四川省泸州市龙马潭区2023-2024学年九年级上学期第三次月考数学试卷

2023-2024学年四川省泸州市龙马潭区九年级（上）第三次月考数学试卷 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．下列四个图形中，不是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（3，4） B．（3，﹣4） C．（4，﹣3） D．（﹣3，4） 3．已知圆的半径为3，一点到圆心的距离是5，则这点在（　　） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．都有可能 4．把抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（　　） A．y＝（x+1）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x+1）2﹣2 D．y＝（x﹣1）2﹣2 5．如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB＝45°，则∠AOD等于（　　） A．55° B．45° C．40° D．35° 6．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k＞﹣1 B．k＜1且k≠0 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0 7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝86°，则∠BCD的度数是（　　） A．86° B．94° C．107° D．137° 8．若正六边形外接圆的半径长为4，则它的边长等于（　　） A．4 B．2 C．2 D．4 9．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（　　） A．4 B．5 C．6 D．6 10．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝bx+a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 11．如图，在直线l上有相距7cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在（　　）秒时相切． A．3 B．3.5 C．3或4 D．3或3.5 12．已知二次函数y＝（x﹣a+1）（x﹣a﹣1）﹣2a﹣3（a为常数）的图象与x轴有交点，且当x＞3时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（　　） A．a≥﹣2 B．a＜3 C．﹣2≤a＜3 D．﹣2≤a≤3 二、填空题（共4题，每题3分，共12分） 13．分解因式：4﹣m2＝　 　． 14．抛物线y＝2（x+3）2+5的顶点坐标为 　 　． 15．设x1、x2是方程5x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则+的值为 　 　． 16．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝6，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连接AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为 　 　． 三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分 17．（6分）计算：． 18．（6分）化简：（ +1）÷． 19．（6分）如图，AC平分∠BAD，AB＝AD．求证：BC＝DC． 四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分 20．（7分）学完统计知识后，小明对同学们最近一周的睡眠情况进行随机抽样调查，得到他们每日平均睡眠时长t（单位：小时）的一组数据，将所得数据分为四组（A：t＜8，B：8≤t＜9，C：9≤t＜10，D：≥10），并绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题： （1）小明一共抽样调查了 　 　名同学在扇形统计图中，表示D组的扇形圆心角的度数为 　 　； （2）将条形统计图补充完整； （3）小明所在学校共有1400名学生，估计该校最近一周大约有多少名学生睡眠时长不足8小时？ 21．（7分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求： （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？ 五、本大题共4小题，每小题10分，共40分 22．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求a的取值范围； （2）若x1，x2满足，求a的值． 23．（10分）如图，点A是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，现要在B、C两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通．经测得∠ABC＝45°，∠ACB＝30°，问此公路是否会穿过森林公园？请通过计算进行说明． 24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，CD＝CB，AC，BD相交于点E，过点C作CF∥BD，CF与AB的延长线相交于点F，连接AD． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）若AB＝10，BC＝6，求AD的长． 25．（10分）如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（4，5），已知抛物线的顶点D的横坐标是1． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值． （3）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由； 2023-2024学年四川省泸州市龙马潭区九年级（上）第三次月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．【分析】根据中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、是中心对称图形．故错误； B、是中心对称图形．故错误； C、不是中心对称图形．故正确； D、是中心对称图形．故错误． 故选：C． 【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案． 【解答】解：点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是：（3，﹣4）． 故选：B． 【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键． 3．【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内． 【解答】解：∵点到圆心的距离5，大于圆的半径3， ∴点在圆外．故选C． 【点评】判断点与圆的位置关系，也就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系． 4．【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可． 【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣1，﹣2）． 可设新抛物线的解析式为：y＝（x﹣h）2+k， 代入得：y＝（x+1）2﹣2． 故选：C． 【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换以及一般式转化顶点式，正确将一般式转化为顶点式是解题关键． 5．【分析】本题旋转中心为点O，旋转方向为逆时针，观察对应点与旋转中心的连线的夹角∠BOD即为旋转角，利用角的和差关系求解． 【解答】解：根据旋转的性质可知，D和B为对应点，∠DOB为旋转角，即∠DOB＝80°， 所以∠AOD＝∠DOB﹣∠AOB＝80°﹣45°＝35°． 故选：D． 【点评】本题考查旋转两相等的性质：即对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等． 6．【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出不等式，且二次项系数不为0，即可求出k的范围． 【解答】解：∵一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝4+4k＞0，且k≠0， 解得：k＞﹣1且k≠0． 故选：D． 【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根． 7．【分析】根据圆周角定理可得∠A的度数，再根据圆内接四边形的对角互补可得∠BCD的度数． 【解答】解：∵∠BOD＝86°， ∴∠A＝43°， ∴∠BCD＝180°﹣43°＝137°， 故选：D． 【点评】此题主要考查了圆内接四边形和圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 8．【分析】根据正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，即可求解． 【解答】解：正六边形的中心角为360°÷6＝60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形， 故正六边形的外接圆半径等于4，则正六边形的边长是4． 故选：A． 【点评】此题主要考查了正多边形和圆，利用正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形得出是解题关键． 9．【分析】根据垂径定理求出BC，根据勾股定理求出OC即可． 【解答】解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点， ∴BC＝AC＝AB＝×16＝8， 在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC＝＝＝6， 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用；由垂径定理求出BC是解决问题的关键． 10．【分析】首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论分析，即可解决问题． 【解答】解：A、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，对称轴x＝﹣＜0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误． B、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误． C、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象开口向下，对称轴x＝﹣位于y轴的右侧，故符合题意， D、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误． 故选：C． 【点评】此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；解题的方法是首先根据其中一次函数图象确定a、b的符号，进而判断另一个函数的图象是否符合题意；解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、判断、解答． 11．【分析】根据切线的判定方法，当点O到AB的距离为1cm时，⊙O与AB相切，然后计算出圆向右移动的距离，然后计算出对应的时间． 【解答】解：当点O到AB的距离为1cm时，⊙O与AB相切， ∵开始时O点到AB的距离为7， ∴当圆向右移动7﹣1或7+1时，点O到AB的距离为1cm，此时⊙O与AB相切， ∴t＝＝3（s）或t＝＝4（s）， 即⊙O与直线AB在3秒或4秒时相切． 故选：C． 【点评】本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，当圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线与圆相切． 12．【分析】根据图象与x轴有交点，得出判别式△≥0，解得a≥﹣2；再求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当x＞3时，y随x的增大而增大，可得a≤3，从而得出答案． 【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣a+1）（x﹣a﹣1）﹣2a﹣3＝x2﹣2ax+a2﹣2a﹣4（a为常数）的图象与x轴有交点， ∴Δ＝（﹣2a）2﹣4×1×（a2﹣2a﹣4）≥0， 解得：a≥﹣2； ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a，抛物线开口向上，且当x＞3时，y随x的增大而增大， ∴a≤3， ∴实数a的取值范围是﹣2≤a≤3． 故选：D． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点和二次函数的图象与性质，掌握抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键． 二、填空题（共4题，每题3分，共12分） 13．【分析】原式利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式＝（2+m）（2﹣m）， 故答案为：（2+m）（2﹣m）． 【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 14．【分析】根据二次函数顶点式的性质，即可得出答案． 【解答】解：y＝2（x+3）2+5的顶点坐标为（﹣3，5）． 故答案为：（﹣3，5）． 【点评】本题主要考查了二次函数的顶点式，熟练掌握二次函数的顶点式y＝a（x﹣h）2+k的性质是解决本题的关键． 15．【分析】先根据方程的一般形式得到对应的a、b、c的值，再根据完全平方公式的变形，将根与系数的关系，代入即可求解． 【解答】解：由方程5x2﹣3x﹣2＝0可得a＝5，b＝﹣3，c＝﹣2， 根据根与系数的关系可得，， ∴+＝ ＝ ＝． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识点是一元二次方程的根与系数的关系、完全平方公式的变形，解题关键是综合完全平方公式的变形和根与系数的关系求解． 16．【分析】连接OQ，作CH⊥AB于H，首先证明点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题． 【解答】解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H， ∵Q是AP中点， ∴AQ＝QP， 根据垂径定理的推论可得OQ⊥AP， ∴∠AQO＝90°， 则点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK， 当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大， ∵在直角△OCH中，∠AOC＝120°， ∴∠COH＝60°，， ∴，， 又∵在直角△CKH中，， ∴， ∴， 即CQ的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识点是垂径定理的推论、半圆所对的圆周角是直角、勾股定理、含30°角的直角三角形，解题关键是正确寻找点Q的运动轨迹，构造辅助圆解决问题． 三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分 17．【分析】根据算术平方根、绝对值、零指数幂、负指数幂的性质计算即可． 【解答】解： ＝2+1﹣3+2 ＝2． 【点评】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是结合算术平方根、零指数幂、负指数幂和绝对值的性质计算． 18．【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则进行计算． 【解答】解：原式＝． 【点评】本题主要考查了分式的混合运算，熟记分式混合运算的顺序和各类运算法则是解题的关键． 19．【分析】由“SAS”可证△ABC≌△ADC，可得BC＝DC． 【解答】证明：∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC， 又∵AB＝AD，AC＝AC， ∴△ABC≌△ADC（SAS）， ∴BC＝CD． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ABC≌△ADC是本题的关键． 四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分 20．【分析】（1）由B组人数及其所占百分比求出总人数，用360°乘以D组人数所占比例即可； （2）根据四组总人数为40人求出C组人数，从而补全图形； （3）用总人数乘以样本中A组人数所占比例即可求解． 【解答】解：（1）本次调查的学生人数为22÷55%＝40（名）， 表示D组的扇形圆心角的度数为360°×＝18°， 故答案为：40；18°； （2）C组人数为40﹣（4+22+2）＝12（名）， 补全图形如下： （3）（人）， 答：估计该校最近一周有140名学生睡眠时长不足8小时． 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 21．【分析】（1）设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，可得每件盈利40﹣x元，每天可以售出20+2x件，进而得到商场平均每天盈利（40﹣x）（20+2x）元，依据方程1200＝（40﹣x）（20+2x）即可得到x的值； （2）用“配方法”即可求出y的最大值，即可得到每件衬衫降价多少元． 【解答】解：（1）设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元， 则y＝（40﹣x）（20+2x）＝800+80x﹣20x﹣2x2＝﹣2x2+60x+800， 当y＝1200时，1200＝（40﹣x）（20+2x）， 解得 x1＝10，x2＝20， 经检验，x1＝10，x2＝20都是原方程的解，但要尽快减少库存， 所以x＝20， 答：每件衬衫应降价20元； （2）∵y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250， ∴当x＝15时，y的最大值为1250， 答：当每件衬衫降价15元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是1250元． 【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及“配方法”在求函数的最大值的问题中的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售的利润是解题关键． 五、本大题共4小题，每小题10分，共40分 22．【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，得到Δ＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，于是得到结论； （2）根据x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，代入x12+x22﹣x1x2＝16，解方程即可得到结论． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0， 解得：a＜3． （2）∵x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2， ∵x12+x22﹣x1x2＝16， ∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝16， ∴[2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16， 解得：a1＝﹣1，a2＝6， ∵a＜3， ∴a＝﹣1． 【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出a的取值范围，再由根与系数的关系得出方程是解答此题的关键． 23．【分析】根据已知求得AH的长，将其与300进行比较，若大于300则不会穿过，否则会穿过． 【解答】解：不会穿过森林公园． 因为＝tan45°＝1，所以BH＝AH． 又因为＝tan30°＝，所以HC＝AH． 所以BC＝BH+HC＝AH+AH＝（+1）AH． 又因为BC＝1000，所以（+1）AH＝1000． 所以AH＝500（﹣1）． 而500（﹣1）＞300， 故此公路不会穿过森林公园． 【点评】解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 24．【分析】（1）连接OD，连接OC交BD于M，由圆心角、弧、弦的关系推出∠COD＝∠COB，由OD＝OB，得到OC⊥BD，又CF∥BD，因此半径OC⊥CF，即可证明CF是⊙O的切线； （2）设OM＝x，由勾股定理得到62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，求出x＝1.4，由三角形中位线定理，得到AD＝2OM＝2x＝2.8． 【解答】（1）证明：连接OD，连接OC交BD于M， ∵CD＝CB， ∴＝， ∴∠COD＝∠COB， ∵OD＝OB， ∴OC⊥BD，DM＝BM， ∵CF∥BD， ∴半径OC⊥CF， ∴CF是⊙O的切线； （2）解：设OM＝x， ∵OC＝AB＝5， ∴MC＝5﹣x， ∵BM2＝BC2﹣CM2＝OB2﹣OM2， ∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2， ∴x＝1.4， ∵AO＝OB，DM＝BM， ∴OM是△BAD的中位线， ∴AD＝2OM＝2x＝2.8． 【点评】本题考查切线的判定，勾股定理，三角形中位线定理，关键是由圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，推出到OC⊥BD，由勾股定理列出关于OM的方程． 25．【分析】（1）根据抛物线的顶点D的横坐标为1，可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+c，再将点A和B的坐标代入即可得； （2）作PQ⊥x轴交直线AB于点Q，求得直线AB的解析式，利用三角形面积公式列出二次函数，利用二次函数的性质即可求解； （3）先求出AB的长，设点C的坐标为（m，0），利用两点之间距离公式以及勾股定理建立等式，求解即可． 【解答】解：（1）抛物线的顶点D的横坐标为1，可设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+c， 将A（0，﹣3），B（4，5）代入得， 解得：， 则抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3； （2）作PQ⊥x轴交直线AB于点Q， 设直线AB的解析式为y＝kx﹣3， 代入B（4，5）得5＝4k﹣3，解得k＝2， ∴直线AB的解析式为y＝2x﹣3， 设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则点Q的坐标为（m，2m﹣3）， ∴PQ＝2m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝2m﹣3﹣m2+2m+3＝﹣m2+4m， ∴ ＝﹣2（m2﹣4m） ＝﹣2（m﹣2）2+8， ∵﹣2＜0， ∴当m＝2，即点P的坐标为（2，﹣3）时，S△PAB有最大值，最大值为8； （3）解：设点C坐标（m，0）， 因A（0，﹣3），B（4，5）， 则AB2＝（0﹣4）2+（﹣3﹣5）2＝80， AC2＝m2+32＝m2+9， BC2＝（m﹣4）2+（0﹣5）2＝（m﹣4）2+25， ①当AB为斜边时，则m2+9+（m﹣4）2+25＝80， 解得：，即点C坐标为：或； ②当BC为斜边时，则m2+9+80＝（m﹣4）2+25， 解得：m＝﹣6，即点C坐标为（﹣6，0）； ③当AC为斜边时，则m2+9＝（m﹣4）2+25+80， 解得：m＝14，即点C坐标为（14，0）； 综上，存在这样的点C，点C的坐标为或或（﹣6，0）或（14，0）． 【点评】本题是二次函数的综合运用．考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、两点之间的距离公式、勾股定理以及解一元二次方程，熟记两点之间的距离公式是解题关键． 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