22.1.1 二次函数 课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册

22.1.1二次函数 第二十二章 二次函数 观察都匀绿博园音乐喷泉视频有时会形成一条条曲线．这些曲线能否用函数关系式表示？ 视频引入 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 一般地，形如y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数.当b=0时，一次函数y=kx就叫做正比例函数. ax2+bx+c=0 (a≠0) 复习巩固 1.什么是函数? 2.什么是一次函数？正比例函数？ 3.一元二次方程的一般形式是什么？ 活动一：情境创设 我校要举行足球联赛，一共有n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的总场次数m与球队数n有什么关系？ 填空： 每个球队要与其他 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛时同一场比赛，所以比赛的场次数 . n-1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为 . y=6x2 活动二：问题再现 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎样表示？ 填空： 这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是 件,再经过一年后的产量是 件,即两年后的产量y=________. 20(1+x) 20(1+x)2 20(1+x)2 答： y=20x2+40x+20； 活动二：问题再现 判断二次函数的条件： （1）等号左边是因变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a,b,c为常数，且二次项系数a≠ 0; （3）化简后等式的右边自变量x的最高次数为 2。 函数①②③有什么共同点? y=6x2 y=20x2+40x+20 二次函数的定义： 一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做y关于x的二次函数，其中x是自变量，y是因变量。a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项. 活动三：形成概念 不一定是，缺少a≠0的条件. 不是，等式右边是分式. 不是，x的最高次数是3. 典例精析 例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？（x是自变量） ① y=ax2+bx+c ② y=3-2x² ③ y=x2 ⑤y=x2+x3+25 ⑥ y=(x+3)2-x2 化简为 y=6x+9， 不是 方法归纳 判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有一些特殊形式如y=ax2，y=ax2+bx，y=ax2+c等. 典例精析 例2 若函数 是二次函数， 求m的值. 解： 由题意得 ∴m=3 本题易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而得出m=-1的错误答案，需要引起同学们的重视. 针对训练 一个二次函数 (1)求k的值； (2)当x=0.5时，y的值是多少？ 解：(1)由题意，得 想一想 自变量的取值范围是 . 想一想 自变量的取值范围是 . 问题 矩形绿地的长为xm，面积为ym2. (1)若该矩形绿地的长为宽的2倍，则宽为 m，y与x之间的 关系式为__________. (2)若该矩形绿地的长比宽多6m，则宽为 m，y与x之间的 关系式为___________. 0.5x y=0.5x2 x＞0 (x-6) y=x(x-6) x＞6 探索求知 根据实际问题列二次函数关系式 例3 如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，求菜园的面积y(单位：平方米)与x(单位：米)的函数关系式. 解：∵AB边长为x米. 典例精析 A B C D 在根据实际问题列二次函数关系式时，要注意自变量的取值范围. 例4 某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件.若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式. ∴y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)] 解：∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一 个档次，每件利润加2元，但一天产量减少5件， ∴第x档次，提高了(x－1)档，利润增加了2(x－1)元，产量 减少了5(x－1)件． 即y＝－10x2＋180x＋400(其中x是正整数，且1≤x≤10) 典例精析 1.下列函数是二次函数的是 ( ) 2.函数y=(m-n)x2+mx+n是二次函数的条件是( ) A.m，n是常数，且m≠0 B.m，n是常数，且n≠0 C.m，n是常数，且m≠n D.m，n为任何实数 C C 课堂练习 4.已知函数y=3x2m-1－5. ① 当m=＿＿时，y是关于x的一次函数； ② 当m=＿＿时，y是关于x的二次函数. 1 3.把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____， 一次项系数为______，常数项为 . -3x2 -16 12 课堂练习 解：(1)由题意，得 (2)当a=-1时，函数关系式为 (3)将x=-2代入函数关系式中，有 课堂练习 (1)求a的值； (2)求函数关系式； (3)当x=-2时，y的值是多少？ 6.写出下列各函数关系式： (1)写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系； (2)菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S(cm2)与 一对角线长x(cm)之间的函数关系． 课堂练习 7.某商店经销一种销售成本为每千克40元的商品，根据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种商品的销售情况，请解答下列问题： (1)当销售单价为每千克55元时，计算月销售量和销售利润分别为多少？ (2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式. （不必写出自变量x的取值范围） 课堂练习 (1)450kg,6750元 8.矩形的周长为16cm，它的一边长为x(cm)，面积为y(cm2). (1)写出y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围； (2)当x=3时，求矩形的面积. 解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8) (2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 (cm2) 课堂练习 课堂小结 作业设计 必做：课本41页1、2题 选做： （1）求a的值. （2）求函数关系式. （3）当x=-2时，y的值是多少？ 若函数 是二次函数，求： 一切问题都可以转化为数学问题， 一切数学问题都可以转化为代数问题， 而一切代数问题又可以转化为函数问题， 因此，一旦解决了函数问题， 一切问题都将迎刃而解！ 共勉： ------(法)笛卡儿 [伟大的数学家、物理学家、哲学家、生理学家， 解析几何的创始人 ] 走进名家，乐享数学 Lavf57.62.100 $$