7.4平行线的性质 教学设计 2024—-2025学年北师大版数学八年级上册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 八年级 学期 秋季 课题 7.4 平行线的性质 教科书 书 名：义务教育教科书 数学 八年级 上册 出版社：北京师范大学出版社 教学目标 1.掌握平行线的性质定理，会证明“两直线平行，内错角相等(或同旁内角互补)”； 了解平行于同一条直线的两条直线平行。 2.了解性质定理与判定定理的联系，初步感受互逆的思维过程。 3.进一步理解证明的步骤、格式和方法，发展演绎推理能力。 教学重难点 教学重点： 理解和简单应用本节课中的三个定理。 教学难点： 运用公理、定理进行简单的推理，以及用几何语言进行表述。 教学过程 一、过渡引导 上节课我们通过推理证明了平行线的判定定理，知道它们的条件是角的大小 关系，其结论是两直线平行。如果我们把平行线的判定定理的条件和结论互换， 那么得到的命题是真命题吗？ 这节课我们就来研究“平行线的性质”。 问题： 平行线的判定方法是什么？ 两条直线被第三条直线所截， 1. 同位角相等 2. 内错角相等 两直线平行 3. 同旁内角互补 思考：反过来，如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角各有什么关 系呢? 学科网（北京）股份有限公司 二、新知探究 ( 一) 问题 1：根据“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等” ，你能 作出相关的图形吗？ 鼓励学生完成以下问题： (1) 找出命题的条件和结论； (2) 结合图形写出已知、求证。 教师引导学生阅读学习教材的证明方法。 总结归纳性质 1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成： 两直线平行，同位角相等. 应用格式： ∵ a∥b (已知) ， ∴ ∠1 = ∠2 (两直线平行，同位角相等) . (二) 议一议：利用上述性质，你能证明哪些熟悉的结论？ (两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.) 性质 2 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等 (1) 学生根据命题画出图形； (2) 学生结合图形写出已知、求证； 已知：直线 a∥b， ∠1 和∠2 是 直线 a，b 被直线 c 截得的内错角. 求证： ∠1 = ∠2. (3) 教师分析引导：因为∠1 和∠3 是对顶角，要证明∠1 = ∠2，只要证明 ∠2 = ∠3 即可，而∠2和∠3 是同位角，根据性质 1 得证。 (4) 学生完成证明过程。 证明： ∵ a∥b (已知)， ∴ ∠2＝∠3 (两条直线平行，同位角相等). ∵ ∠1＝∠3 (对顶角相等)， ∴ ∠1＝∠2 (等量代换). 性质 3 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。 (1) 学生根据命题画出图形； (2) 学生结合图形写出已知、求证； 已知：直线 a∥b， ∠1 和∠2 是直 线 a，b 被直线 c 截得的同旁内角. 求证： ∠1 +∠2 = 180° (3) 学生完成证明过程。 证明： ∵ a∥b (已知)， ∴ ∠2 = ∠3 (两条直线平行，同位角相等). ∵ ∠1 +∠3 = 180° (平角的定义)， ∴ ∠1 +∠2 = 180° (等量代换) . (三) 定理：平行于同一条直线的两条直线平行. 学生尝试完成： (1) 画图； (2) 写出已知、求证； (3) 证明过程。 已知：如图，直线 a，b，c 被直线 d 所截，且 a∥b，c∥b. 求证：a∥c. 证明： ∵ a∥b，c∥b， ∴ ∠1 = ∠2， ∠2 = ∠3. ∴ ∠1 = ∠3. ∴ a∥c. (四) 总结归纳平行线的性质 性质定理 1：两直线平行，同位角相等。 性质定理 2：两直线平行，内错角相等。 性质定理 3：两直线平行，同旁内角互补。 (五) 归纳总结证明一个命题的一般步骤 (1) 弄清题设和结论； (2) 根据题意画出相应的图形； (3) 根据题设和结论写出已知，求证； (4) 分析证明思路，写出证明过程。 三、典例精析 例 1 如图，已知四边形 ABCD 中，AB∥CD，AD∥BC，试问∠A 与∠C，∠B 与 ∠D 的大小关系如何？ 解： ∠A = ∠C， ∠B = ∠D. 理由： ∵ AB∥CD，AD∥BC (已知)， ∴ ∠A +∠D = 180°， ∠C +∠D = 180° (两直线平行，同旁内角互补). ∴ ∠A = ∠C (同角的补角相等). 同理， ∠B = ∠D. 例 2 已知：如图，AB∥CD， ∠B = ∠D. 求证：AD∥BC. (本题引导学生用多种方法解答) 证法一： ∵ AB∥DC (已知) ， ∴ ∠B +∠C = 180° (两直线平行，同旁内角互补) . ∵ ∠B = ∠D (已知) ， ∴ ∠D +∠C = 180° (等量代换) . ∴ AD∥BC (同旁内角互补，两直线平行) . 证法二： 如图，延长 BA (构造一组同位角) ∵AB∥CD (已知) ∴ ∠1 = ∠D (两直线平行，内错角相等) ∵ ∠B = ∠D (已知) ∴ ∠1 = ∠B (等量代换) ∴AD∥BC (同位角相等，两直线平行) 证法三： 如图，连接 BD (构造两组内错角). ∵ AB∥CD (已知)， ∴ ∠1 = ∠4 (两直线平行，内错角相等). ∵ ∠ABC = ∠ADC (已知)， ∴ ∠ABC－∠1 = ∠ADC－∠4 (等式的性质). ∴ ∠2 = ∠3. ∴ AD∥BC (内错角相等，两直线平行) 四、平行线的判定与性质的关系 ( 性 质 ) ( 两直线平 行 ) ( 判定 )同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 五、课堂练习 1. (1) 有这样一题：如图 1，若 AB∥DE，AC∥DF，试说明∠A = ∠D. 请 补全下面的解答过程，括号内填写依据. 解： ∵ AB∥DE ( )， ∴ ∠A =_______ ( ). ∵ AC∥DF ( ) ， ∴ ∠D =______ ( ). ∴ ∠A = ∠D ( ). 1. (2) 有这样一题：如图 2，若 AB∥DE，AC∥DF， 试说明∠A +∠D = 180°. 请补全下面的解答过程， 括号内填写依据. 解： ∵ AB∥DE ( )， ∴ ∠A = ______ ( ). ∵AC∥DF ( ) ， ∴ ∠D + _______=180° ( ). ∴ ∠A +∠D=180° ( ). 2. 如图，已知平行线 AB、CD 被直线 AE 所截. (1) 从∠1 = 110° (2) 从∠1 = 110° (3) 从∠1 = 110° 可以知道∠2 是多少度？为什么？ 可以知道∠3 是多少度？为什么？ 可以知道∠4 是多少度？为什么？ 3. 如图，一条公路两次拐弯前后两条路互相平行. 第一次拐的∠B 是 142°，第 二次拐的∠C 是多少度？ 为什么？ 六、课堂小结 平行线的性质和判定的关系 $$