21.2.1.2用配方法解一元二次方程课件 2024—2025学年人教版 数学九年级上册

数学 人教版 九年级上册 第二十一章 一元二次方程 　21.2 解一元二次方程 21.2.1配方法 第2课时 用配方法解一元二次方程 目录 课后小结 随堂练习 知识讲解 情境导入 学习目标 1 3 5 2 4 学习目标 1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程； 2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；（重点） 3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力. (难点） 情境导入 我们已经学会解形如x2=a的一元二次方程。那么能否将x2-4x-1=0转化为可以直接降次的形式再求解呢？ 如果等号左边是x2-4x+4就方便处理了，不妨进行变形 x2-4x-1+5=0+5 x2-4x+4=5 （x-2）2=5 知识讲解 知识点1　配方法解一元二次方程 1.将一元二次方程配成（x+n）2=p（p≥0）的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. 2.配方法解一元二次方程的理论依据是什么公式？ a2±2ab+b2=（a±b）2 知识讲解 知识点1　配方法解一元二次方程 3.配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为ax2+bx=c（a≠0）的形式； ②将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 知识讲解 知识点1　配方法解一元二次方程 【例 1】用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为(　　) A．(x＋2)2＝1   B．(x－2)2＝1 C．(x＋2)2＝9   D．(x－2)2＝9 解析：由于方程左边关于x的代数式的二次项系数为1，故在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边写成完全平方式的形式，右边化简即可．因为x2－4x＝5，所以x2－4x＋4＝5＋4，所以(x－2)2＝9. D 知识讲解 知识点1　配方法解一元二次方程 【例 2】用配方法解方程：x2-4x﹣2=0. 解：方程变形为x2-4x=2． 两边都加4，得x2-4x+4=2+4． 利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n的方程，即有(x-2)2=6． 解这个方程，得x-2= 或x-2=- ． 于是，原方程的根为x=2+ 或x=2- ． 知识讲解 知识点1　配方法解一元二次方程 【例 3】用配方法解方程：2x2﹣12x﹣2=0. 解：2x2﹣12x﹣2=0， 系数化为1得：x2﹣6x﹣1=0， 移项得：x2﹣6x=1， 配方得：x2﹣6x+9=10，即（x﹣3）2=10， 开方得：x﹣3=± ， 则x1=3+ ，x2=3﹣ ． 知识讲解 知识点2　配方法的应用 1.用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 知识讲解 知识点2　配方法的应用 2.用于求待定字母的值： 将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 知识讲解 知识点2　配方法的应用 3.用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 知识讲解 知识点2　配方法的应用 【例 4】若代数式M=10a2+b2-7a+8，N=a2+b2+5a+1，则M-N的值（　　） A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定是零 D．都有可能 B 解析：M-N=10a2+b2-7a+8-（a2+b2+5a+1） =10a2+b2-7a+8-a2-b2-5a-1 =9a2-12a+7 =9a2-12a+4+3=（3a-2）2+3＞0. 知识讲解 知识点2　配方法的应用 【例 5】已知a2-3a+b2- + =0，求a-4的值． 知识讲解 知识点2　配方法的应用 【例 6】求代数式 x2+8x+17的最小值. 解：由题可得x2+8x+17= x2+8x+42-42+17=（x+4）2+1. ∵（x+4）2≥0， ∴当（x+4）2=0时，代数式 x2+8x+17的最小值是1. 随堂练习 1.用配方法解一元二次方程x2+4x﹣3=0时，原方程可变形为（　　） A．（x+2）2=1 B．（x+2）2=7 C．（x+2）2=13 D．（x+2）2=19 B 解析：由题可得x2+4x=3，所以x2+4x+4=7，所以（x+2）2=7． 随堂练习 2.若E=2x2+x，F=x2-3x-6，则E与F的大小关系为（　　） A．E＞F B．E=F C．E＜F D．无法确定 A 解析：由题意，作差：E-F=（2x2+x）-（x2-3x-6）=x2+4x+6=（x+2）2+2＞0． 随堂练习 3.若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是______．　 ±3 解析：∵m2=32=9，∴ m=±3. 随堂练习 4.代数式2x2-7x+2的最小值为 . 解析：∵2x2-7x+2=2（x2 - x）+2 =2（x - ）2- ≥- ，∴最小值为- . 随堂练习 5.用配方法解方程：x2+4x﹣1=0. 解：∵x2+4x﹣1=0， ∴x2+4x=1， ∴x2+4x+4=1+4， ∴（x+2）2=5， ∴x=﹣2± ， ∴x1=﹣2+ ，x2=﹣2﹣ ． 随堂练习 6.用配方法解方程： .　　 随堂练习 7.已知a2+b2﹣4a+6b+13=0，求a+b的值． 解：∵a2+b2﹣4a+6b+13=0， ∴a2﹣4a+4+b2+6b+9=0， ∴（a﹣2）2+（b+3）2=0， ∴a﹣2=0，b+3=0， ∴a=2，b=﹣3， ∴a+b=2﹣3=﹣1． 随堂练习 8.已知：x2＋4x＋y2－6y＋13＝0，求 的值． 解：原方程可化为(x＋2)2＋(y－3)2＝0， ∴(x＋2)2＝0且(y－3)2＝0， ∴x＝－2且y＝3， ∴原式＝ 随堂练习 9.(1)用配方法证明2x2－4x＋7的值恒大于零； (2)由第(1)题的启发，请你再写出三个恒大于零的二次三项式． 证明：(1)2x2－4x＋7＝2(x2－2x)＋7 ＝2(x2－2x＋1－1)＋7 ＝2(x－1)2－2＋7＝2(x－1)2＋5. ∵2(x－1)2≥0，∴2(x－1)2＋5≥5，即2x2－4x＋7≥5， 故2x2－4x＋7的值恒大于零． 随堂练习 9.(1)用配方法证明2x2－4x＋7的值恒大于零； (2)由第(1)题的启发，请你再写出三个恒大于零的二次三项式． (2)x2－2x＋3；2x2－2x＋5；3x2＋6x＋8． （答案不唯一） 随堂练习 10.证明关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0不论m为何值时，都是一元二次方程． 解析：要证明“不论m为何值时，方程都是一元二次方程”，只需证明二次项系数m2－8m＋17的值不等于0. 随堂练习 10.证明关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0不论m为何值时，都是一元二次方程． 证明：∵二次项系数m2－8m＋17＝m2－8m＋16＋1＝(m－4)2＋1，又∵(m－4)2≥0，∴(m－4)2＋1＞0， 即m2－8m＋17＞0. ∴不论m为何值时，原方程都是一元二次方程． 课后小结 配方法 概念 理论依据 一般步骤 应用 用于比较大小 用于求待定字母的值 用于求最值 谢谢！同学们再见！ $$