1.3 勾股定理的应用（同步课件）-2024-2025学年八年级数学上册教材配套教学课件+分层练习（北师大版）

新课标 北师大版 八年级上册 1.3勾股定理的应用 第一章 勾股定理 1 学习目标 1.学会运用勾股定理求立体图形中两点之间的最短距离. 2.能够运用勾股定理解决实际生活中的问题. 2 新课引入 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 赵爽弦图 刘徽“青朱出入图” 加菲尔德总统拼图 毕达哥拉斯拼图 勾股定理的4种证明方法： 3 新课引入 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a, b , c 满足，那么这个三角形是直角三角形. △ABC的三边a，b，c满足 是直角三角形 A C B a b c 4 核心知识点一 探究学习 立体图形中两点之间的最短距离 探究一：如图，圆柱形杯子A处有一只蚂蚁，想爬到B处去吃粘在杯子上的糖粒，它可以怎样沿圆柱体侧面从A点爬行到B点呢？ B A B A d A B A' A B B A O A' 想一想：蚂蚁走哪一条路线最近？ 5 立体图形 平面图形 转化 展开 B A d A B A' A B B A O A' A B A B A B A B 怎么计算AB? 6 B A r O 12 侧面展开图 12 18÷2 A B A' A' 若已知圆柱体杯子高为12 cm，底面周长为18 cm. AB2=122+(18÷2)2 ，AB=15. 7 小结：立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线. 用所学数学知识去解决实际问题的关键： 根据实际问题建立数学模型； 具体步骤： 1. 审题——分析实际问题； 2. 建模——建立相应的数学模型； 3. 求解——运用勾股定理计算； 4. 检验——是否符合实际问题的真实性． 8 讨论：1.蚂蚁怎样沿正方体表面从A点爬行到G点？ 2.有最短路径吗？怎么确定呢？ 探究二：研究蚂蚁在正方体的A点沿表面爬行到B点的问题. A B C D E F G H 9 正方体爬行路径 A B F E H G 前（后） 上（下） B C G F E H 右（左） 上（下） 前（后） 右（左） B C A E F G A B C D E F G H 三种爬行路径的长度相同 10 正方体爬行路径 A B C D E F G H 方法总结： —侧面展开图中两点之间的连线段最短 B C A E F G 11 探究三：把正方体变成如左图的长方体，长方体底面长为2,宽为1,高为4,蚂蚁从A点沿长方体表面爬到E点有多少种爬行可能？那种爬行路径的距离最短？是多少？ 12 A B F G E H 2 4 1 前（后） 上（下） (1) A D H G E F 2 4 1 左（右） 上（下） (2) A B C F G E 4 2 1 前（后） 右(左) (3) 13 归纳总结： 四棱柱给出的长、宽、高三个数据，把较小的两个数据的和作为一条直角边的长，最大的数据作为另一条直角边的长，这时斜边的长即为最短距离。 14 核心知识点二 勾股定理的实际应用 例题：李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺. （1）你能替他想办法完成任务吗？ 解:连接对角线AC，只要分别量出AB、BC、AC的长度即可. AB2+BC2=AC2 △ABC为直角三角形 15 （2）量得AD长是30 cm，AB长是40 cm，BD长是50 cm. AD边垂直于AB边吗？ 解:AD2+AB2=302+402=502=BD2， 得∠DAB=90°，AD边垂直于AB边. 16 （3）若随身只有一个长度为20 cm的刻度尺，能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？ 解:在AD上取点M,使AM=9,在AB上取点N使AN=12,测量MN是否是15，是，就是垂直；不是，就是不垂直. 17 勾股定理应用的常见类型 1.已知直角三角形的任意两边求第三边； 2.已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； 3.证明包含有平方（算术平方根）关系的几何问题； 4.求解几何体表面上的最短路程问题； 5.构造方程（或方程组）计算有关线段长度，解决生产、生活中的实际问题. 18 随堂练习 1．如图是一块长、宽、高分别是6 cm，4 cm和3 cm的长方体木块．一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和点A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长的平方是( ) A．85　　　　B．97　　　　 C．109　　　D．81 A 19 2．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口点A处出发先往东走8 km，又往北走2 km，遇到障碍后又往西走3 km，再折向北走到6 km处往东拐，仅走了1 km，就找到了宝藏，则门口点A到藏宝点的直线距离是( ) A．20 km B．14 km C．11 km D．10 km D 20 3.如图，长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深为AE＝40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼铒，G在水面线EF上，且EG＝60 cm；一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内到G处吃鱼铒，则小虫爬行的最短路线长为( ) A．40 cm B．60 cm C．80 cm D．100 cm D 21 4．如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm，30 cm，10 cm，A和B是这个台阶的两个相对的点，A点处有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶爬到B点，至少需爬(　　) A．13 cm B．40 cm C．130 cm D．169 cm C 22 5．如图，甲货船以16 n mile/h的速度从港口A出发向东北方向航行，乙货船以12 n mile/h的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口3 h时两船相距(　　) A．35 n mile　 B．50 n mile　 C．60 n mile　 D．40 n mile C 23 6．印度数学家什迦逻(1141年～1225年)曾提出过“荷花问题”： “平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题． 24 解：如图，由题意知，AC＝2，AD＝0.5， 在Rt△ACD中，由勾股定理， 得CD2＝AC2－AD2＝22－0.52＝3.75. 设湖水深BD为x尺，则BC为(x＋0.5)尺． 在Rt△BCD中，由勾股定理， 得BD2＋CD2＝BC2， 即x2＋3.75＝(x＋0.5)2， 解得x＝3.5. 答：湖水深3.5尺 25 7.如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑竿顶端A下滑多少米？ 26 27 课堂小结 勾股定理的应用 解决有关例题图形中路线最短的问题关键 应用勾股定理解决实际问题的一般思路 把立体图形中的线路问题转化为平面上的路线问题，然后再平面上两点间线段最短的原理利用勾股定理求解。 将实际问题转化为数学模型，然后利用勾股定理，列出方程，再解方程求解。 28 谢谢聆听 29 解：∵AB＝DE＝2.5，BC＝1.5，∠C＝90°， ∴AC＝eq \r(AB2－BC2)＝2. ∵BD＝0.5， ∴CD＝2， 在Rt△ECD中，CE＝eq \r(DE2－CD2)＝1.5， ∴AE＝AC－EC＝0.5. 答：滑竿顶端A下滑了0.5米 $$