21.2.4一元二次方程的根与系数的关系课件 2024—2025学年人教版 数学九年级上册

数学 人教版 九年级上册 第二十一章 一元二次方程 　21.2 解一元二次方程 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 目录 课后小结 随堂练习 知识讲解 情境导入 学习目标 1 3 5 2 4 学习目标 1．探索一元二次方程的根与系数的关系．（重点） 2．会利用一元二次方程的根与系数解决问题．（难点） 情境导入 一般地，对于关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q为已知常数， p2－4q≥0)，试用求根公式求出它的两个解x1、x2，算一算x1＋x2、x1·x2的值，你能得出什么结果？ 知识讲解 知识点　一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1，x2， 那么 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 知识讲解 知识点　一元二次方程的根与系数的关系 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围; 知识讲解 知识点　一元二次方程的根与系数的关系 （4）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： 知识讲解 知识点　一元二次方程的根与系数的关系 （4）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： 知识讲解 知识点　一元二次方程的根与系数的关系 【例 1】已知m、n是方程2x2－x－2＝0的两实数根，则＋的值为 (　　) A．－1   B.   C．－   D．1 解析：根据根与系数的关系，可以求出m＋n和mn的值，再将原代数式变形后，整体代入计算即可． 知识讲解 知识点　一元二次方程的根与系数的关系 【例 1】已知m、n是方程2x2－x－2＝0的两实数根，则＋的值为 (　　) A．－1   B.   C．－   D．1 因为m、n是方程2x2－x－2＝0的两实数根， 所以 C 知识讲解 知识点　一元二次方程的根与系数的关系 【例 2】已知一元二次方程的两根分别是4和－5，则这个一元二次方程可能是(　　) A．x2－6x＋8＝0  B．x2＋9x－1＝0   C．x2－x－6＝0   D．x2＋x－20＝0 解析：∵方程的两根分别是4和－5，设两根为x1，x2， 则x1＋x2＝－1，x1·x2＝－20. 如果令方程ax2＋bx＋c＝0中，a＝1， 知识讲解 知识点　一元二次方程的根与系数的关系 【例 2】已知一元二次方程的两根分别是4和－5，则这个一元二次方程可能是(　　) A．x2－6x＋8＝0  B．x2＋9x－1＝0   C．x2－x－6＝0   D．x2＋x－20＝0 则－b＝－1，c＝－20. ∴方程可能为x2＋x－20＝0. D 知识讲解 知识点　一元二次方程的根与系数的关系 【例 3】已知x1、x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根． (1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由； (2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值． 知识讲解 知识点　一元二次方程的根与系数的关系 【例 3】已知x1、x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根． (1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由； 解：(1)根据题意，得Δ＝(2a)2－4×a(a－6)＝24a≥0.解得a≥0. 又∵a－6≠0，∴a≠6. 由根与系数关系得：x1＋x2＝ ，x1x2＝ . 由－x1＋x1x2＝4＋x2得x1＋x2＋4＝x1x2， 知识讲解 知识点　一元二次方程的根与系数的关系 【例 3】已知x1、x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根． (1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由； ∴ ，解得a＝24. 经检验a＝24是方程 的解． 即存在a＝24，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立． 知识讲解 知识点　一元二次方程的根与系数的关系 【例 3】已知x1、x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根． (2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值． (2)原式＝x1＋x2＋x1x2＋1＝ 为负整数， 则6－a为－1或－2，－3，－6.解得a＝7或8，9，12. 随堂练习 1. 已知x＝4是一元二次方程x2－3x＋c＝0的一个根，则另一个根为________． 解析：设另一根为x1， 则由根与系数的关系得x1＋4＝3，∴x1＝－1. -1 随堂练习 2. 关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是(　　) A．－1或5             B．1          C．5              D．－1 解析：将两根平方和转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决． 设方程两根为x1，x2，由题意，得x12＋x22＝5. ∴(x1＋x2)2－2x1x2＝5. ∵x1＋x2＝a，x1x2＝2a，∴a2－2×2a＝5. 解得a1＝5，a2＝－1. 随堂练习 2. 关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是(　　) A．－1或5             B．1          C．5              D．－1 又∵Δ＝a2－8a，当a＝5时，Δ<0，此时方程无实数根， 所以舍去a＝5. 当a＝－1时，Δ>0，此时方程有两实数根． 所以取a＝－1. D 随堂练习 3. 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1) x2-6x-15=0；    (2) 5x2-1=4x2+x；     (3) 5x-1=4x2. 解：(1) x1+x2=-(-6)=6，x1x2=-15. (2)方程化为 x2-x-1=0. x1+x2=-(-1)=1，x1x2=-1. (3)方程化为 4x2-5x+1=0. x1+x2= ，x1x2= . 随堂练习 4. 已知方程5x2+kx－6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 解：设方程的两个根分别是x1，x2，其中x1=2 . 所以x1 x2 =2x2= .即x2 = . 由于x1 + x2=2+   .得k=－7. 答：方程的另一个根是 ， k=－7. 随堂练习 5. 已知方程3x2－18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值. 解：设方程的两个根分别是x1，x2，，其中x1=1.所以x1 + x2=1+ x2=6，即 x2=5 .                   由于x1 x2=1×5=      ，得m=15. 答：方程的另一个根是5，m=15 随堂练习 6. x1，x2是方程x2 －2(k －1)x + k2 =0 的两个实数根，且x12＋x22=4，求k的值. 解：由方程有两个实数根，得Δ= 4（k - 1）2 - 4k2 ≥ 0， 即 -8k + 4 ≥ 0. 由根与系数的关系得x1 + x2 = 2(k -1) ,  x1 x2 =k 2. ∴x12＋x22=(x1 + x2)2-2 x1 x2 = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4. 由x12＋x22=4，得 2k2 - 8k + 4 = 4，解得 k1= 0， k2 = 4 . 经检验， k2 = 4 不合题意，舍去.所以k=0. 随堂练习 7. 已知x1，x2是方程2x2+2kx+k－1=0的两个根，且(x1+1)(x2+1)=4. (1)求k的值；   (2)求(x1－x2)2的值. 解：(1)根据根与系数的关系得x1+x2=-k，x1x2= . 所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1= +(-k)+1=4. 解得k=-7； 随堂练习 7. 已知x1，x2是方程2x2+2kx+k－1=0的两个根，且(x1+1)(x2+1)=4. (1)求k的值；   (2)求(x1－x2)2的值. (2)因为k=-7,所以x1+x2=7，x1x2=-4. 则(x1－x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=72-4×(-4)=65. 随堂练习 8. 设x1，x2是方程3x2+4x－3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系，求下列各式的值. (1) (x1 + 1)(x2 + 1)；       (2) . 随堂练习 8. 设x1，x2是方程3x2+4x－3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系，求下列各式的值. (1) (x1 + 1)(x2 + 1)；       (2) . 随堂练习 9. 当k为何值时，方程2x2－kx+1=0的两根差为1. 解：设方程两根分别为x1，x2（x1＞x2），则x1-x2=1. 由根与系数的关系，得 课后小结 一元二次方程的根与系数的关系 应用 两根之和 两根之积 验根，求根 确定字母系数的值或取值范围 利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式 谢谢！同学们再见！ $$