1.1.1 探索勾股定理（同步课件）-2024-2025学年八年级数学上册教材配套教学课件+分层练习（北师大版）

新课标 北师大版 八年级上册 1.1.1探索勾股定理 第一章 勾股定理 1 学习目标 1.掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法. 2.已知直角三角形两边的长，会利用勾股定理求第三边 . 3.能用勾股定理解决简单的问题。 2 新课引入 《周髀算经》中国最古老的天文学和数学著作，曾记载记录着商高和周公的一段对话。 我早就听说您是擅长数 学的人，请问古代伏羲测量天文 制定历法，可没有登天的台阶，又 不能测量大地的尺寸，这数据是 怎么来的呢？ 3 新课引入 数是根据圆形和方形的 数学道理计算得来的。圆来自 方，而方来自直角三角形，直角三角 形是根据乘法九九表算出来的。如果 将一线段折成三段围成直角三角形， 一直角边（勾）为三，另外一直角 边（股）为四，则斜边（弦） 就是五。 4 核心知识点一 探究学习 勾股定理的初步认识 你能发现右图中三个正方形面积之间有怎样的关系? A B C （图中每个小方格代表一个单位面积） 图1 5 A B C （图中每个小方格代表一个单位面积） 图1 正方形A中含有 个小方格,即A的面积是 个单位面积. 同理:正方形B的面积是 个单位面积. 9 9 9 思考：用什么办法能求出图1中A, B的面积? 数格子 6 A B C （图中每个小方格代表一个单位面积） 图1 分割成若干个直角边为整数的三角形 （单位面积） S正方形C = 4××3×3 =18 思考：怎样求出C的面积? 7 练一练 通过对图1的学习，求出图2正方形A,B,C中面积各是多少? A B C A B C （图中每个小方格代表一个单位面积） 图 1 图 2 解：正方形A的面积是4个单位面积，正方形B的面积是4个单位面积，正方形C的面积是8个单位面积. 8 （1）观察图3、图4： （2）填表（每个小正方形的面积为单位1）： A的面积 B的面积 C的面积 图3 图4 16 1 9 9 ？ ？ 图4 图3 做一做 C B A C B A 9 （3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流. 图3 图4 图4 图3 C B A C B A 10 “补” “割” “拼” 分割为四个直角三角形和一个小正方形 补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积 将几个小块拼成一个正方形，如图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形 11 填表（每个小正方形的面积为单位1）： A的面积 B的面积 C的面积 图3 图4 16 1 9 9 （4）分析填表数据 25 10 图4 图3 C B A C B A 12 总结:如图，你得到什么结论？ A B C a c b 结论1： SA+SB=SC 结论2： a2+b2=c2 13 勾股定理： 在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方. 在Rt△ABC中，直角边分别是a，b，斜边是c，则： 说明：勾股定理的应用条件是在直角三角形中；勾股定理是刻画直角三角形三边平方的关系. c b a 14 核心知识点二 利用勾股定理进行计算 例：若直角三角形两直角边长分别为 BC=5cm， AC=12cm，求斜边AB的长度. A C B 解：在Rt△ABC中，根据勾股定理, ∴AB²=AC²+BC² =12²+5² =144+25 =169=132 ∴AB=13cm 答：斜边AB的长度为13厘米 . 15 例：在直角△ABC中，∠ ACB=90°，AB=17cm，AC=15cm，求直角△ABC的面积 15 cm 17 cm A B C 解：∵ ∠ACB=90°，AC=15，AB=17， ∴ BC²=AB²-AC²=172-152=64 即AB=8 cm ∴SRt△ABC = AC×BC = cm2 16 随堂练习 1.已知直角三角形的周长为24，斜边长为10，则三角形的面积为（　　）A．12 B．24 C．36 D．48 B 2.直角三角形中，有两边的长分别为3和4，那么第三边的长的平方为（ ）A．25 B．14 C．7 D．7或25 D 17 3. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积之和为 （　　） A. 225 B. 200 C. 250 D. 150 A 18 4.如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是( ) A．48 B．60 C．76 D．80 C 19 5.在△ABC中，若∠B=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a=7，b=25，则c的长为 24 6.已知一个直角三角形的两条边分别为3和4，则第三条边长的平方为 25或7 20 7. 如图，已知一根长8 m的竹竿在离地3 m处断裂，竹竿顶部抵着地面，此时，顶部距底部有_______m. 4 21 8.在Rt△ABC中， ∠A，∠B，∠C 的对边分别为a，b，c， ∠ C=90°． （1）已知a=3，b=4, 求c； （2）已知c=13，a=5，求b； （3）已知a ∶ b=3 ∶ 4，c=10，求b. 22 解：（1）因为∠C=90°，a=3，b=4， 所以由勾股定理，得c2=a2+b2=32+42=25，所以c=5. （2）因为∠C=90°，c=13，a=5， 所以由勾股定理，得b2=c2-a2=132-52=144，所以b=12. （3）因为a ∶ b=3 ∶ 4， 所以b= a. 因为∠C=90°，c=10，b= a，所以由勾股定理，得 a2+（ a）2= 102，解得a=6（负值舍去）. 所以b=8. 23 解：（1）当高 AD 在△ABC 内部时，如图①. 在 Rt△ABD 中，由勾股定理，得 BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162， ∴ BD＝16. 在 Rt△ACD 中，由勾股定理， 得 CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81， ∴ CD＝9. ∴ BC＝BD＋CD＝25. ∴ △ABC 的周长为 25＋20＋15＝60. 9.在△ABC 中，AB＝20，AC＝15，AD 为 BC 边上的高，且 AD ＝ 12，求△ABC 的周长． 24 9.在△ABC 中，AB＝20，AC＝15，AD 为 BC 边上的高，且 AD ＝ 12，求△ABC 的周长． （2）当高 AD 在△ABC 外部时，如图②. 同理可得 BD＝16，CD＝9. ∴ BC＝BD－CD＝7. ∴△ABC 的周长为 7＋20＋15＝42. 综上所述，△ABC 的周长为 42 或 60. 25 课堂小结 勾股定理 内容 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 字母表示 如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c，那么 26 谢谢聆听 27 $$