21.2.3因式分解法课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册

数学 人教版 九年级上册 第二十一章 一元二次方程 　21.2 解一元二次方程 21.2.3因式分解法 目录 课后小结 随堂练习 知识讲解 情境导入 学习目标 1 3 5 2 4 学习目标 1.掌握用因式分解法解一元二次方程．（重点） 2.会比较解一元二次方程的多种方法，选择合适的方法解一元二次方程使解题简便.（难点） 情境导入 我们知道ab＝0，那么a＝0或b＝0，类似的，解方程(x＋1)(x－1)＝0时，可转化为两个一元一次方程x＋1＝0或x－1＝0来解，你能求出(x＋3)(x－5)＝0的解吗？ 知识讲解 知识点1　用因式分解法解一元二次方程 先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 知识讲解 知识点1　用因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤： 　　（1）将方程右边化为0； 　　（2）将方程左边分解为两个一次式的积； 　　（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 　　（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 知识讲解 知识点1　用因式分解法解一元二次方程 2.常用的因式分解法： 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 3.用分解因式法解一元二次方程的理论依据： 两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0. 知识讲解 知识点1　用因式分解法解一元二次方程 4.用分解因式法解一元二次方程的注意点： ①必须将方程的右边化为0； ②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 知识讲解 知识点1　用因式分解法解一元二次方程 【例 1】用因式分解法解下列方程： (1)x2＋5x＝0； (2)(x－5)(x－6)＝x－5. 解：(1)原方程转化为x(x＋5)＝0， ∴x＝0或x＋5＝0， ∴原方程的解为x1＝0，x2＝－5； 知识讲解 知识点1　用因式分解法解一元二次方程 【例 1】用因式分解法解下列方程： (1)x2＋5x＝0； (2)(x－5)(x－6)＝x－5. (2)原方程转化为(x－5)(x－6)－(x－5)＝0， ∴(x－5)[(x－6)－1]＝0，∴(x－5)(x－7)＝0， ∴x－5＝0或x－7＝0， ∴原方程的解为x1＝5，x2＝7. 知识讲解 知识点1　用因式分解法解一元二次方程 【例 2】用因式分解法解下列方程： (1)x2－6x＝－9； (2)4(x－3)2－25(x－2)2＝0. 解：(1)原方程可变形为：x2－6x＋9＝0， 则(x－3)2＝0，∴x－3＝0， 因此原方程的解为：x1＝x2＝3. 知识讲解 知识点1　用因式分解法解一元二次方程 【例 2】用因式分解法解下列方程： (1)x2－6x＝－9； (2)4(x－3)2－25(x－2)2＝0. (2)整理得[2(x－3)]2－[5(x－2)]2＝0， ∴[2(x－3)＋5(x－2)][2(x－3)－5(x－2)]＝0， 即(7x－16)(－3x＋4)＝0，∴7x－16＝0或－3x＋4＝0， ∴原方程的解为x1＝ ，x2＝ . 知识讲解 知识点1　用因式分解法解一元二次方程 【例 3】若a、b、c为△ABC的三边，且a、b、c满足a2－ac－ab＋bc＝0，试判断△ABC的形状． 解：∵a2－ac－ab＋bc＝0， ∴(a－b)(a－c)＝0， ∴a－b＝0或a－c＝0， ∴a＝c或a＝b，∴△ABC为等腰三角形． 知识讲解 知识点2　选择合适的方法解一元二次方程 1.能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： （1）形如x2=p，可直接开平方求解. （2）由方程(mx+n)2=p(p≥0)，可得mx+n= 或mx+n= - . 知识讲解 知识点2　选择合适的方法解一元二次方程 2.配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程； 所有的一元二次方程都可以用配方法和公式法来求解，但它们往往并非最简单的，一定要注意方法的选择. 知识讲解 知识点2　选择合适的方法解一元二次方程 3.能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积. 总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次. 知识讲解 知识点2　选择合适的方法解一元二次方程 【例 4】用合适的方法解下列方程： （1）4x2=16; （2）2x2+3x-1=0； （3）(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； （4）x2+6x+8=0. 知识讲解 知识点2　选择合适的方法解一元二次方程 【例 4】用合适的方法解下列方程： （1）4x2=16; 解：（1）原式可化为x2=4， 直接开平方得x=±2， ∴x1=2，x2=-2. 知识讲解 知识点2　选择合适的方法解一元二次方程 【例 4】用合适的方法解下列方程： （2）2x2+3x-1=0； （2）∵a=2，b=3，c=﹣1， ∴b2﹣4ac=17＞0， 知识讲解 知识点2　选择合适的方法解一元二次方程 【例 4】用合适的方法解下列方程： （3）(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； （3）(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0， 因式分解得(2x+1+2)2＝0． 即2x+3=0，x1=x2=-1.5. 知识讲解 知识点2　选择合适的方法解一元二次方程 【例 4】用合适的方法解下列方程： （4）x2+6x+8=0. （4）将常数项移到方程右边x2+6x=-8． 两边都加“一次项系数一半的平方”，得 x2+6x+32=-8+32， ∴ (x+3)2=1． 用直接开平方，得x+3=±1， ∴ x=-2或x=-4． 随堂练习 1.解下列方程： (1)x(x-2)+x-2=0；         (2) 5x2-2x- =x2-2x+ . 解：（方法一）(1)因式分解，得(x-2)(x+1)=0， 于是得x-2=0，或x+1=0， x1=2，x2=-1. 随堂练习 1.解下列方程： (1)x(x-2)+x-2=0；         (2) 5x2-2x- =x2-2x+ . （方法二）(1)方程化为x2-x-2=0， a=1，b=-1，c=-2. Δ=b2-4ac=(-1)2-4×1×(-2)=9＞0，   即x1=2，x2=-1. 随堂练习 1.解下列方程： (1)x(x-2)+x-2=0；         (2) 5x2-2x- =x2-2x+ . （方法一）(2)移项、合并同类项，得4x2-1=0， 因式分解，得(2x+1)(2x-1)=0， 于是得2x+1=0，或2x-1=0， x1=- ，x2= . 随堂练习 1.解下列方程： (1)x(x-2)+x-2=0；         (2) 5x2-2x- =x2-2x+ . （方法二）(2)移项、合并同类项，得4x2=1， 二次项系数化为1，得x2= ， 直接开平方，得x=± ， 即x1=- ，x2= . 随堂练习 2.我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a)(x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a)(x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．     （1）x2-3x-4=0；    （2）x2-7x+6=0；    （3）x2+4x-5=0. 解（1）∵x2-3x-4=（x-4)(x+1），     ∴（x-4)(x+1）=0，     ∴x-4=0或x+1=0，     ∴x1=4，x2=-1. 随堂练习 2.我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a)(x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a)(x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．     （1）x2-3x-4=0；    （2）x2-7x+6=0；    （3）x2+4x-5=0.     （2）∵x2-7x+6=（x-6)(x-1），     ∴（x-6)(x-1）=0，     ∴x-6=0或x-1=0，     ∴x1=6，x2=1. 随堂练习 2.我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a)(x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a)(x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．     （1）x2-3x-4=0；    （2）x2-7x+6=0；    （3）x2+4x-5=0.     （3）∵x2+4x-5=（x+5)(x-1），     ∴（x+5)(x-1）=0，     ∴x+5=0或x-1=0，     ∴x1=-5，x2=1. 随堂练习 3.如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍.求小圆形场地的半径. 解：设小圆形场地的半径为r m.依题意，得π(r+5)2=2πr2， 整理得r2-10r-25=0，Δ=(-10)2-4×1×(-25)=200＞0，   r1=5+5 ，r2=5-5  (不合题意，舍去). 答：小圆形场地的半径为(5+5 )m. 课后小结 因式分解法 选择合适的方法解一元二次方程 用因式分解法解一元二次方程 因式分解的概念 解方程步骤 理论依据，常用的因式分解方法 直接开平方法 配方法和公式法 因式分解法 谢谢！同学们再见！ $$