5.2求解二元一次方程组 加减法解二元一次方程组 教学设计 2024-2025学年北师大版数学八年级上册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 八年级 学期 秋季 课题 加减法求解二元一次方程组 教科书 书 名：义务教育教科书 出版社：北京师范大学出版社 教学目标 1. 学会运用加减法求解二元一次方程组. 2. 在利用加减法求解二元一次方程组的过程中，体会化归与消元的数学思想. 3. 通过学习我国古代数学的优秀文化，增强学生的民族自豪感，提升数学核心素养. 教材分析 本节课是数与代数领域方程的重要组成部分.本节课是北师大版八年级上册第五章第二节的 第二课时，学生在学习本节课之前，已经学习过代数式的相关知识，一元一次方程的概念及 解法，二元一次方程组的概念以及代入消元法，能够熟练运用代入消元法求解二元一次方程 组，为本节课的学习做好了准备.而本节课又是求解二元一次方程组的重要方法，为后续解决 二元一次方程组的实际问题增添了有力武器.为了使学生掌握加减消元法，教材呈现了两种代 入消元的思路，从学生熟悉的方法出发，激发了学生的学习兴趣，一步一步引导学生在自主 探究的过程中寻找新的解二元一次方程组的方法. 学情分析：上节课学生虽然已经初步学习了代入法求解二元一次方程组的基本步骤和消元的 基本思路，但是仍然存在对消元的思想理解不透彻、回代过程中思路不清楚等问题.本节课我 将以实际情境为背景，让学生体验知识和方法的形成过程， 自主探究、小组合作，激发学生 兴趣，引导学生掌握加减法求解二元一次方程组. 教学重难点 教学重点： 会用加减法求解二元一次方程组. 教学难点： 加减法求解二元一次方程组求解步骤的总结. 教学过程 学科网（北京）股份有限公司 一、以历史为根 通过运筹帷幄引出算筹，介绍算筹的表示数的方法，特别强调多位数的表示和负数的表 示，并举例深化学生理解。 通过算筹图，将算筹表示数与二元一次方程结合起来，介绍算筹图如何表示二元一次方 程，并让学生进行适当的练习得出第二个方程，从而引出本节课的主要知识----解二元一次 方程组。 【设计意图】本环节以中华优秀传统的数学文化--算筹为背景，让学生在感知传统文化 的基础上，顺利引导至本节课要用的二元一次方程组，达到增强民族自豪感，提升数学核心 素养的目的。 二、以课堂为干 ( ì 3 x + 5 y = 21 ) ( 〈 ) ( î 2 x - 5 y = - 11 )我们一起来看看同学们是怎么做的？ 小明：把②变形得 x ，代入① ，不就消去 x 了！PPT 展示小明的解法，并让说 明用到的具体方法是代入消元法。 【设计意图】小明的想法利用到了上节课学习的导入消元法求解二元一次方程组，在学 生能力范围之内，学生可以完成，故此部分让学生自行说明。 小亮：把②变形得5y 2x11 ，可以直接代入①呀！PPT 展示小亮的解法，注意到小 亮是观察到两个方程中均含有 5y，所以用到了整体代入消元法。 【设计意图】小强的想法具有一定的创新性，虽没有按照代入消元法的步骤一步一步求 解，但是这种想法具有创新性，适当鼓励。 通过提问：还有没有别的方法也可以实现消元呢？ 问题 1：观察以上两个方程的系数，有什么特点呢？y 的系数只有符号不同。 问题 2：如何才能实现消元呢？依据是什么？ 引导至此学生可以想到将两式相加可以实现消元，让学生自行完成。 小丽：可以相加，依据是等式的基本性质，即：等式两边同时加或者减去同一个数或式子， 等式仍然成立 ①式左边+②式左边=①式右边+②式右边 两式相加可得 : (3x + 5y)+ (2x - 5y) = 21+ (- 11) 化简可得 : 5x = 10 x = 2 将x = 2代入① ，得6+ 5y = 21 y = 3 ( 所以方程组 〈 ì 3 x + 5 y = 21 的解是 〈 ì x = 2 )î2x - 5y = - 11 îy = 3 ( 两 式 相加可以解二元一次方程组，此时提出算筹图也可以解释加减消元法，教师进行适 当 的 引导，让学生对这种新的方法有更深的理解。 【设 计 意图】教师进行适当的引导，让学生发现两个二元一次方程的 y 的系数互为相反 数 ， 互为相反数的两数之和为 0，从而想到将两式相加消元。在利用算筹图进行适当的引导 解 释 ，加深学生理解，前后呼应。 ì 2 x - 5 y = 7, ) ( 例 1 ： 〈 ) ( î 2 x + 3 y = - 1 问 题 1：这个方程组的系数有什么样的特点？没有互为相反数的项，只有系数相同的项。 问题 2：如何才能实现消元？相减可以消去 x 。 教师两个方程呈现在 PPT 上，让学生观察得出，何时用相加消元，何时相减消元。最 后 得出：当 二 元一次方程组的两个方程中，同一未知数的系数互为相反数时，相加消元； 同一 未 知数的系数相同时，相减消元. 【设 计 意图】通过两个各具特点的方程组，让学生在探究的过程中顺利得到直接加减消 元法 的重点，在这个过程中，注重对学生的引导，引导到位后，大胆放手让学生自行完成。 )通过两式相加 (减) 消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元 法，简称加减法. 【设计意图】通过两个方程了解相加、相减可以消元法之后，顺势提出加减消元的概念 ( ì 4 x - 5 y = 3 ， ) ( 例 2 ： 〈 ) ( î 2 x + 3 y = 7. )问题 1：这个二元一次方程组与前两个方程组相比有怎样的不同呢？能否直接使用加减 法？系数既不相同，也不互为相反数。不能直接使用加减消元法。 问题 2：能否化成同一未知数的系数相同或互为相反数呢？ 观察得到，x 的系数存在倍数关系，我们可以利用等式的基本性质将x 的系数化为相同， 再利用加减法实现消元。只需找到 y 系数的最小公倍数，3 与 5 的最小公倍数是 15，根据等 式的基本性质，方程①两边同时乘以 3，得到 12x-15y=9，方程②两边同时乘以 5，得到 10x+15y=35,此时 y 的系数就互为相反数. 【设计意图】一步一步的题型深入使得学生可以理解对于系数既不相同，也不互为相反 数的方程的处理方式。特别是添加了对一个方程进行变形，进而使用加减消元法进行消元的 过程。 提出问题：消去哪个未知数更简便呢？消 x 顺势归纳出针对系数既不相同，也不互为相反数的二元一次方程组的处理步骤: 1.选取最小公倍数较小的未知数进行消元； 2.将这个未知数两个系数都化为的最小公倍数； 3.直接使用加减法消元。 针对二元一次方程组，我国古代数学典籍《九章算术》中就曾提出“直除法” ，魏晋时 期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，提出了“互乘对减消元法” ，这和我们通过找最小 公倍数来构造系数相同或互为相反数的思路是相同的！ 【设计意图】通过对系数既不相同也不互为相反数的二元一次方程组的处理步骤的总结， 让学生能够熟练运用加减消元法解方程。并对我国古代加减消元法的来历进行简单介绍，使 学生充分了解我国数学史。 三、以应用为叶 (1) 写出这两行算筹图代表的一个二元一次方程组？ (2) 请同学们尝试着解这个方程组. 展示学生的两种做法，提出下列问题： 对于不同的二元一次方程组，加减消元法和代入消元法选择哪种方法相对较简便呢？ 1.在方程组中，某一未知数的系数为 1 或者-1 时，优先采用代入消元法； 2.在方程组中，同一未知数的系数相同或互为相反数时，优先采用加减消元法； 3.方程组的系数如不含以上特点，往往进行转化，再利用加减消元法去解. 四、以总结为果 1.解二元一次方程组有哪些方法？ 代入法和加减法。 2.怎样利用加减法解二元一次方程组？ 当二元一次方程组中的两个方程的同一未知数的系数相同或互为相反数时，可以直接使 用加减消元法。当同一未知数的系数既不相同，也不相反时，我们需要利用等式的基本性质 将其进行变形，化为系数相同或相反时，再使用加减消元法。 3.本节课我们用到那些数学思想呢？ 通过将二元一次方程组化为一元一次方程，这是消元的数学思想；消元和同一未知数系 数化为相同或相反的过程，都实现了从未知到已知，这是转化与化归的数学思想。 五、以作业为仓 1.对于 (1) 〈 和 (2)〈 分别用哪种消元法较为简便？并书写 解方程组的过程； (必做) 2.请以算筹与加减消元法为主题写一篇小随笔. (选做) 六、板书设计 (略) $$