1.4.1.1 空间中点、直线和平面的向量表示 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.1 空间中点、线、面的向量表示 第 1 章空间向量与立体几何 导入3min 1．能用向量语言描述直线和平面．(数学抽象) 2．理解直线的方向向量与平面的法向量．(直观想象) 学习目标 1.重点：理解直线的方向向量和平面的法向量. 2.难点：建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为空间向量问题. 重、难点 自主学习问题1-5（8min） 合作学习问题5-8（7min） 问题1 如何用向量表示空间中的一个点？ 问题2 直线的方向向量的定义是？一条直线只有一个方向向量吗？ 问题3 我们知道，空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l. 如何用向量表示直线l ? 问题4 一个定点和两个定方向能否确定一个平面?如何用向量表示这个平面? 问题5 给定空间一点A和一条直线l，能否确定过点A且垂直于直线l的平面是唯一的?一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？ 问题6 如果另有一条直线m⊥α，在直线m上任取向量，与平面α法向量有什么关系? 问题7 结合课本P28例1，结合自己的理解总结求平面法向量的步骤 问题8 对比课本P29练习2、3，什么叫做单位正交基底？与基底的定义相同吗？两个问题中，是否都可以用坐标表示？ 成果展示12min 问题1如何用向量表示一个点？ • O P • 如图，在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量 来表示，我们把向量 称为点P的位置向量. 问题2 直线的方向向量的定义是？一条直线只有一个方向向量吗？ l A P 如图，l为经过已知点A且平行于非零向量 的直线，那么非零向量 叫做直线l的方向向量. 直线上的非零向量叫做直线的方向向量 无数条， 问题4 一个定点和两个定方向能否确定一个平面?如何用向量表示这个平面? 如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为 和 ，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一 的有序实数对(x, y)，使得 α • O • P 这样，点O与向量 不仅可以确定平面α，还可以具体表示出α内的任意一点. 由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定. 6 问题5 给定空间一点A和一条直线l，能否确定过点A且垂直于直线l的平面是唯一的? α A • 由此得到启发，可以利用点A和直线l的方向向量来确定平面. 量表示这个平面？ 一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向 l α A l • m P • 如图，直线l⊥α. 取直线l的方向向量 , 我们称向量 为平面α的法向量. 给定一个点A和一个向量 , 那么过点A, 且以向量 为法向量的平面完全确定, 可以表示为集合 问题6如果另有一条直线m⊥α，在直线m上任取向量 ， 与 有什么关系? 一个平面的法向量不唯一，与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量. 7 1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内打“√”，错误的打“×”. (1) 零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量; （ ） (2) 若 是直线l的方向向量，则 (λ∈R)也是直线l的方向向量; （ ） (3) 在空间直角坐标系中， 是坐标平面Oxy的一个法向量. （ ） √ × √ 8 点拨拓展(10min) A C D B C1 D1 B1 A1 N O 9 例1 如图示，在长方体ABCD –A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求平面BCC1B1的法向量; (2)求平面MCA1的法向量. A C D B C1 D1 B1 A1 M 求平面法向量步骤 10 当堂检测（5min） 3. 在长方体ABCD –A1B1C1D1中, AB=4, BC=3, CC1=2. 以D为原点, 以 为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系Oxyz，求平面ACD1的一个法向量. A C D B C1 D1 B1 A1 11 课堂小结 空间向量表示形式 点 直线 平面 1.点+两个不共线向量 2.点+平面法向量 = 为方向向量 OP=xa+yb {P|α=0} 作业： 必做：课时作业六 1-4、6-9、11 选做：10、 12 $$