1.1菱形的性质与判定（第1课时）课后作业-2024-2025学年北师大版数学九年级上册

1.1菱形的性质与判定（第1课时）课后作业 一．选择题 1．菱形ABCD的对角线交于点O，则下列结论不一定正确的是（　　） A．AB＝BC B．OA＝OC C．OA⊥OB D．AC＝BD 2．如图，已知菱形ABCD的周长为12，∠A＝60°，则BD的长为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 3．下列性质中，菱形对角线不具有的是（　　） A．对角线互相垂直 B．对角线所在直线是对称轴 C．对角线相等 D．对角线互相平分 4．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，（如图）则∠EAF等于（　　） A．75° B．45° C．60° D．30° 5．如图在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为32，则OH的长等于（　　） A．8 B．6 C．7 D．4 6．如图所示，丽丽家有一个菱形中国结装饰，对角线AC，BD相交于点O，测得AB＝10cm，AC＝12cm，过点A作AH⊥BC于点H，则AH的长为（　　） A．9.6cm B．10.8cm C．12cm D．14cm 7．菱形的周长为20cm，两个相邻的内角的度数之比为1：2，则较长的对角线的长度是（　　） A．20 cm B．5cm C． cm D．5 cm 8．如图，在菱形ABCD和菱形CEFG（点D在边CG上）中，连接AF，EG相交于点P，连接CP．若BC＝5，CE＝10，EG＝12，则CP的长是（　　） A．8 B．9 C． D． 9．如图，菱形ABCD的面积为，∠ABC＝120°，点O为BD的中点，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是（　　） A． B． C．4 D．6 10．图1是第63届国际数学奥林匹克竞赛会标，图2是其主体的中间部分图案，它是一个轴对称图形．已知AE∥CD，DE∥AB，作菱形CHFG，使点H，F，G分别在CD，AB，BC上，且点E在FH上．若BG＝GC＝4，则整个图形的面积为（　　） A． B．20 C． D．25 11．用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个如图1所示的菱形教具，此时测得∠B＝60°，对角线AC长为8，改变教具的形状成为如图2所示的正方形，则正方形的边长为（　　） A．4 B． C．8 D． 12．如图，在菱形ABCD中，∠A＝100°，E、F分别是边AB、BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC的度数是（　　） A．50° B．45° C．40° D．30° 13．如图，在菱形ABCD中，对角线交点为O，E是AD的中点，作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，连结FG．若AC＝10，BD＝24，则FG的长为（　　） A．12 B．10 C．6.5 D．5 二．填空题 14．如图，某校园内有一个由两个相同的边长为2m的正六边形围成的花坛，现要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形花坛，则扩建后菱形花坛的周长为 　 　m． 15．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，若菱形的两条对角线长分别为10和24，求阴影部分的面积为 　 　． 16．在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝2∠A，点E，F分别是AD，AB的中点，动点P从B出发，沿着顺时针方向运动到C点，当△PEF为直角三角形时，BP的长度为 　 　． 17．如图，直线l1∥l2，菱形ABCD和等边△EFG在l1、l2之间，点A、F分别在l1、l2上，点B、D、E、G在同一直线上．若∠α＝50°，∠ADE＝146°，则∠β＝　 　°． 18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，菱形DEFG顶点D、E在边AB上，F、G分别在边BC、AC上，则DE的取值范围是 　 　． 19．如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上的一个动点，过点P分别作AB，BC的垂线，垂足分别是F和E．若菱形ABCD的周长是24cm，面积是12cm2，则PE+PF的值是 　 　cm． 三．解答题 20．综合与实践课上，诸葛小组三位同学对含60°角的菱形进行了探究 [背景]在菱形ABCD中，∠B＝60°，作∠PAQ＝∠B，AP、AQ分别交边BC、CD于点P，Q（点P不与点B重合）． （1）[感知]如图（1），若点P是边BC的中点，小南经过探索发现了线段AP与AQ之间的数量关系，请你写出这个数量关系：　 　； （2）[探究]如图（2），小阳说“若点P为BC上任意一点，（1）中的结论仍然成立”，你同意吗？请说明理由． 21．在△ABC中，AB＝AC，点D为射线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边作菱形ADEF，使∠DAF＝∠BAC，连接CF． （1）如图1，当点D在线段BC上时，求证；BD＝CF； （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上，且∠BAC＝90°时，求证：BD＝CF． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1菱形的性质与判定（第1课时）课后作业（解析版） 一．选择题 1．菱形ABCD的对角线交于点O，则下列结论不一定正确的是（　　） A．AB＝BC B．OA＝OC C．OA⊥OB D．AC＝BD 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，OA＝OC，OA⊥OB． 故不一定正确的是AC＝BD． 故选：D． 2．如图，已知菱形ABCD的周长为12，∠A＝60°，则BD的长为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【解答】解：∵菱形ABCD的周长为12， ∴菱形ABCD的边长＝12÷4＝3， ∵∠A＝60°，AD＝AB， ∴△ABD等边三角形， ∴AB＝BD， ∴BD＝3， 故选：A． 3．下列性质中，菱形对角线不具有的是（　　） A．对角线互相垂直 B．对角线所在直线是对称轴 C．对角线相等 D．对角线互相平分 【解答】解：∵菱形对角线具有的性质有：对角线互相垂直，对角线互相平分， ∴对角线所在直线是对称轴． 故A，B，D正确，C错误． 故选：C． 4．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，（如图）则∠EAF等于（　　） A．75° B．45° C．60° D．30° 【解答】解：连接AC， ∵AE⊥BC，AF⊥CD，且E、F分别为BC、CD的中点， ∴AB＝AC，AD＝AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∴AB＝BC＝AC，AC＝CD＝AD， ∴∠B＝∠D＝60°， ∴∠BAE＝∠DAF＝30°，∠BAD＝180°﹣∠B＝120°， ∴∠EAF＝∠BAD﹣∠BAE﹣∠DAF＝60°． 故选：C． 5．如图在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为32，则OH的长等于（　　） A．8 B．6 C．7 D．4 【解答】解：∵菱形ABCD的周长为32， ∴AD＝8， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD＝90°， ∵H为AD边中点， ∴OH＝AD＝4， 故选：D． 6．如图所示，丽丽家有一个菱形中国结装饰，对角线AC，BD相交于点O，测得AB＝10cm，AC＝12cm，过点A作AH⊥BC于点H，则AH的长为（　　） A．9.6cm B．10.8cm C．12cm D．14cm 【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，AB＝10cm， ∴AC⊥BD，，，BC＝AB＝10cm，AC＝12cm， ∴∠AOB＝90°，， 在Rt△AOB中，， ∴BD＝2OB＝16cm， ∵， ∴， ∴AH＝9.6cm， 故答案为：A． 7．菱形的周长为20cm，两个相邻的内角的度数之比为1：2，则较长的对角线的长度是（　　） A．20 cm B．5cm C． cm D．5 cm 【解答】解： ∵菱形的周长为20cm， ∴AB＝AD＝BC＝CD＝5cm，AD∥BC，AC⊥BD，BD＝2BO，AO＝OC＝AC， ∴∠DAB+∠ABC＝180°， ∵两个相邻的内角的度数之比为1：2， ∴∠ABC＝60°， ∵AB＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC＝5cm， ∴AO＝cm， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：BO＝＝（cm）， 即BD＝2OB＝5cm， 故选：B． 8．如图，在菱形ABCD和菱形CEFG（点D在边CG上）中，连接AF，EG相交于点P，连接CP．若BC＝5，CE＝10，EG＝12，则CP的长是（　　） A．8 B．9 C． D． 【解答】解：如图：连接CF交EG于O，连接DO， ∵菱形ABCD和菱形CEFG，BC＝5，CE＝10， ∴CD＝BC＝5，CG＝FG＝CE＝10，CF⊥GE，，OC＝OF，AD∥CE∥GF， ∴， ∵GD＝CG﹣CD＝5， ∴CD＝DG ∵OC＝OF， ∴OD是△CGF的中位线， ∴， ∵AD∥GF， ∴A，D，O三点共线，AO＝AD+OD＝10，∠FGP＝∠AOP， ∴AO＝GF＝10， ∵∠FPG＝∠APO， ∴△FPG≌△APO（AAS）， ∴， ∵CF⊥GE， ∴． 故选：C． 9．如图，菱形ABCD的面积为，∠ABC＝120°，点O为BD的中点，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是（　　） A． B． C．4 D．6 【解答】解：如图，连接AC， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，点O为BD的中点， ∴∠DAB＝60°，AB＝AD，AC⊥BD于点O，AO＝CO，BO＝DO， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB， ∵∠BAC＝30°， ∴AO＝BO， ∴AC＝BD， ∵菱形ABCD的面积为， ∴AC×BD＝， ∴BD＝4， ∴AC＝12， ∵CE⊥AB，AO＝CO， ∴OE＝AC＝6， 故选：D． 10．图1是第63届国际数学奥林匹克竞赛会标，图2是其主体的中间部分图案，它是一个轴对称图形．已知AE∥CD，DE∥AB，作菱形CHFG，使点H，F，G分别在CD，AB，BC上，且点E在FH上．若BG＝GC＝4，则整个图形的面积为（　　） A． B．20 C． D．25 【解答】解：由题意，整个图形是轴对称图形， ∴BF＝CH＝4，∠B＝∠C，△AFE≌△DHE． 又BG＝GC＝4， ∴BF＝BG＝GF． ∴△BFG是等边三角形． ∴∠B＝60°． ∵AE∥CD，DE∥AB， ∴∠A＝∠D＝∠C＝60°． 从而，△AFE和△DEH为边长是2的全等的等边三角形，菱形CHFG的面积是△BFG是等边三角形面积的2倍． ∵边长为a的等边三角形的面积为， ∴△BFG是等边三角形的面积＝＝4， 菱形CHFG的面积＝2×4＝8， △AFE的面积和△DEH的面积均为＝． ∴整个图形的面积＝4+8+2＝14． 故选：C． 11．用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个如图1所示的菱形教具，此时测得∠B＝60°，对角线AC长为8，改变教具的形状成为如图2所示的正方形，则正方形的边长为（　　） A．4 B． C．8 D． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝8， 则正方形的边长为8， 故选：C． 12．如图，在菱形ABCD中，∠A＝100°，E、F分别是边AB、BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC的度数是（　　） A．50° B．45° C．40° D．30° 【解答】解：延长PF交AB的延长线于点G，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD， ∴∠GBF＝∠PCF， ∵F是边BC的中点， ∴BF＝CF， 在△BGF与△CPF中， ， ∴△BGF≌△CPF（ASA）， ∴GF＝PF， ∴F为PG中点． 又∵由题可知，∠BEP＝90°， ∴EF＝PG， ∵PF＝PG， ∴EF＝PF， ∴∠FEP＝∠EPF， ∵∠BEP＝∠EPC＝90°， ∴∠BEP﹣∠FEP＝∠EPC﹣∠EPF，即∠BEF＝∠FPC， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝BC，∠ABC＝180°﹣∠A＝80°， ∵E，F分别为AB，BC的中点， ∴BE＝BF，∠BEF＝∠BFE＝（180°﹣80°）＝50°， ∴∠FPC＝50°； 故选：A． 13．如图，在菱形ABCD中，对角线交点为O，E是AD的中点，作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，连结FG．若AC＝10，BD＝24，则FG的长为（　　） A．12 B．10 C．6.5 D．5 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，AC＝10，BD＝24， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝5，OD＝OB＝BD＝12， ∴∠AOD＝90°， ∵EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G， ∴EF∥AC，EG∥BD， ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∴＝＝1，＝＝1， ∴OF＝DF＝OD＝6，OG＝AG＝OA＝， ∴FG＝＝＝6.5， 故选：C． 二．填空题 14．如图，某校园内有一个由两个相同的边长为2m的正六边形围成的花坛，现要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形花坛，则扩建后菱形花坛的周长为 　24　m． 【解答】解：如图，∵花坛是由两个相同的正六边形围成， ∴∠FGM＝∠GMN＝120°，GM＝GF＝EF， ∴∠BMG＝∠BGM＝60°， ∴△BMG是等边三角形， ∴BG＝GM＝2m， 同理可证：AF＝EF＝2m， ∴AB＝BG+GF+AF＝2×3＝6（m）， ∴扩建后菱形区域的周长为6×4＝24（m）， 故答案为：24． 15．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，若菱形的两条对角线长分别为10和24，求阴影部分的面积为 　60　． 【解答】解：∵菱形是中心对称图形， ∴由图得：阴影的面积等于菱形面积的一半， ∵菱形的两条对角线的长分别为10和24， ∴菱形的面积为×10×24＝120， ∴阴影部分的面积为60， 故答案为：60． 16．在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝2∠A，点E，F分别是AD，AB的中点，动点P从B出发，沿着顺时针方向运动到C点，当△PEF为直角三角形时，BP的长度为 　3或或．　． 【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，AB＝4， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝4， ∵AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠B＝2∠A， ∴∠A+2∠A＝180°， ∴∠A＝60°． ∵E，F分别是AD，AB的中点， ∴AE＝，AF＝， ∴AE＝AF＝2． 连接EF，△AEF是等边三角形； ①当点P在AB边上时；如图， 当点P是AF的中点时，△PEF为直角三角形， 此时AP＝AF＝1， ∴BP＝AB﹣AP＝4﹣1＝3； ②当点P在AD边上时；如图， 连接PF， 当点P是AE的中点时，△PEF为直角三角形， 此时， 连接BD，BE，BP， ∵AB＝AD，∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BE⊥AD， 由勾股定理得， 由勾股定理得：； ③当点P在CD边上时，连接BD，AC，PE，PF，PB，如图， 当点P是CD的中点时，此时， ∵AC⊥BD，PE为△ACD的中位线，EF为△ABD的中位线， ∴PE∥AC，EF∥BD， ∴PE⊥EF， ∴△PEF为直角三角形， ∵CD＝BC，∠BCD＝∠BAD＝60°， ∴△BCD是等边三角形， ∴BP⊥CD， 由勾股定理得； 综上，PB的长为3或或． 故答案为：3或或． 17．如图，直线l1∥l2，菱形ABCD和等边△EFG在l1、l2之间，点A、F分别在l1、l2上，点B、D、E、G在同一直线上．若∠α＝50°，∠ADE＝146°，则∠β＝　44　°． 【解答】解：如图，设直线BG与直线l1，l2 相交于H、I， ∵∠ADE＝146°， ∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝34°， ∵∠α＝∠ADB+∠AHD， ∴∠AHD＝∠α﹣∠ADB＝50°﹣34°＝16°， ∵l1∥l2， ∴∠GIF＝∠AHD＝16°， ∵等边△EFG， ∴∠EGF＝60°， ∵∠EGF＝∠β+∠GIF， ∴∠β＝∠EGF﹣∠GIF＝60°﹣16°＝44°， 故答案为：44°． 18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，菱形DEFG顶点D、E在边AB上，F、G分别在边BC、AC上，则DE的取值范围是 　≤DE≤　． 【解答】解：如图1，当DEFG为正方形时，亦为菱形， ∵GF∥AB． ∴sinA＝sin∠CGF＝，sinB＝sin∠CFG＝， 设DE＝x，则由题意可得AB＝＝10， ∴CF＝，CG＝x，BF＝＝＝， ∵CF+BF＝BC， ∴+＝6，解得：x＝． 如图2，当点E与点B重合时，即当DBFG为菱形时， ∵GF∥AB， ∴△CGF∽△CAB， ∴， ∴＝， 解得：BF＝， 即DE＝． 如图3，当点D与点A重合时，即当GAEF为菱形时， 设菱形边长为y， ∵GF∥AB， ∴△CGF∽△CAB， ∴， ∴＝， 解得：y＝． 综上所述，DE的取值范围为≤DE≤． 故答案为：≤DE≤． 19．如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上的一个动点，过点P分别作AB，BC的垂线，垂足分别是F和E．若菱形ABCD的周长是24cm，面积是12cm2，则PE+PF的值是 　2　cm． 【解答】解：连接BP， （cm2）， ∴AB＝BC＝（cm）， ∴（cm2）， ∴， ∴PE+PF＝2（cm）， 故答案为：2． 三．解答题 20．综合与实践课上，诸葛小组三位同学对含60°角的菱形进行了探究 [背景]在菱形ABCD中，∠B＝60°，作∠PAQ＝∠B，AP、AQ分别交边BC、CD于点P，Q（点P不与点B重合）． （1）[感知]如图（1），若点P是边BC的中点，小南经过探索发现了线段AP与AQ之间的数量关系，请你写出这个数量关系：　AP＝AQ　； （2）[探究]如图（2），小阳说“若点P为BC上任意一点，（1）中的结论仍然成立”，你同意吗？请说明理由． 【解答】解：（1）线段AP与AQ之间的数量关系：AP＝AQ． 理由：如图，连接AC， ∵四边形ABCD是菱形，且∠B＝60°， ∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D＝60°， ∴△ABC和△ADC都是等边三角形， ∴∠BAC＝∠DAC＝60°，AB＝AD＝AC， ∵点P是边BC的中点， ∴AP⊥BC，， ∵∠PAQ＝∠B＝60°， ∴∠CAQ＝∠PAQ﹣∠CAP＝60°﹣30°＝30°， ∴∠DAQ＝∠DAC﹣∠CAQ＝60°﹣30°＝30°， ∴∠CAQ＝30°＝∠DAQ， ∴AQ⊥CD， ∴∠APB＝∠AQD＝90°， 在△ABP和△ADQ中， ， ∴△ABP≌△ADQ（AAS） ∴AP＝AQ． （2）同意．理由： 如图，连接AC， ∵四边形ABCD是菱形，且∠B＝60°， ∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D＝60°， ∴△ABC和△ADC都是等边三角形， ∴AB＝AC，∠B＝∠ACQ＝60°，∠BAC＝60°，∠ABP＝∠ACQ＝60° ∴∠BAP+∠PAC＝60°， ∵∠PAQ＝60°， ∴∠PAC+∠CAQ＝60°， ∴∠BAP＝∠CAQ， 在△BAP和△CAQ中， ， ∴△BAP≌△CAQ（ASA）， ∴AP＝AQ． 21．在△ABC中，AB＝AC，点D为射线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边作菱形ADEF，使∠DAF＝∠BAC，连接CF． （1）如图1，当点D在线段BC上时，求证；BD＝CF； （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上，且∠BAC＝90°时，求证：BD＝CF． 【解答】证明：（1）∵四边形ADEF是菱形， ∴AD＝AF， ∵∠BAC＝∠DAF， ∴∠BAD＝∠CAF， ∵AB＝AC， ∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴BD＝CF； （2）四边形ADEF是菱形， ∴AD＝AF， ∵∠BAC＝∠DAF， ∴∠BAD＝∠CAF， ∵AB＝AC， ∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴BD＝CF． 第16页（共18页） 学科网（北京）股份有限公司 $$