义结合已知条件求解即可. 【详解】由投影向量公式得向量在向量上的投影向量为. 故选：D 6．如图，四棱柱的底面是正方形，，且，则（    ） A．4 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】首先分解向量，然后结合数量积的运算律即可求解. 【详解】由题意，， 所以 . 故选：D. 7．已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依据题设构造函数，则，因，故，则函数在上单调递减，又原不等式可化为且，故，则，应选B. 点睛：解答本题的关键是能观察和构造出函数，然后运用导数中的求导法则进行求导，进而借助题设条件进行判断其单调性，从而将已知不等式进行等价转化和化归，最后借助函数的单调性使得不等式获解． 8．已知函数，函数有三个不同的零点，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出的图象，根据有三个不同的零点，转化为有三个根，求出，，关系，构造函数求出函数的导数，利用导数研究取值范围即可． 【详解】作出函数的图象如图， 不妨设，则有三个不同的根，则， 当时，，得，则， 当时，，，则， 设（），则， 所以在上单调递增， 所以，即的取值范围是. 故选：C． 二、多选题 9．已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．直线是曲线的切线 D．若在区间上的最大值为3，则 【答案】ABD 【分析】利用导数求函数的单调性、极值、最值，及导数的几何意义计算即可. 【详解】由题意可知， 易知时，时， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以在上取得极大值，在上取得极小值，即A正确； 又， 所以在区间上分别各有一个零点，即B正确； 联立与得， 若直线是曲线的切线，则切点为，而，所以C错误； 若在区间上的最大值为3，由上可知，所以， 故D正确. 故选：ABD 10．下面四个结论正确的是（ ） A．若三个非零空间向量满足，则有 B．若空间四个点，，则三点共线． C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D．已知向量，，若，则为钝角． 【答案】BC 【分析】 根据向量的概念，空间向量的基本定理，以及空间向量基底的定义和空间向量的数量积的运算公式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若非零空间向量满足，不一定满足，所以A不正确；   对于B中，因为，则，即， 又因为与有公共点，所以三点共线，所以B正确； 对于C中，由是空间的一组基底，且， 令，可得，此时方程组无解，所以不共面， 所以可以作为一个空间基底，所以C正确； 对于D中，若为钝角，则，且与不共线， 由，解得，当时与平行时，由，解得， 当与不共线得，所以当且时，为钝角，所以D错误. 故选：BC 11．如图，长方体中，，，点为线段上一点，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】以点为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，求出向量的坐标，利用二次函数的基本性质可求出的取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】以点为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设，其中， 则， ， 所以，， 因为，则，所以，， 所以，， 故选：BD． 三、填空题 12．已知（a，）是直线l的方向向量，是平面的法向量，如果，则 . 【答案】39 【分析】由可得：，利用空间向量共线的充要条件列方程组计算即得. 【详解】因，依题意，必有，即存在唯一的实数，使，即：， 则，解得：，故. 故答案为：39. 13．函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】求得，根据得到函数的单调增区间. 【详解】，， 当时，，，，所以，单调递减； 当时，，，，所以，单调递增； 所以在的单调递增区间为， 故答案为： 14．已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】参变分离可得有解，令，，利用导数求出，即可求出参数的取值范围，从而得解. 【详解】由得，显然， 所以有解， 令，则， 令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以，则，即的最小值是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是参变分离得到有解，再构造函数，利用导数求出. 四、解答题 15．如图，在直三棱柱中，，棱，N为的中点. (1)求的长； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用点点距和向量夹角公式求解. 【详解】（1）如图，以C为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 依题意得， ∴, ∴ 线段BN的长为. （2）依题意得, , ∴， . 又， ∴. 16．在平行六面体中，，，为与的交点. (1)用向量表示； (2)求线段的长及向量与的夹角. 【答案】(1) (2)，答案见解析 【分析】（1）因为为与的交点，得到，再由空间向量的线性运算，即可求解； （2）根据，结合向量的运算，求得，再由空间向量的线性运算和数量积的运算，即可求解. 【详解】（1）解：因为为与的交点，所以， 又因为， 所以. （2）解：因为 ，所以， 因为，所以 . 向量与的夹角为 17．已知函数. (1)讨论的极值； (2)求在上的最大值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对求导，根据a的范围讨论单调性，求极值； （2）根据单调性求函数在区间上的最值. 【详解】（1）定义域， ①时，成立，所以在上递减，所以无极值； ②时，当时，，当时，， 所以在上单调递增，单调递减，所以的极大值为，无极小值； （2）时，在单调递减，所以； 时，在上单调递增，单调递减，所以； 时，在单增，所以； 综上：. 18．已知函数， (1)若，求函数在处的切线方程： (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜率式方程可得切线的方程； （2）按照、和讨论，分离参数，构造函数，借助导数，得到在的最值，得到答案. 【详解】（1）当时，，， ，所以， 所以在处的切线方程，即 （2）时，恒成立，即恒成立 ①时，，恒成立 ②时，恒成立，即 令 令时，，即恒成立， 则在单调递增，，所以时， 时，，所以恒成立，即 在单调递减，，所以 所以； ③时，恒成立，即， 由②可得在上单调递减，在上单调递增， 所以； 综上，. 19．已知函数有两个零点. (1)求的取值范围； (2)设，是的两个零点，，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）分离参数得,构造函数判单调性即可求解； （2）利用变量集中设，得，，证明即可. 【详解】（1）由且，可得. 设，，则， 令，解得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 又当趋向于0时，趋向于，当趋向于时，趋向于0， 所以要使的图象与直线有两个交点，则， 故的取值范围是. （2）证明：，由（1）得， 则，. 设，则， 即， . 设，则. 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增. 又，，， 所以存在唯一的，使得， 即， 所以的最小值为，， 所以，故. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数研究零点和证明不等式，第二问利用变量集中结合对数运算得，，转化为t的函数证明并进行隐零点代换是关键. 试卷第12页，共13页 试卷第13页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $$