2024年中考数学二轮专题复习讲义：几何模型之隐圆模型

2024年中考数学几何模型之隐圆模型专题训练 模型介绍 动点定长模型 若P为动点，但AB=AC=AP 则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径 原理：圆A中，AB=AC=AP 备注：常转全等或相似证明出定长 直角圆周角模型 固定线段AB所对动角∠C恒为90° 则A、B、C三点共圆，AB为直径 原理：圆O中，圆周角为90°所对弦是直径 备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角 定弦定角模型 固定线段AB所对动角∠P为定值 则点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等 备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可 四点共圆模型 若动角∠A+动角∠C=180° 则A、B、C、D四点共圆 原理：圆内接四边形对角互补 备注：点A与点C在线段AB异侧 固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C 则A、B、C、P四点共圆 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等 备注：点P与点C需在线段AB同侧 圆中旋转最值问题 条件：线段AB绕点O旋转一周，点M是线段AB上的一动点，点C是定点 （1）求CM最小值与最大值 （2）求线段AB扫过的面积 （3）求最大值与最小值 结论： ①CM1最小，CM3最大 ②线段AB扫过面积为大圆与小圆组成的圆环面积 ③最小值以AB为底，CM1为高；最大值以AB为底，CM2为高 一．巩固训练 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB的距离的最小值是（　　） A． B．1 C． D． （第1题图） （第2题图） （第3题图） 2．如图，等边△ABC边长为6，E、F分别是边BC、CA上两个动点且BE＝CF．分别连接AE、BF，交于P点，则线段CP长度的最小值为（　　） A．2 B．6﹣2 C．43 D．3 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D是BC上一动点，CE⊥AD于E，EF⊥BC交BC于点F，则CF的最大值是（　　） A．1 B． C．1 D． 4．如图，正方形ABCD的边长是4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为G，连接AG，则AG长的最小值为（　　） A． B． C． D．2 5．如图，四边形ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED＝90°，OE＝2，若CE•DE＝4，则正方形的面积为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 6．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上的一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为（　　） A． B．6 C． D． 7．如图，△ABC为等边三角形，AB＝3，若点P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为 　 　． 8．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为 　 　． 9．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是 　 　． 10．如图，已知⊙C的半径为3，圆外一定点O满足OC＝5，点P为⊙C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA＝OB，∠APB＝90°，l不经过点C，则AB的最小值为 　 　． 11．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P，Q分别是直线BC，AB上的两个动点，AE＝2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD的最小值是　 　． 12．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为6，则线段DH长度的最小值是 　 　． 13．在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是　 　． 14．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AC为对角线，过点D作DF⊥AB，垂足为E，交CB延长线于点F，若AC＝CF，∠CAD＝∠CFD，DF﹣AD＝2，AB＝6，则ED的长为　 　． 15．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝10，AC＝8，D是弧上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值等于　 　． 16．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是弧BC上的一个动点（含端点B，不含端点C），连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D移动的过程中，BE的取值范围是　 　． 17．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝8，点O、P分别是边AB、AD的中点，点H是边CD上的一个动点，连接OH，将四边形OBCH沿OH折叠，得到四边形OFEH，连接PE，则PE长度的最小值是　 　． 18．在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1． （1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数； （2）如图2．连接AA1，CC1若AA1＝4，求CC1的长； （3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1求线段EP1长度的最大值与最小值． 19．已知，正方形ABCD，∠EAF＝45°， （1）如图1，当点E，F分别在边BC，CD上，连接EF，求证：EF＝BE+DF； （2）如图2，点M，N分别在边AB，CD上，且BN＝DM，当点E，F分别在BM，DN上，连接EF，请探究线段EF，BE，DF之间满足的数量关系，并加以证明； （3）如图3，当点E，F分别在对角线BD，边CD上，若FC＝2，则BE的长为　 　． 20．阅读理解： （1）【学习心得】 小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点+定长”：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝44°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数． 解：若以点A（定点）为圆心，AB（定长）为半径作辅助圆⊙A，（请你在图1上画圆）则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝　 　°． ②类型二，“定角+定弦”：如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，求线段CP长的最小值． 解：∵∠ABC＝90°， ∴∠ABP+∠PBC＝90°， ∵∠PAB＝∠PBC， ∴∠BAP+∠ABP＝90°， ∴∠APB＝　 　，（定角） ∴点P在以AB（定弦）为直径的⊙O上，请完成后面的过程． （2）【问题解决】 如图3，在矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为 　 　． （3）【问题拓展】 如图4，在正方形ABCD中，AD＝4，动点E，F分别在边DC，CB上移动，且满足DE＝CF．连接AE和DF，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请直接写出点P的运动路径长． 2024年中考数学模型之隐圆模型专题训练 参考答案与试题解析 一．试题（共22小题） 1．【分析有方】先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF＝FC，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP⊥AB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可． 【解题有法】解：如图所示：当PE∥AB． 由翻折的性质可知：PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°． ∵PE∥AB，∴∠PDB＝90°．由垂线段最短可知此时FD有最小值． 又∵FP为定值，∴PD有最小值． 又∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADF，∴△AFD∽△ABC． ∴，即，解得：DF＝3.2． ∴PD＝DF﹣FP＝3.2﹣2＝1.2．故选：D． 2．【分析有方】先证△ABE和△BCF全等得∠BAE＝∠CBF，由此得∠APB＝120°，过点C作CH⊥AB于H，过点B作BO⊥BC交CH的延长线于点O，连接OA，根据等边三角形的性质得∠BOA＝120°，OA＝OB，OC，以点O为圆心，以OB为半径作⊙O，在优弧AB弧上取一点M，连接MB，MA，连接OP，PC，则∠M＝60°，由此得∠M+∠APB＝180°，从而得点P始终在劣弧AB上运动，则OP，根据“两点之间线段最短”可得OP的最小值． 【解题有法】解：∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCA＝60°，在△ABE和△BCF中， ，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF， ∵∠ABP+∠CBF＝∠ABC＝60°，∴∠ABP+∠BAE＝60°， ∴∠APB＝180°﹣（∠ABP+∠BAE）＝120°， 过点C作CH⊥AB于H，过点B作BO⊥BC交CH的延长线于点O，连接OA，如图1所示： ∵△ABC为等边三角形，∴OC是AB的垂直平分线，∠BCO＝∠ACO∠BCA＝30°， ∴OA＝OB，∠BOC＝∠AOC＝60°，∴∠BOA＝120°， 在Rt△OBC中，BC＝6，∠BCO＝30°，tan∠BCO， ∴OB＝BC•tantan∠BCO＝6×tan30°， ∴OC＝2•OB，∴OA＝OB，以点O为圆心，以OB为半径作⊙O，在优弧上取一点M，连接MB，MA，连接OP，PC，如图2所示： 则∠M∠BOA＝60°，∵∠APB＝120°，∴∠M+∠APB＝180°， ∴点P始终在劣弧上运动，则OP＝OB， 根据“两点之间线段最短”得：OP+CP≥OC，∴OP，∴OP， ∴OP的最小值为．故选：A． 3．【分析有方】如图，取AC的中点O，连接OE，OF，延长FE交AB于T．证明OEAC＝1，推出点E的在以O为圆心，1为半径的圆上运动，推出当FT与⊙O相切时，CF的值最大． 【解题有法】解：如图，取AC的中点O，连接OE，OF，延长FE交AB于T． ∵∠ACB＝90°，AB＝4，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，ACAB＝2，∵CE⊥AD， ∴∠AEC＝90°，∵AO＝OC＝1，∴OEAC＝1， ∴点E在以O为圆心，1为半径的圆上运动，∴当FT与⊙O相切时，CF的值最大， ∵直线CF，直线EF都是⊙O的切线， ∴FC＝FE，∠OEF＝90°，∴四边形OCFE是正方形， ∴CF＝OC＝1，故选：A． 4．【分析有方】设EF交BD与点O，证明BO＝OD．连接OB，取OB中点M，连接 MA，MG，则MA，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可． 【解题有法】解：设EF交BD与点O，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，AB∥CD， ∵AE＝CF，∴BE＝DF，∵AB∥CD，∴∠BEO＝∠DFO，∵∠EOB＝∠DOF， ∴△BEO≌△DFO（AAS），∴BO＝OD， 连接OB，取OB中点M，连接 MA，MG，则MA，MG为定长， ∴MA，MGOB，AG≥AM﹣MG， 当A，M，G三点共线时，AG最小值＝（）cm，故选：B． 5．【分析有方】过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，判断出四边形OMEN是矩形，根据矩形的性质可得∠MON＝90°，再求出∠COM＝∠DON，根据正方形的性质可得OC＝OD，然后利用“角角边”证明△COM和△DON全等，根据全等三角形对应边相等可得OM＝ON，CM＝DN，然后判断出四边形OMEN是正方形，可得NE＝ON＝2，得DE+CE＝4设DE＝a，CE＝b，可得a+b＝4，根据CE•DE＝4，CD2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×4＝8，即可解决问题． 【解题有法】解：如图，过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N， ∵∠CED＝90°，∴四边形OMEN是矩形，∴∠MON＝90°， ∵∠COM+∠DOM＝∠DON+∠DOM，∴∠COM＝∠DON， ∵四边形ABCD是正方形，∴OC＝OD，在△COM和△DON中， ，∴△COM≌△DON（AAS）， ∴OM＝ON，CM＝DN，∴四边形OMEN是正方形， ∵OE＝2，∴2NE2＝OE2＝（2）2＝8， ∴NE＝ON＝2，∵DE+CE＝DE+EM+MC＝DE+EM+DN＝EN+EM＝2EN＝4， 设DE＝a，CE＝b，∴a+b＝4， ∵CE•DE＝4，CD2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×4＝8，∴S正方形ABCD＝8． 故选：D． 6．【分析有方】作CB关于DA的对称线段C'B'，以AB中的O为圆心作半圆O，连C'O分别交DA及半圆O于P、F．将PC+PF转化为C'F找到最小值． 【解题有法】解：如图： 取点C关于直线DA的对称点C′．以AB中点O为圆心，OA为半径画半圆． 连接OC′交DA于点P，交半圆O于点F，连AF．连BF并延长交DA于点E． 由以上作图可知，AF⊥EB于F．PC+PF＝PC'+EF＝C'F． 由两点之间线段最短可知，此时PC+PF最小．∵C'B'＝4，OB′＝6， ∴， ∴，∴PC+PF的最小值为．故选：C． 7．【分析有方】由等边三角形的性质得出∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝3，求出∠APC＝120°，当PB⊥AC时，PB长度最小，设垂足为D，此时PA＝PC，由等边三角形的性质得出AD＝CDAC，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD∠ABC＝30°，求出PD＝AD•tan30°AD，BDAD，即可得出答案． 【解题有法】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝3， ∵∠PAB＝∠ACP， ∴∠PAC+∠ACP＝60°， ∴∠APC＝120°， ∴点P的运动轨迹是， 当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示： 此时PA＝PC，OB⊥AC， 则AD＝CDAC，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD∠ABC＝30°， ∴PD＝AD•tan30°AD，BDAD， ∴PB＝BD﹣PD． 故答案为：． 8．【分析有方】连接AE，如图1，先根据等腰直角三角形的性质得到AB＝AC＝4，再根据圆周角定理，由AD为直径得到∠AED＝90°，接着由∠AEB＝90°得到点E在以AB为直径的⊙O上，于是当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，在Rt△AOC中利用勾股定理计算出OC＝2，从而得到CE的最小值为22． 【解题有法】解：连接AE，如图1， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC， ∴AB＝AC＝4， ∵AD为直径， ∴∠AED＝90°， ∴∠AEB＝90°， ∴点E在以AB为直径的⊙O上， ∵⊙O的半径为2， ∴当点O、E、C共线时，CE最小，如图2， 在Rt△AOC中，∵OA＝2，AC＝4， ∴OC2， ∴CE＝OC﹣OE＝22， 即线段CE长度的最小值为22． 故答案为22． 9．【分析有方】根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可． 【解题有法】解：如图所示：过点M作MF⊥DC，交CD的延长线于点F， ∵MA′是定值，A′C长度取最小值时， ∴A′在MC上时， ∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中点， ∴2MD＝AD＝CD＝2，∠FDM＝60°， ∴∠FMD＝30°， ∴FDMD， ∴FM＝DM×cos30°， ∴MC， ∴A′C＝MC﹣MA′1． 故答案为：1． 10．【分析有方】先连接OP，PC，OC，根据OP+PC≥OC，OC＝5，PC＝3，即可得到当点O，P，C三点共线时，OP最短，根据OP＝5﹣3＝2，可得AB＝2OP＝4． 【解题有法】解：如图，连接OP，PC，OC， ∵OP+PC≥OC，OC＝5，PC＝3， ∴当点O，P，C三点共线时，OP最短， 如图，∵OA＝OB，∠APB＝90°， ∴AB＝2OP， 当O，P，C三点共线时， ∵OC＝5，CP＝3， ∴OP＝5﹣3＝2， ∴AB＝2OP＝4， 故答案为：4． 11．【分析有方】如图作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，ED′．由DP＝PD′，推出PD+PF＝PD′+PF，又EF＝EA＝2是定值，即可推出当E、F、P、D′共线时，PF+PD′定值最小，最小值＝ED′﹣EF． 【解题有法】解：如图作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，ED′． 在Rt△EDD′中，∵DE＝6，DD′＝8， ∴ED′10， ∵DP＝PD′， ∴PD+PF＝PD′+PF， ∵EF＝EA＝2是定值， ∴当E、F、P、D′共线时，PF+PD′定值最小，最小值＝10﹣2＝8， ∴PF+PD的最小值为8， 故答案为8． 12．【分析有方】根据正方形的性质可得AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠3，然后求出∠AHB＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OHAB＝3，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小； 【解题有法】解：取AB的中点O，连接OH、OD，如图： 在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG， 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴∠1＝∠2， 在△ADG和△CDG中， ， ∴△ADG≌△CDG（SAS）， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°， ∴∠1+∠BAH＝90°， ∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°， ∵O为AB的中点， ∴OH＝AOAB＝3， 在Rt△AOD中，OD＝3， 根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD， ∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小， 最小值＝OD﹣OH＝33． 故答案为：33． 13．【分析有方】作△ABC的外接圆，求出当∠BAC＝90°时，BC是直径最长；当∠BAC＝∠ABC时，△ABC是等边三角形，BC＝AC＝AB＝4，而∠BAC＞∠ABC，即可得出答案． 【解题有法】解：作△ABC的外接圆，如图所示： ∵∠BAC＞∠ABC，AB＝4， 当∠BAC＝90°时，BC是直径最长， ∵∠C＝60°， ∴∠ABC＝30°， ∴BC＝2AC，ABAC＝4， ∴AC， ∴BC； 当∠BAC＝∠ABC时，△ABC是等边三角形，BC＝AC＝AB＝4， ∵∠BAC＞∠ABC， ∴BC长的取值范围是4＜BC； 故答案为：4＜BC． 14．【分析有方】根据已知条件得到点A，F，C，D四点共圆，推出∠FAD＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠FAC＝∠AFC，等量代换得到∠AFB＝∠ABF，求得AF＝AB＝6，根据勾股定理得到AD＝8，DF＝10，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解题有法】解：∵∠CAD＝∠CFD， ∴点A，F，C，D四点共圆， ∴∠FAD+∠DCF＝180°，∠FAC＝∠FDC， ∵∠DCF＝90°， ∴∠FAD＝90°， ∵AC＝FC， ∴∠FAC＝∠AFC， ∵DF⊥AB， ∴∠ABF+∠BFE＝∠CDF+∠BFE＝90°， ∴∠ABF＝∠CDF， ∴∠AFB＝∠ABF， ∴AF＝AB＝6， ∵DF﹣AD＝2， ∴DF＝AD+2， ∵DF2＝AF2+AD2， ∴（2+AD）2＝62+AD2， 解得：AD＝8， ∴DF＝10， ∵∠FAD＝90°，AE⊥DF， ∴△ADE∽△DAF， ∴， ∴DE， 故答案为：． 15．【分析有方】取AC的中点O'，连接BO′、BC．在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E，利用勾股定理求出BO′即可解决问题． 【解题有法】解：如图，取AC的中点O'，连接BO′、BC． ∵CE⊥AD， ∴∠AEC＝90°， ∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动， ∴CO'AC＝4， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中，∵AC＝8，AB＝10， ∴BC6， 在Rt△BCO′中，BO′2， ∵O′E+BE≥O′B， ∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E＝24， 故答案为：24． 16．【分析有方】由∠AEC＝90°知E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），从而得BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），在Rt△BCM中利用勾股定理求得BM，从而得BE长度的最小值BE′＝BM﹣ME′2；由BE最长时即E与C重合，根据BC＝3且点E与点C不重合，得BE＜3，从而得出答案． 【解题有法】解：如图， 由题意知，∠AEC＝90°， ∴E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N）， ∴BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点）， ∵AB＝5，AC＝4， ∴BC＝3，CM＝2， 则BM， ∴BE长度的最小值BE′＝BM﹣ME′2， BE最长时，即E与C重合， ∵BC＝3，且点E与点C不重合， ∴BE＜3， 综上，2≤BE＜3， 故答案为：2≤BE＜3． 17．【分析有方】如图，连接EO、PO、OC．根据三边关系，PE≥OE﹣OP，求出OE，OP即可解决问题． 【解题有法】解：如图，连接EO、PO、OC． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠OAP＝90°， 在Rt△OBC中，BC＝8，OB＝2， ∴OC2， 在Rt△AOP中，OA＝2，PA＝4， ∴OP2， ∵OE＝OC＝2，PE≥OE﹣OP， ∴PE的最小值为22． 故答案为22． 18．【分析有方】（1）根据旋转的性质解答； （2）通过证明△ABA1∽△CBC1，可得，进而解决问题； （3）过点B作BD⊥AC，D为垂足，因为△ABC为锐角三角形，所以点D在线段AC上，在Rt△BCD中，BDBC，然后进行讨论，求得线段EP1长度的最大值与最小值． 【解题有法】解：（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B＝∠ACB＝45°，BC＝BC1， ∴∠CC1B＝∠C1CB＝45°，∴∠CC1A1＝∠CC1B+∠A1C1B＝45°+45°＝90°． （2）∵△ABC≌△A1BC1， ∴BA＝BA1，BC＝BC1，∠ABC＝∠A1BC1，∴， ∵∠ABC+∠ABC1＝∠A1BC1+∠ABC1， ∴∠ABA1＝∠CBC1，∴△ABA1∽△CBC1．∴， ∴CC15； （3）如图，过点B作BD⊥AC，D为垂足， ∵△ABC为锐角三角形， ∴点D在线段AC上， 在Rt△BCD中，BDBC， ①当P在AC上运动至BP⊥AC时，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为：EP1＝BP1﹣BE＝BD﹣BE2； ②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1＝BC+BE＝2+5＝7． 综上所述：线段EP1长度的最大值为7，线段EP1长度的最小值为2． 19．【分析有方】（1）如图1中，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，想办法证明△EAG≌△EAF（SAS）． （2）结论：EF2＝BE2+DF2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABH，（如图2）证明过程跟（1）类似，证得△EAH≌△EAF，把EF转化到EH，然后利用BN＝DM证明四边形BMDN为平行四边形得∠ABE＝∠FDM，得∠EBH＝∠ABH+∠ABE＝∠ADF+∠MDN＝90°，由EH2＝BE2+BH2得EF2＝BE2+DF2． （3）作△ADF的外接圆⊙O，连接EF、EC，过点E分别作EM⊥CD于M，EN⊥BC于N（如图3）．想办法证明EF＝FC，即可证明EN＝CM． 【解题有法】解：（1）证明：如图1中，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG， ∴△ADF≌△ABG，∴AF＝AG，DF＝BG，∠DAF＝∠BAG， ∵正方形ABCD，∴∠D＝∠BAD＝∠ABE＝90°，AB＝AD， ∴∠ABG＝∠D＝90°，即G、B、C在同一直线上， ∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝90°﹣45°＝45°， ∴∠EAG＝∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝45°， 即∠EAG＝∠EAF，∴△EAG≌△EAF（SAS）， ∴EG＝EF，∵BE+DF＝BE+BG＝EG，∴EF＝BE+DF． （2）结论：EF2＝BE2+DF2， 理由：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABH，（如图2） ∴△ADF≌△ABH， ∴AF＝AH，DF＝BH，∠DAF＝∠BAH，∠ADF＝∠ABH，∵∠EAF＝45°， ∴∠DAF+∠BAE＝90°﹣45°＝45°， ∴∠EAH＝∠BAH+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝45°， 即∠EAH＝∠EAF，∴△EAH≌△EAF（SAS）， ∴EH＝EF，∵BN＝DM，BN∥DM， ∴四边形BMDN是平行四边形，∴∠ABE＝∠MDN， ∴∠EBH＝∠ABH+∠ABE＝∠ADF+∠MDN＝∠ADM＝90°， ∴EH2＝BE2+BH2，∴EF2＝BE2+DF2， （3）作△ADF的外接圆⊙O，连接EF、EC，过点E分别作EM⊥CD于M，EN⊥BC于N（如图3）． ∵∠ADF＝90°，∴AF为⊙O直径， ∵BD为正方形ABCD对角线，∴∠EDF＝∠EAF＝45°， ∴点E在⊙O上，∴∠AEF＝90°，∴△AEF为等腰直角三角形， ∴AE＝EF，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE，∴CE＝EF， ∵EM⊥CF，CF＝2，∴CMCF＝1，∵EN⊥BC，∠NCM＝90°， ∴四边形CMEN是矩形，∴EN＝CM＝1，∵∠EBN＝45°，∴BEEN． 故答案为： 20．【分析有方】（1）①以点A（定点）为圆心，AB（定长）为半径作辅助圆⊙A，得出∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，即可求出答案； ②先判断出∠ABP+∠PBC＝90°，进而判断出∠APB＝90°，进而判断出点P在OC上，即可求出答案； （2）①由“SAS”可证△ADE≌△DCF，可得AE＝DF，∠DAE＝∠FDC，由余角的性质可证AE⊥DF； ②由题意可得点P的运动路径是以AD为直径的圆的，由弧长公式可求解． 【解题有法】解：（1）①∵AB＝AC＝AD， ∴点B，点C，点D在以点A为圆心，AB为半径的圆上，如图1， ∴∠BDC∠BAC＝22°，故答案为：22°； ②∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°， ∵∠PAB＝∠PBC，∴∠BAP+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°， ∴点P在以AB（定弦）为直径的⊙O上，如图2，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小， ∵点O是AB的中点，∴OA＝OB＝3， 在Rt△BCO中，∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3， ∴OC5，∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2． ∴PC最小值为2，故答案为：90°； （2）如图3，连接AC，AM， ∵点B，点M关于直线AP对称，∴AB＝AM， ∴点M在以点A为圆心，AB为半径的圆上运动， ∴当点M在线段AC上时，MC有最小值，∵AB＝6，BC＝8， ∴AC10， ∴CM的最小值为10﹣6＝4，故答案为：4； （3）∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，∵DE＝CF， 在△ADE和△DCF中，， ∴△ADE≌△DCF（SAS）， ∴AE＝DF，∠DAE＝∠FDC，∵∠ADE＝90°， ∴∠ADP+∠DCF＝90°，∴∠ADP+∠DAE＝90°， ∴∠APD＝180°﹣90°＝90°，连接AC，BD交于点O， ∵点P在运动中保持∠APD＝90°，∴点P的运动路径是以AD为直径的圆的， ∴点P的运动路径长为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$