二年(2023-2024年)中考数学真题、模拟题分项汇编(山东专用) 专题10 一次函数及其图象与性质

二年（2023-2024）中考数学真题、模拟题分项汇编（山东专用） 专题10 一次函数及其图象与性质 【基本知识梳理】 ---知识点1：正比例函数和一次函数的概念 1、一般地，如果（k，b是常数，k0），那么y叫做x的一次函数． 特别地，当一次函数中的b为0时，（k为常数，k0）．这时，y叫做x的正比例函数． 基本方法归纳：判断一个函数是否是一次函数关键是看它的k是否不为0和自变量指数是否为1；而要判断是否为正比例函数还要在一次函数基础上加上b=0这个条件． 注意问题归纳：当k及自变量x的指数含字母参数时，要同时考虑k0及指数为1． ---知识点2：一次函数的图像 基础知识归纳：所有一次函数的图像都是一条直线；一次函数的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线． k＞0，b＞0时，图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大． k＞0，b＜0时，图像经过一、三、四象限，y随x的增大而增大． k＜0，b＞0时，图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小． k＜0，b＜0时，图像经过二、三、四象限，y随x的增大而减小． 当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例． 基本方法归纳：一次函数是由正比例函数上下平移得到的，要判断一次函数经过的象限，先由k的正负判断是过一、三象限还是过二、四象限，再由b的正负得向上平移还是向下平移，从而得出所过象限．而增减性只由k的正负决定，与b的取值无关． 注意问题归纳：准确抓住k、b的正负与一次函数图象的关系是解答关键． ---知识点3：正比例函数和一次函数解析式的确定 基础知识归纳：确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k．确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法． 基本方法归纳：求正比例函数解析式只需一个点的坐标，而求一次函数解析式需要两个点的坐标． 注意问题归纳：数形结合思想，将线段长度，图形面积与点的坐标联系起来是关键，同时注意坐标与线段间的转化时符号的处理． ---知识点4：一次函数与方程(组)及不等式(组) 方程(组)的解与相应函数的交点坐标是相对应的。找到函数的交点坐标，也就找到了对应方程(组)的解，反之一样。对于不等式(组)的解集也可以通过其对应的函数图象来解决。 考点1 一次函数的图象与性质 【例1】（2023·山东临沂中考真题）对于某个一次函数，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（ ） A. B. C. D. 【变式训练1】（2024·山东临沂模拟）在同一平面直角坐标系中，函数和（a为常数，）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2024·山东聊城三模）关于一次函数，下列说法错误的是（    ） A．图象经过第一、二、四象限 B．图象与x轴交于点 C．当时， D．函数值y随自变量x的增大而减小 【变式训练3】（2024·山东临沂押题预测）在平面直角坐标系中，直线经过点，和，那么，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4】（2024·山东济宁北湖二模）已知反比例函数同一象限内的图象上有两个点，，且满足，则直线不经过第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【变式训练5】（2024·山东聊城高唐一模）在平面直角坐标系中，线段的端点坐标为，，若直线与线段总有交点，则的取值范围是 ． 考点2 一次函数解析式的确定 【例1】（2023·山东威海中考真题）一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系如图所示．当时，与之间的函数表达式为；当时，与之间的函数表达式为___________． 【变式训练1】（2024·山东潍坊中考真题）请写出同时满足以下两个条件的一个函数： ． ①随着的增大而减小；②函数图象与轴正半轴相交． 【变式训练2】（2024·山东淄博博山一模）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（　　）    A． B． C． D． 【变式训练3】（2023·山东青岛模拟）已知过点B（1，0）的直线l1与直线l2：y＝2x+4相交于点P（﹣1，a）． （1）求直线l1的解析式； （2）求四边形PAOC的面积． 考点3 一次函数的平移 【例3】（2024·山东德州临邑二模）若将直线向下平移3个单位长度后得到直线 ，则下列关于直线 说法正确的是（    ） A．经过第一、二、四象限 B．与轴交于 C．与轴交于 D．随的增大而增大 【变式训练1】（2024·山东聊城阳谷模拟）已知直线与直线平行，且经过点，那么该直线的表达式是 . 【变式训练2】（2024·山东泰安新泰二模）将一次函数向左平移个单位后得到一个正比例函数，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式训练3】（2024·山东聊城莘县部分学校一模）已知直线与直线平行，且将该直线向下平移5个单位后得到直线，则 ． 【变式训练4】（2024·山东枣庄滕州校级模拟）如图，△ABC的顶点，，点C在y轴的正半轴上，，将△ABC向右平移得到，若经过点C，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 考点4 一次函数与方程（组）、不等式的关系 【例1】（2024·山东潍坊中考模拟三）（多选）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．小星根据图象得到的下列结论中正确的是（    ） A．在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小 B．方程组的解为 C．方程的解为 D．当时， 【变式训练1】（2024·山东烟台芝罘区一模）如图，已知函数与函数的图象相交于，则不等式的解集是 ． 【变式训练2】（2024·山东临沂兰陵三模）如图，直线经过点，当时，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】（2024·山东德州庆云一模）已知直线与直线交于点，若点的横坐标为3，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4】（2024·山东济南中考模拟）如图，直线与直线交于点，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5】（2024·山东淄博高青一模）在同一平面直角坐标系中，函数 和 交于点 ，则点 的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 考点5 一次函数与几何综合问题 【例1】（2024·山东临沂兰陵一模）探究：如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，点P，经过点P的直线交x轴的正半轴于点B，且． (1)如图①，求点A的坐标及直线的函数表达式； (2)如图②，取的中点，过点作轴，交直线于点，连接，求的面积； (3)在（2）的条件下，延长交直线于点，如图③，若为轴上一点，且以，，为顶点的三角形是等腰三角形，求点C的坐标， 【变式训练1】（2023·山东枣庄校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝－x+3与过点A（－3，0）的直线l2交于点P（－1，m），与x轴交于点B． （1）求直线l2的函数表达式； （2）点M在直线l2上，MN // y轴，交直线l1于点N，若MN＝AB，求点M的坐标． 【变式训练2】（2024·山东济南模拟）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点A在x轴上，，，且、，交y轴于M， (1)求点C的坐标； (2)在x轴上有一动点P，当的值最小时，求此时P的坐标． (3)点N为x轴上一动点，若，求点N的坐标； 【变式训练3】（2024·山东淄博模拟预测）如图：在平面直角坐标系中，直线与x，y轴分别交于点A，点B，已知点．    (1)求出点A，B的坐标； (2)点P是直线上的一个动点，且，求点P的坐标； (3)如图2，过点C作y轴的平行线m，在直线m上是否存在点Q，使得是等腰直角三角形？若存在请直接写出符合条件的Q点坐标，若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二年（2023-2024）中考数学真题、模拟题分项汇编（山东专用） 专题10 一次函数及其图象与性质 【基本知识梳理】 ---知识点1：正比例函数和一次函数的概念 1、一般地，如果（k，b是常数，k0），那么y叫做x的一次函数． 特别地，当一次函数中的b为0时，（k为常数，k0）．这时，y叫做x的正比例函数． 基本方法归纳：判断一个函数是否是一次函数关键是看它的k是否不为0和自变量指数是否为1；而要判断是否为正比例函数还要在一次函数基础上加上b=0这个条件． 注意问题归纳：当k及自变量x的指数含字母参数时，要同时考虑k0及指数为1． ---知识点2：一次函数的图像 基础知识归纳：所有一次函数的图像都是一条直线；一次函数的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线． k＞0，b＞0时，图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大． k＞0，b＜0时，图像经过一、三、四象限，y随x的增大而增大． k＜0，b＞0时，图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小． k＜0，b＜0时，图像经过二、三、四象限，y随x的增大而减小． 当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例． 基本方法归纳：一次函数是由正比例函数上下平移得到的，要判断一次函数经过的象限，先由k的正负判断是过一、三象限还是过二、四象限，再由b的正负得向上平移还是向下平移，从而得出所过象限．而增减性只由k的正负决定，与b的取值无关． 注意问题归纳：准确抓住k、b的正负与一次函数图象的关系是解答关键． ---知识点3：正比例函数和一次函数解析式的确定 基础知识归纳：确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k．确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法． 基本方法归纳：求正比例函数解析式只需一个点的坐标，而求一次函数解析式需要两个点的坐标． 注意问题归纳：数形结合思想，将线段长度，图形面积与点的坐标联系起来是关键，同时注意坐标与线段间的转化时符号的处理． ---知识点4：一次函数与方程(组)及不等式(组) 方程(组)的解与相应函数的交点坐标是相对应的。找到函数的交点坐标，也就找到了对应方程(组)的解，反之一样。对于不等式(组)的解集也可以通过其对应的函数图象来解决。 考点1 一次函数的图象与性质 【例1】（2023·山东临沂中考真题）对于某个一次函数，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据一次函数的性质确定k，b的符号，再确定一次函数系数的符号，判断出函数图象所经过的象限． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵一次函数的图象经过点， ∴，则， ∴，故选项C错误，符合题意； ∵， ∴，故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，解决此类题目的关键是确定k、b的正负． 【变式训练1】（2024·山东临沂模拟）在同一平面直角坐标系中，函数和（a为常数，）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是正比例函数与一次函数的图象共存的问题，根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数和的图象经过哪几个象限，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴函数是经过原点的直线，经过第一、三象限， 函数是经过第一、二、四象限的直线， 故选：B． 【变式训练2】（2024·山东聊城三模）关于一次函数，下列说法错误的是（    ） A．图象经过第一、二、四象限 B．图象与x轴交于点 C．当时， D．函数值y随自变量x的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象经过的象限、一次函数的性质，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．根据一次函数解析式中k、b的符号可判断选项A、D；令，求得，则可判断选项B；根据图象的升降可判断C，最后可确定错误的选项． 【详解】解：， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，且函数值y随自变量x的增大而减小； 故A、D两个选项正确； 令，得， 即图象与x轴交于点， 故选项B正确； 由于图象从左往右是下降的，故当时，， 故选项C错误； 故选：C． 【变式训练3】（2024·山东临沂押题预测）在平面直角坐标系中，直线经过点，和，那么，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求正比例函数关系式，求函数值等，求出关系式是解题的关键．本题也可以先判断正比例函数图象的性质，再比较即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， 即：，则， ∴函数关系式为． ∵点和点在该函数图象上， ∴，， ∴． 故选：B． 【变式训练4】（2024·山东济宁北湖二模）已知反比例函数同一象限内的图象上有两个点，，且满足，则直线不经过第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，一次函数的图象与性质，根据，，确定同一象限内y随x的增大而增大，进而得到，问题随之得解． 【详解】解：∵反比例函数同一象限内的图象上有两个点，，且满足， ∴同一象限内y随x的增大而增大， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴不经过第三象限， 故选：C． 【变式训练5】（2024·山东聊城高唐一模）在平面直角坐标系中，线段的端点坐标为，，若直线与线段总有交点，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据性质即可求解，熟练掌握一次函数的性质时解题的关键． 【详解】解：把代入得，，解得：， 把代入得，，解得， ∵直线与线段总有交点， ∴的取值范围是或， 故答案为：或． 考点2 一次函数解析式的确定 【例1】（2023·山东威海中考真题）一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系如图所示．当时，与之间的函数表达式为；当时，与之间的函数表达式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先把代入，求得，再设当时，与之间的函数表达式为，然后把，分别代入，得，求解得，即可求解． 【详解】解：把代入，得 ， 设当时，与之间的函数表达式为， 把，分别代入，得 ，解得：， ∴与之间的函数表达式为 故答案为：． 【点睛】本题考查函数的图象，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 【变式训练1】（2024·山东潍坊中考真题）请写出同时满足以下两个条件的一个函数： ． ①随着的增大而减小；②函数图象与轴正半轴相交． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数中的随着的增大而减小可得，再根据函数图象与轴正半轴相交可得，据此即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵随着的增大而减小， ∴一次函数的比例系数， 又∵函数图象与轴正半轴相交， ∴， ∴同时满足以下两个条件的一次函数可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式训练2】（2024·山东淄博博山一模）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求解一次函数即可得解． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，可得“马”所在的点，    设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为， ∵过点和， ∴， 解得， ∴经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为， 故选A． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法式解题的关键 【变式训练3】（2023·山东青岛模拟）已知过点B（1，0）的直线l1与直线l2：y＝2x+4相交于点P（﹣1，a）． （1）求直线l1的解析式； （2）求四边形PAOC的面积． 【分析】（1）由点P（﹣1，a）在直线l2上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出a值，再利用点P的坐标和点B的坐标可求直线l1的解析式； （2）根据面积差可得结论． 【解答】解：（1）∵点P（﹣1，a）在直线l2：y＝2x+4上， ∴2×（﹣1）+4＝a，即a＝2， 则P的坐标为（﹣1，2）， 设直线l1的解析式为：y＝kx+b（k≠0）， 那么， 解得：． ∴l1的解析式为：y＝﹣x+1． （2）∵直线l1与y轴相交于点C， ∴C的坐标为（0，1）， 又∵直线l2与x轴相交于点A， ∴A点的坐标为（﹣2，0），则AB＝3， 而S四边形PAOC＝S△PAB﹣S△BOC， ∴S四边形PAOC＝． 【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征和三角形的面积，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．并利用数形结合的思想解决问题． 考点3 一次函数的平移 【例3】（2024·山东德州临邑二模）若将直线向下平移3个单位长度后得到直线 ，则下列关于直线 说法正确的是（    ） A．经过第一、二、四象限 B．与轴交于 C．与轴交于 D．随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的平移，一次函数的图象与性质．将直线向下平移3个单位长度后得到直线，对于直线经过一、三、四象限，与轴交于，与轴交于，随的增大而增大，逐项判断即可． 【详解】解：将直线向下平移3个单位长度后得到直线 A.直线经过一、三、四象限，此项不符合题意； B.直线与轴交于，此项不符合题意； C.直线与轴交于，此项不符合题意； D.直线中，故随的增大而增大，此项符合题意． 故选：D． 【变式训练1】（2024·山东聊城阳谷模拟）已知直线与直线平行，且经过点，那么该直线的表达式是 . 【答案】 【分析】由两直线平行可得出，再根据直线过点得出，此题得解． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴， 又∵直线经过点， ∴， ∴该直线的表达式是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了两条直线平行的问题，熟知两条直线平行时k相等是解题的关键． 【变式训练2】（2024·山东泰安新泰二模）将一次函数向左平移个单位后得到一个正比例函数，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换及正比例函数的定义，熟知函数图象“左加右减，上加下减”的平移法则是解答此题的关键．根据“左加右减”的原则求解即可． 【详解】解：将一次函数的图象向左平移个单位后得到一个正比例函数， 即， ， 则m的值为2． 故选：A． 【变式训练3】（2024·山东聊城莘县部分学校一模）已知直线与直线平行，且将该直线向下平移5个单位后得到直线，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数图象与系数的关系，两条直线相交或平行问题以及一次函数图象与几何变换，若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．利用一次函数图象的平移规律“上加下减”和两直线相互平行时的值相同，得出即可． 【详解】解：直线与直线平行． ， ∵将直线向下平移5个单位后得到直线，将直线向下平移5个单位后得到直线， ∴，． ∴． ∴． 故答案为：． 【变式训练4】（2024·山东枣庄滕州校级模拟）如图，△ABC的顶点，，点C在y轴的正半轴上，，将△ABC向右平移得到，若经过点C，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形变化−平移，求一次函数的解析式，勾股定理，理解题意，灵活运用平移的性质是解决本题的关键．首先可求得直线的解析式，利用勾股定理求出，求出直线的解析式，求出点的坐标，可得结论． 【详解】解：设直线的解析式为， 把，分别代入解析式，得， 解得， ∴直线的解析式为， ，， ， ，， ， ， ， ∴直线的解析式为， 令，则， ， ，， ， 故选：C． 考点4 一次函数与方程（组）、不等式的关系 【例1】（2024·山东潍坊中考模拟三）（多选）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．小星根据图象得到的下列结论中正确的是（    ） A．在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小 B．方程组的解为 C．方程的解为 D．当时， 【答案】ABC 【分析】本题考查一次函数的性质，一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的解，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 【详解】A．由函数图象可知，直线从左至右呈下降趋势，所以y的值随着x值的增大而减小，故A正确； B．由函数图象可知，一次函数与的图象交点坐标为，所以方程组的解为，故B正确； C．由函数图象可知，直线与x轴的交点坐标为，所以方程的解为，故C正确； D．由函数图象可知，直线过点，所以当时，，故D错误； 故选：ABC． 【变式训练1】（2024·山东烟台芝罘区一模）如图，已知函数与函数的图象相交于，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，能利用函数图象直接得出不等式的取值范围是解题的关键．利用函数图象写出直线不在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解∶结合图象得， 当时， 直线不在直线上方， ∴不等式的解集是， 故答案为∶ ． 【变式训练2】（2024·山东临沂兰陵三模）如图，直线经过点，当时，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，先画出的图象，再结合图象即可得出答案． 【详解】解：的图象如图所示， ， ∵直线与直线交于点， ∴由图象可得，当时，的取值范围为， 故选：C． 【变式训练3】（2024·山东德州庆云一模）已知直线与直线交于点，若点的横坐标为3，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．根据交点的横坐标为3，可得，得到，代入解不等式即可． 【详解】解：∵直线与直线交于点，若点的横坐标为3， ∴当时，， 整理得到， ∴代入得， 解得， 故选：B． 【变式训练4】（2024·山东济南中考模拟）如图，直线与直线交于点，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程和一次函数的关系，两直线的交点就是两直线解析式所组成方程组的解． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴方程组的解为． 即：方程组的解为． 故选：A． 【变式训练5】（2024·山东淄博高青一模）在同一平面直角坐标系中，函数 和 交于点 ，则点 的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查两条直线的交点问题，先联立方程组，然后两式相加消去，即可求出y，从而得解，掌握求两直线交点的方法是解题的关键． 【详解】解：联立方程组得：， 得：， 解得：， 即点A的纵坐标为2， 故选：A． 考点5 一次函数与几何综合问题 【例1】（2024·山东临沂兰陵一模）探究：如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，点P，经过点P的直线交x轴的正半轴于点B，且． (1)如图①，求点A的坐标及直线的函数表达式； (2)如图②，取的中点，过点作轴，交直线于点，连接，求的面积； (3)在（2）的条件下，延长交直线于点，如图③，若为轴上一点，且以，，为顶点的三角形是等腰三角形，求点C的坐标， 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）当时，列出等式即可求解；当或时，同理可解． 【详解】（1）解：对于，当时，， 令， 则，即点、点， ，则，点， 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 则直线的表达式为：； （2）点是的中点，则点， 当， 解得：，即点，则， 则的面积； （3）当时，则， 即点， 设点， 由点、、的坐标得，，，， 当时， 则， 解得：， 即点； 当或时， 则或， 解得：（舍去）或0或， 即点的坐标为：或； 综上，点的坐标为：或或． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，两点之间距离公式，等腰三角形的性质、待定系数法求函数表达式，分类求解是解题的关键． 【变式训练1】（2023·山东枣庄校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝－x+3与过点A（－3，0）的直线l2交于点P（－1，m），与x轴交于点B． （1）求直线l2的函数表达式； （2）点M在直线l2上，MN // y轴，交直线l1于点N，若MN＝AB，求点M的坐标． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）把点的坐标代入，求出的值，然后利用待定系数法求出直线的解析式； （2）由已知条件得出、两点的横坐标，利用两点间距离公式求出的坐标． 【详解】解：（1）直线与直线交于点， ， 即， 又过点和点， 设直线的解析式为， ， 解得 直线的解析式为； （2）在中，令，得， ， ， 设， 由轴，得， ， 即：或， 解得或， 或． 【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，求得交点坐标是解题的关键． 【变式训练2】（2024·山东济南模拟）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点A在x轴上，，，且、，交y轴于M， (1)求点C的坐标； (2)在x轴上有一动点P，当的值最小时，求此时P的坐标． (3)点N为x轴上一动点，若，求点N的坐标； 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）过点C、B作轴，轴，垂足点D、E．构造一线三直角全等模型，结合线段与坐标的关系，计算解答即可． （2）运用轴对称原理，构造轴对称计算的最小值即可． （3）设，则，根据题意，得，结合，建立等式计算即可． 【详解】（1）过点C、B作轴，轴，垂足点D、E． ，， ∴， ∴， ∵、， ∴，， ∴，， ∴，， ∵点C在第二象限， 故． （2）作B关于x轴的对称点，连接交x轴点P，此时，最小， ∵， ∴， 设直线的解析式为，根据题意，得 ， 解得， 故解析式为， 故； 设直线的解析式为，根据题意，得 ， 解得， 故解析式为， 当时，， 故． （3）∵、， 设，则，， ∴， ∵，，且、， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴或， 故或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，一线三直角全等模型，线段和最小计算，两点间距离公式的应用，绝对值的应用，熟练掌握待定系数法，一线三直角全等模型，线段和最小计算是解题的关键． 【变式训练3】（2024·山东淄博模拟预测）如图：在平面直角坐标系中，直线与x，y轴分别交于点A，点B，已知点．    (1)求出点A，B的坐标； (2)点P是直线上的一个动点，且，求点P的坐标； (3)如图2，过点C作y轴的平行线m，在直线m上是否存在点Q，使得是等腰直角三角形？若存在请直接写出符合条件的Q点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或； (3)Q点坐标为：或． 【分析】（1）由直线的解析式列方程即可得到结论； （2）设，分三种情况，根据面积公式列方程即可得到结论； （3）设， 可得，，， 分三种不同的情况列出方程即可得到结论． 【详解】（1）解：令，解得， ∴， 令，， ∴； （2）①如图，当P点在线段上，设，    ∵，，， ∴，， ∵， ∴ ， 即， 解得， ∴； ②当P在线段的延长线上时，，不合题意． ③如图2，当点P在线段的延长线上时，    设， ∵， ∴，即 ， 解得， ∴， 综上，或； （3）存在，Q点坐标为：或． 理由如下： ∵过点作平行于y轴的直线，点Q在直线m上， ∴设， ∵，， ∴， ， ， 故当，即， 解得：或， 当时，，，，不是直角三角形， 当时，，，，是直角三角形， ∴， 故当，即， 解得：， 当时，，，，不是直角三角形， 当时，，，，是直角三角形， ∴， 当，即， 解得：， ∵在直线上，故舍去． ∴Q点坐标为：或． 【点睛】此题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式，等腰直角三角形的性质，熟练掌握方程的思想方法及分类讨论思想是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$