1.1.2 探索勾股定理（同步课件）-2024-2025学年八年级数学上册教材配套教学课件+分层练习（北师大版）

新课标 北师大版 八年级上册 1.1.2探索勾股定理 第一章 勾股定理 1 学习目标 1.掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题. 2.在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想. 3.在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识. 2 新课引入 (约公元前580～约前500）古希腊数学家、哲学家。相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，通过观察朋友家铺设的正方形地板而发现了直角三角形三边的某种数量关系. 3 新课引入 4 新课引入 5 新课引入 6 新课引入 7 新课引入 8 新课引入 同学们，在我们美丽的地球王国上，原始森林，参天古树带给我们神秘的遐想；绿树成荫，微风习习，给我们以美的享受.你知道吗？在古老的数学王国，有一种树木它很奇妙，生长速度大的惊人，它是什么呢？下面让我们带着这个疑问一同到数学王国去欣赏吧！ 勾股树 9 核心知识点一 探究学习 勾股定理的验证 1.上节课我们已经通过探索得到了勾股定理，请问勾股定理的内容是什么？ 2.如何验证勾股定理呢 ？ 10 勾股定理 几何语言： ∵在Rt △ABC, ∠C=90°(前提) ∴a2+b2=c2 （c为斜边） a b c 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方， 11 我们是怎样发现“勾股定理”的? 割 -将正方形分割成4个全等直角三角形和1个小正方形 补 -将正方形按图补成大正方形内部 12 你能用下列的图形验证勾股定理？ 据不完全统计，验证的方法有400多种，你想得到自己的方法吗？ a2+b2=c2 13 小正方形ABCD的面积可以表示为： 或者_______ 可得等式 方法一： c2 A B C D 4×ab+（b-a）2 4×ab+（b-a）2=c2 14 验证勾股定理： =c2 S正方形ABCD 所以a2+b2=c2 . =ab×4+（b-a）2 S正方形ABCD A B C D =2ab+a2+b2-2ab =a2+b2 15 a+b 大正方形ABCD的面积可以表示为： 或者___________ 可得等式 方法二： (a+b)2 4×ab+c2 4×ab+c2 =(a+b)2 16 验证勾股定理： =c2 S正方形C 所以a2+b2=c2 . S正方形C =(a+b)2-ab×4 =a2+b2+2ab-2ab =a2+b2 17 所以a2 + b2 = c2 方法三：赵爽弦图 c2 a b c a2 b2 18 a b c ① ② ③ ④ ⑤ 所以c2 = b2 + a2 方法四：青朱出入图 19 a a b b c c 方法五：美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形， 求证：a2+b2 =c2. 所以a2+b2=c2 . 证明： 因为 S梯形=(a+b)(a+b) S梯形=ab+ab+c2 =(a2+b2+2ab) = (2ab+c2) 20 核心知识点二 勾股定理的简单应用 例：我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400m, 10s后,汽车与他相距500m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗? 分析： 点A表示小王的位置 点C表示汽车开始位置 点B表示10s后汽车距小王500m 小王距离公路400m，所以∠C是直角 点A、B、C构成直角三角形 A C 公路 400m B 500m 21 即它行驶的速度为108 km/h. 总结：在实际问题中，可以根据问题中的条件构造直角三角形，从而利用勾股定理来解答. 解： 由勾股定理,可以得到AB2=BC2+AC2, 也就是5002=BC2+4002,所以BC=300. 敌方汽车10s行驶了300m,那么它1h行驶的距离为 300×6×60=108000(m), 22 例： 如图，受台风“圆规”影响，一棵高18米的大树断裂，树的顶部落在离树根底部6米处，这棵树折断后有多高？ 6米 x 18-x 解：设这棵树折断后有x米高，则折断的部分为(18-x)米，根据勾股定理，得 ∴x²+6²=(18-x)² ∴解得x=8 m 答：这棵树折断后有8米高 23 随堂练习 1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为(　　) A．5 B．6 C．7 D．25 A 24 2．1876年，美国总统伽菲尔德利用下图验证了勾股定理．其中两个全等的直角三角形边AE，EB在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是( ) A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA＋S△CEB＝S△CDE C．S四边形CDAE＝S四边形CDEB D．S△EDA＋S△CDE＋S△CEB＝S四边形ABCD D 25 3．如图①是边长分别为a，b的两个正方形，经如图②所示的割补可以得到边长为c的正方形，且面积等于割补前的两正方形面积之和．现请你通过对图②的观察指出下面对割补过程的理解不正确的是( ) A．割⑤补⑥ B．割③补① C．割①补④ D．割③补② B 26 4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点E，F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积是( ) A．6　　　　B．12　 　 　C．24　 　 　D．30 A 27 5.如图，一个25 m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离为24 m，如果梯子的顶端A沿墙下滑4m，那么梯子底端B也外移4 m吗？ A B O C D 28 A B O C D 解：在Rt△AOB中，根据勾股定理,得 ∴OB²=AB²-AO² =25²-24² =7² ∴OB=7 cm 在Rt△COD中，CD=AB=25cm OC=OB-AC=24-4=20cm, 由勾股定理,得 ∴OD²=CD²-OC² =25²-20² =15² ∴OD =15cm ∴ BD=15-7=8 cm ∴那么梯子底端B也外移8 m 29 6.如图，为了丰富少年儿童的业余文化生活，某社区要在AB所在的直线上建一图书阅览室．该社区有两所学校，所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B.已知AB＝25 km，CA＝15 km，DB＝10 km.试问：阅览室E建在距点A多少千米处，才能使它到C，D两所学校的距离相等． 30 解：设阅览室E到点A的距离为x km，连接CE，DE. 在Rt△EAC和Rt△EBD中， CE2＝AE2＋AC2＝x2＋152， DE2＝EB2＋DB2＝(25－x)2＋102. ∵EC＝ED， ∴x2＋152＝(25－x)2＋102， 解得x＝10， 建在距点A10 km处 31 课堂小结 验证勾股 定理及应用 拼图验证 首先通过拼图找出面积之间的相等关系，再由面积之间的相等关系结合图形进行代数变形即可推导出勾股定理． 应用 拼出图形 写出图形面积的表达式 找出相等关系 步骤 恒等变形 导出勾股定理 思路 32 谢谢聆听 33 $$