幂函数、指数函数、对数函数核心考点检测卷-2025届高三数学一轮复习

（决胜2025年高考数学）幂函数、指数函数、对数函数核心考点检测卷 一、选择题 1．（2024高三下·苏州模拟）（　　） A． B． C． D． 2．（2024·苏州模拟）已知函数 若 ，则m的值为（　　） A． B．2 C．9 D．2或9 3．（2024高三下·南京模拟） 已知函数，则（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 4．（2024·徐州模拟）在的展开式中，含项的系数是10，则（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 5．（2024高三下·南京模拟）已知函数，若（其中．），则的最小值为（　　）． A． B． C．2 D．4 6．（2024·无锡模拟）Gompertz曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢预测，肿瘤生长预测，有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等等，其公式为：（其中，为参数）．某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现．若表示该新产品今年的年产量，估计明年的产量将是今年的倍，那么的值为（为自然数对数的底数）（　　） A． B． C． D． 7．（2024高三下·南京模拟）下列各选项对应的函数中，其大致图象是如图所示的一项为（　　） A． B． C． D． 8．（2024高三下·无锡模拟）下列函数对于任意，都有成立的是（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题 9．（2024高三下·宿迁模拟）已知a，b分别是函数与和的图象在第一象限的交点的横坐标，则(　　) A． B． C． D． 10．（2024高三上·扬州模拟）已知函数，，则（　　） A．当时，有2个零点 B．当时，有2个零点 C．存在，使得有3个零点 D．存在，使得有5个零点 11．（2024高三上·镇江模拟）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在14℃的保鲜时间是48小时，则下列说法正确的是（　　） 参考数据：， A． B．若该食品储藏温度是21℃，则它的保鲜时间是16小时 C． D．若该食品保鲜时间超过96小时，则它的储藏温度不高于7℃ 三、填空题 12．（2024·南京模拟）若存在实数及正整数使得在内恰有2024个零点，则满足条件的正整数的值有　 　个． 13．（2024高三上·无锡模拟）若为奇函数，则　 　． 14．（2024·苏州模拟）已知函数是定义域为R的偶函数，当时，，若关于x的方程有且仅有7个不同实数根，则　 　. 四、解答题 15．（2024高三下·徐州模拟）已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数. （1）求函数的表达式； （2）对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围. 16．（2024·凉山模拟） 已知函数． （1）求不等式的解集； （2） 若函数的最小值为m，且正数a，b，c满足，求的最小值． 17．（2023高三下·苏州模拟）已知函数，其中． （1）若直线为曲线的一条切线，求实数的值； （2）若对任意两个不相等的正实数，均有，求实数的取值范围． 18．（2024·连云港模拟）已知是自然对数的底数，常数，函数. （1）求、的单调区间； （2）讨论直线与曲线的公共点的个数； （3）记函数、，若，且，则，求实数的取值范围. 19．（2024·南通模拟）已知函数，的零点分别是与． （1）若，解不等式； （2）已知， ①证明：； ②若，满足，求的最小值． 答案解析部分 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】A 7．【答案】C 8．【答案】A 9．【答案】A,C,D 10．【答案】B,C,D 11．【答案】A,C,D 12．【答案】5 13．【答案】 14．【答案】-1 15．【答案】（1）解：依题意为奇函数，在区间上是严格减函数， 可得，解得，由于，故，1，2， 当和时，，此时为奇函数，符合要求， 当时，，此时为偶函数，不符合要求，； （2）解：不等式，即， 又在上是减函数，在上为增函数，则在上为减函数，所以，则，所以实数的取值范围为． 16．【答案】（1）解：由题意，即，即，解得， 所以不等式的解集为. （2）解：由题意，函数，而，当且仅当时取等号， 因此当时，函数取得最小值，即， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 17．【答案】（1）解：设直线与曲线切于点， 则由题意有，即， 消去，整理得．（*） 令，则且为增函数， 由此，方程（*）存在唯一解， 综上，实数的值为． （2）解：不妨设，原不等式即， 约去，整理得， 令，则由题意，． ． 令，则在区间内单调递增． ①若，即，则当时，，从而， 在区间内单调递增，所以，当时，，符合题意． ②若，即，则，且． 由零点存在性定理及的单调性知，存在，使得， 且当时，在内单调递减． 由此，当时，，与已知矛盾． 综上，实数的取值范围为． 18．【答案】（1）解：函数的定义域为. ， ， 当时，，当时，， 的单调递增区间是，单调递减区间是； 函数的定义域为，常数， 当时，，当时，. 的单调递减区间是，单调递增区间是； （2）解：设，它的定义域为， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 的最小值为， 不成立，即方程无实数解， 故方程无实数解，直线与曲线无公共点； （3）解：根据已知，的定义域为， 设，由（2）得，且， 由，记，则， 由得， 由（1）知在上单调递减，故， ， 记，则，由，得， ，若，且，则， ， ， 设，则， 解得， 由得，由得， ， 设，则， ， 由是自然对数的底数，得， 由（1）知，上单调递减， 在上单调递增；由得， 又， 存在唯一，使， 当时，，当时，，当时，， 当时，单调递增，故； 当时，单调递减，故； 当时，单调递增，故. 综上所述，当时，， . 实数的取值范围为. 19．【答案】（1）解：由题意知，则有， 即， 所以不等式的解集为 （2）①由题意知，，则有 当时，，不符合题意； 当时，，此时无解； 当时，，解得； 综上所述，，证得． ②由知，， 即 因为，所以， 即， 设，令， 因为在上单调递增，且 所以，所以的最小值为 学科网（北京）股份有限公司 $$