2.7.2二次根式的运算 教学设计 2024—-2025学年北师大版数学八年级上册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 八年级 学期 秋季 课题 二次根式的运算 教科书 书 名：义务教育教科书数学教材 出版社：北京师范大学出版社 教学目标 1. 经历猜想、验证二次根式乘法法则的过程，掌握二次根式的乘除法则，并能运用法则进行 二次根式的运算; 2. 通过类比同类项，使学生理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法则，能利用 运算法则和运算律进行二次根式的混合运算. 教学重难点 教学重点： 1. 二次根式的乘除法则及运用； 2. 同类二次根式的概念及二次根式的四则混合运算. 教学难点： 1. 同类二次根式的概念； 2. 二次根式的四则混合运算. 教学过程 一、创设情境 【前置探究任务】《九章算术》是我国古代一部伟大的数学著作，它有很多实际问题及解答组 成，书中开篇第一题及解答为: “今有田广十五步，从十六步，问为田几何？答曰:一亩. ” 这道题说的是求长方形田的面积. 其中“步”为长度单位,“亩”为面积单位.“广”和“从” 指长方形的长和宽. 今需从3´ 3 方形土地中凿出一长方形田，广 ，从 ，为田 几何？方法不限，越多越好. 学科网（北京）股份有限公司 【师生活动】展示学生作品及问题解决方法，包括大面积减小面积法、割补法、公式法. 【设计意图】通过《九章算术》的实际问题引入，引导学生猜想二次根式的乘法法则，从实 际计算需求的角度出发，引导学生发现公式法的简便性，这也是数学来源于生活的体现. 二、探究新知 任务一：探究乘除法则 【师生活动】 问题 1：为什么 ´ = ? 问题 2：猜想二次根式的乘法法则，并写下你的验证依据. 学生猜想： × = (a ³ 0, b ³ 0) . 验证依据： 积分的算术平方根公式： = × (a ³ 0, b ³ 0) . 问题 3:计算长方形面积有大面积减小面积法、割补法、公式法，你更喜欢哪种方法，为什么？ 问题 4 : 今需从 20´ 20 方形土地中凿出一长方形田，广 ，从 ，为田几何？ 小结： 二次根式的乘法法则： × = (a ³ 0, b ³ 0) . 二次根式的除法法则： = (a ³ 0, b > 0) . 【设计意图】带领学生经历猜想、验证、运用法则的过程，经历从特殊到一般，再从一般到 特殊的过程，遵循学生的认知规律. 任务二：运用法则、探究推广公式 【师生活动】教师讲解例题 1 前两小题： (1) ´ ( 2 3 ) ; (2) ´ ; (3) . 问题 5：你有哪些方法可以完成第三题？学生分享第三小题的不同化简方法. 【师生活动】学生完成下列计算，并展示自己的计算过程和结果： (1) ´ ´ ； (2)3 ´ 2 ； (3) ( + 1)2 ； (4) ( + 3)( - 3 ). 【师生活动】教师引导学生总结推广公式: × × = (a ³ 0,b ³ 0,c ³ 0) . a × c = ac (b ³ 0, d ³ 0) . 【设计意图】通过例题和练习题，让学生熟悉乘除法则和简单的四则混合运算，练习的过程 中，让学生尝试用字母表示发现的规律，经历从特殊到一般，从发现特征到归纳提升的思维 过程中，拓展学生的思维，提高学生的运算能力. 任务三：探究加减法则 【师生活动】学生思考并讨论二次根式的加法运算法则，完成例题 2 的计算： + . 【师生活动】类比同类项的概念，引导学生理解同类二次根式的概念. 问题 6:你能用自己的话总结二次根式的加法法则吗？ 小结：二次根式的加减法则： (1) 先化为最简二次根式； (2) 合并同类二次根式. 【设计意图】从学生熟悉的合并同类项入手，类比同类项的概念，让学生更好地理解和掌握 同类二次根式的概念；通过具体计算，把总结二次根式加法法则的主动权充分地交给学生， 培养学生的知识整理与表达能力. 三、达标检测 【师生活动】学生完成二次根式的混合运算： (1) - ； (2) + ¸ ； (3) + - . 【设计意图】巩固二次根式四则运算法则的运用，提升运算能力. 四、课堂小结 【师生活动】教师带领学生回顾本节课的内容. 【设计意图】让学生感悟“从实际问题抽象出数学问题、猜想并验证法则、运用法则”这一 代数基本研究路径，为今后其他代数知识的学习研究打下基础. 五、联系实际 原文：今有田广三步、三分步之一，从五步、五分步之二， 问为田几何？其意思是，已知长 方形田宽 3 步，长 5 步， 问田的面积多少？ 变式： 已知长方形田宽 3+ 步，长5 - 步， 问田的面积多少？ 【设计意图】帮助学生经历数学思考的过程，即“课前对《九章算术》的题目进行求解计算、 在课堂猜想并验证了二次根式的运算法则，最后运用所学知识解决《九章算术》中其他问题” 的过程，这也是知识产生、发展、运用的路径，让学生感受学习二次根式运算法则的必要性， 这也是数学运用于生活的体现. $$