二项式定理 课件-2025届高三数学一轮复习

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第3节　二项式定理 ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI 知识诊断 基础夯实 1 1.二项式定理 3 2.二项式系数的性质 4 3.各二项式系数和 5 × 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) × √ √ C 解析　根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32， 则有2n＝32，可得n＝5， AD A.存在n∈N*，展开式中有常数项 B.对任意n∈N*，展开式中没有常数项 C.对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项 D.存在n∈N*，展开式中有x的一次项 当n＝4k－1时，展开式中存在x的一次项，D正确，C错误. A.5 B.10 C.15 D.20 C ∴x3y3的系数为10＋5＝15. 解析　因为所有二项式系数的和是32， 所以2n＝32，解得n＝5. 1 所以a2＋a3＋a4＝3＋7＋0＝10. 6.已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝________；a2＋a3＋a4＝________. 5 10 KAODIANTUPOTIXINGPOUXI 考点突破 题型剖析 2 240 角度1　求二项展开式的特定项 解析　二项展开式的通项公式为 ∵k∈N，∴r应为偶数， ∴r可取2，0，－2，即k可取2，5，8， C 角度2　两个二项式之积、三项展开式问题 A.15 B.20 C.30 D.35 (2)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　) A.10 B.20 C.30 D.60 解析　法一　(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5， C 法二　(x2＋x＋y)5表示5个x2＋x＋y之积. 训练1 (1)(x2＋x＋1)(x－1)4的展开式中，x3的系数为(　　) A.－3 B.－2 C.1 D.4 B －1 683 解析　依题意得2n＝8，解得n＝3.取x＝1得， 该二项展开式每一项的系数之和为(1－2)3＝－1. A 角度1　二项式系数和与系数和 (2)(多选)若(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则下列结论中正确的是(　　 ) A.a0＝1 B.a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2 C.a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35 D.a0－|a1|＋a2－|a3|＋a4－|a5|＝－1 解析　令x＝0，则a0＝15＝1，故A正确； 令x＝1得－1＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1－a0＝－2，故B错误； 令x＝－1得35＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，故C正确； ACD 所以a0－|a1|＋a2－|a3|＋a4－|a5|＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1，故D正确. 即(x－1)100－1＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100. 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝－1. 令x＝0，得a0＝0. 又易知a100＝1，所以a1＋a2＋a3＋…＋a99＝－2. 角度2　展开式的逆用 B 训练2 (1)已知(1＋x)n的展开式中第5项和第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　) A.29 B.210 C.211 D.212 A ACD 解析　由题意，当x＝0时，a0＝12 021＝1； 当x＝1时，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 021＝(－1)2 021＝－1， 当x＝－1时，a0－a1＋a2－a3＋…－a2 021＝32 021， B D 要使x的指数是整数，需k是3的倍数，∴k＝0，3，6，9，12，15，18， ∴x的指数是整数的项共有7项. 训练3 (1)已知(3x－1)n展开式的第5项的二项式系数最大，且n为偶数，则(3x－1)n展开式中x2的系数为(　　) A.－252 B.252 C.－28 D.28 B 解析　∵只有第5项的二项式系数最大， C FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG 分层训练 巩固提升 3 B A.－20 B.－5 C.5 D.20 A 令5－2r＝－1可得r＝3， C D ABC 解析　令x＝－1得(－1－1)5＝a0，即a0＝－32，故A正确. 令x＝0得(－1)5＝a0＋a1＋…＋a5，即a0＋a1＋…＋a5＝－1，故D不正确. 6.(多选)已知(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5，则(　　 ) A.a0＝－32 B.a2＝－80 C.a3＋4a4＝0 D.a0＋a1＋…＋a5＝1 ABC ∴x2的系数是10. 10 2 当x＝1时，(1＋2)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243，① 当x＝－1时，(1－2)5＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1.② 由①－②，得2(a1＋a3＋a5)＝243－(－1)＝244， 可得a1＋a3＋a5＝122. 9.二项展开式(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a4＝__________，a1＋a3＋a5＝__________. 80 122 (2)求含x2的项的系数. 解　选择条件①： 11.在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为210，这三个条件中任选一个，补充在下面(横线处)问题中，解决下面两个问题. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 已知(2x－1)n＝a0＋a1x1＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn(n∈N*)，若(2x－1)n的展开式中，________. (1)求n的值； 所以n＝10. 所以n＝10. 选择条件③： 若(2x－1)n的展开式中所有二项式系数的和为210，则2n＝210. 所以n＝10. 选择条件②： (2)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|的值. 解　由(1)知n＝10，则(2x－1)10＝a0＋a1x1＋a2x2＋a3x3＋…＋a10x10， 令x＝0，则a0＝1， 令x＝－1，则 310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10 ＝1＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|， 所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|＝310－1. C 令k－3r＝0⇒k＝3r，即k是3的倍数，所以k＝0或3. 所以原式展开后的常数项为1＋(－12)＝－11. ∵13a＝7b， 13.已知m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 B 解　若选填条件①，即只有第八项的二项式系数最大，则n＝14； 若选填条件③，即各项系数之和为414，则4n＝414，即n＝14. 由21－7k＝0，得k＝3. 即存在整数k＝3，使得Tk是展开式中的常数项； 若选填条件②，即奇数项二项式系数之和为47，则2n－1＝47＝214，所以n＝15. Ceq \o\al(0,n)an＋Ceq \o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq \o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \o\al(n,n)bn (1)二项式定理：(a＋b)n＝______________________________________ (n∈N*)； (2)通项公式：Tk＋1＝__________________，它表示第________项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C. Ceq \o\al(k,n)an－kbk k＋1 性质 性质描述 对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等，即____________ 增减性 二项式系数C 当k＜(n∈N*)时，是______的 当k＞(n∈N*)时，是______的 二项式 系数最大值 当n为偶数时，中间的一项________取得最大值 当n为奇数时，中间的两项与相等且取得最大值 Ceq \o\al(m,n)＝Ceq \o\al(n－m,n) 递增 递减 (1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝______. (2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝__________. 2n 2n－1 (a＋b)n的展开式形式上的特点 (1)项数为n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. (4)二项式系数从Ceq \o\al(0,n)，Ceq \o\al(1,n)，一直到Ceq \o\al(n－1,n)，Ceq \o\al(n,n). (1)Can－kbk是二项展开式的第k项.(　　) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.(　　) (3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.(　　) (4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.(　　) 解析　二项展开式中Can－kbk是第k＋1项，二项式系数最大的项为中间一项或中间两项，故(1)(2)均不正确. 则二项式的展开式通项为Tk＋1＝C()5－k·＝akCx，令＝0，得k＝3， 2.(易错题)已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(a,\r(3,x))))eq \s\up12(n)(a为常数)的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为(　　) A.1 B.±1 C.2 D.±2 则其常数项为Ca3， 根据题意，有Ca3＝80，可得a＝2. 解析　该二项展开式的通项为Tk＋1＝C(x3)k＝Cx4k－n，当n＝4k时，展开式中存在常数项，A正确，B错误； 3.(多选)对于二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋x3))eq \s\up12(n)(n∈N*)，以下判断正确的有(　　) ∴x3y3的系数为C＋C＝10＋5＝15. 解析　法一　∵(x＋y)5＝(x5＋5x4y＋10x3y2＋10x2y3＋5xy4＋y5)， 4.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y2,x)))(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　　) 法二　当x＋中取x时，x3y3的系数为C， 当x＋中取时，x3y3的系数为C， 在中，令x＝1可得展开式中各项系数的和为(2－1)5＝1. 5.(易错题)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,x)))eq \s\up12(n)的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为________. 解析　(x－1)3展开式的通项Tr＋1＝Cx3－r·(－1)r，(x＋1)4展开式的通项Tk＋1＝Cx4－k， 则a1＝C＋C＝1＋4＝5； a2＝C(－1)1＋C＝3； a3＝C(－1)2＋C＝7；a4＝C(－1)3＋C＝0， 解析　的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)6－r·＝C2rx12－3r， 例1 (1)(2020·全国Ⅲ卷)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(2,x)))eq \s\up12(6)的展开式中常数项是________(用数字作答). 令12－3r＝0，解得r＝4，得常数项为C24＝240. 令＝r(r∈Z)， 则10－2k＝3r，k＝5－r. 由题意∈Z，且0≤k≤10，k∈N. (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)－\f(1,2\r(3,x))))eq \s\up12(10)的展开式中所有的有理项为______________________. x2，－，x－2 Tk＋1＝Cx. ∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为x2，－，x－2. 解析　因为(1＋x)6的通项为Cxk，所以(1＋x)6的展开式中含x2的项为1·Cx2和·Cx4. 例2 (1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x2)))(1＋x)6的展开式中x2的系数为(　　) 因为C＋C＝2C＝2×＝30， 所以(1＋x)6的展开式中x2的系数为30. ∴x5y2可从其中5个因式中，两个取因式中x2，剩余的3个因式中1个取x，其余因式取y，因此x5y2的系数为CCC＝30. 含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2. 其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5. 所以x5y2的系数为CC＝30. 解析　(x－1)4的通项为Tk＋1＝Cx4－k(－1)k，(x2＋x＋1)(x－1)4的展开式中，x3的系数为C(－1)3＋C(－1)2＋C(－1)＝－2. 解析　表示五个相乘，则展开式中的常数项由三种情况产生，第一种是从五个中分别抽取2x，2x，，，－3，则此时的常数项为C·C·22·(－3)＝－360； (2)的展开式中常数项是________. 第二种情况是从五个中都抽取－3，则此时的常数项为(－3)5＝－243； 第三种情况是从五个中分别抽取2x，，－3，－3，－3，则此时的常数项为C·C·21·(－3)3＝－1 080，则展开式中常数项为－360－243－ 1 080＝－1 683. 例3 (1)若二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(2,x)))eq \s\up12(n)的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为(　　) A.－1 B.1 C.27 D.－27 因为二项式(1－2x)5的展开式的第r＋1项为Tr＋1＝C(－2)rxr， 所以当r为奇数时，C(－2)r为负数，即ai＜0(其中i为奇数)， 解析　记f(x)＝1－C(2－x)＋C(2－x)2－C(2－x)3＋…＋C(2－x)100－1＝[1－(2－x)]100－1＝(x－1)100－1， 例4 已知－Ceq \o\al(1,100)(2－x)＋Ceq \o\al(2,100)(2－x)2－Ceq \o\al(3,100)(2－x)3＋…＋Ceq \o\al(100,100)(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，则a1＋a2＋a3＋…＋a99＝(　　) A.－1 B.－2 C.299－1 D.eq \f(299－1,2) 解析　由题意知C＝C，由组合数性质得n＝10，则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29. (2)(多选)若(1－2x)2 021＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋ a2 021x2 021(x∈R)，则(　 　) A.a0＝1 B.a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝ C.a0＋a2＋a4＋…＋a2 020＝ D.＋＋＋…＋＝－1 所以a1×＋a2×＋…＋a2 021×＝－a0＝－1. ＋＋…＋＝a1×＋a2×＋…＋a2 021×， 所以a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝－， a0＋a2＋a4＋…＋a2 020＝； 当x＝时，0＝a0＋a1×＋a2×＋…＋a2 021×， (3)设复数x＝(i是虚数单位)，则Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 022＝(　　) A.0 B.－2 C.－1＋i D.－1－i 解析　x＝＝＝－1＋i，由于Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 022＝(1＋x)2 022－1＝i2 022－1＝－1－1＝－2. 解析　根据的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n＝20， 例5 二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)x＋\f(1,\r(3,x))))eq \s\up12(n)的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为(　　) A.3 B.5 C.6 D.7 ∴的展开式的通项为Tk＋1＝C·(x)20－k·＝()20－k·C·x20－， 解析　由题意可得n＝8，则(3x－1)8的展开式的通项是Tr＋1＝C(3x)8－r·(－1)r，令8－r＝2，解得r＝6，则展开式中x2的系数为C32＝252. (2)在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为(　　) A.－126 B.－70 C.－56 D.－28 ∴n＝8，的展开式的通项为 Tk＋1＝(－1)kCx8－k(k＝0，1，2，…，8)， ∴展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开式中第4项和第6项的系数相等且最小，为(－1)3C＝－56. 解析　由T4＝Cx4＝5，得x＝－. 1.已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))eq \s\up12(7)的展开式的第4项等于5，则x等于(　　) A.eq \f(1,7) B.－eq \f(1,7) C.7 D.－7 解析　Tr＋1＝C·(－2y)r＝C··(－2)r·x5－r·yr. 2.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－2y))eq \s\up12(5)的展开式中x2y3的系数是(　　) 当r＝3时，展开式中x2y3的系数为C×(－2)3＝－20. ∴(－1)3a5－3C＝－40，即10a2＝40，∴a＝±2. 令5－2r＝0可得r＝，不符合题意，舍去. 3.已知(x＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax－\f(1,x)))eq \s\up12(5)的展开式中常数项为－40，则a的值为(　　) A.2 B.－2 C.±2 D.4 解析　的展开式的通项公式为 Tr＋1＝C(ax)5－r·＝(－1)ra5－rCx5－2r， 解析　C＋2C＋4C＋…＋2n－1C＝20C＋21C＋22C＋…＋2n－1C＝ (21C＋22C＋23C＋…＋2nC)＝(20C＋21C＋22C＋23C＋…＋2nC)－＝(1＋2)n－＝. 4.C＋2C＋4C＋…＋2n－1C＝(　　) A.3n B.2·3n C.－1 D. 解析　二项式的展开式的通项为Tk＋1＝C·35－k·(－2)k·x10－3k，k＝0，1，2，3，4，5，结合所给的选项，知ABC的项都含有. 5.(多选)在二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x2－\f(2,x)))eq \s\up12(5)的展开式中，有(　　 ) A.含x的项 B.含eq \f(1,x2)的项 C.含x4的项 D.含eq \f(1,x4)的项 令x＋1＝y，则(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5就变为(y－2)5＝a0＋a1y＋a2y2＋…＋a5y5，根据二项式定理知，a2即二项式(y－2)5展开式中y2项的系数，Tk＋1＝Cy5－k(－2)k，故a2＝C·(－2)3＝－80，B正确. a4＝C(－2)1＝－10，a3＝C(－2)2＝40，故C正确. 解析　∵Tr＋1＝Cx5－r＝2rCx5－3r，令5－3r＝2，得r＝1， 7.在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x2)))eq \s\up12(5)的展开式中，x2的系数是__________. ∴T2＝2Cx2＝10x2， 解析　(1－)7＋的展开式中含x2的项为C(－)6＋C()5＝Cx2＋Cx2a，则aC＋C＝19，解得a＝2. 8.在(1－eq \r(3,x))7＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(a,\r(x))))eq \s\up12(6)的展开式中，若x2的系数为19，则a＝________. 解析　由题意，得a4＝C×24＝5×16＝80. 解　通项公式为Tr＋1＝Cxx－＝Cx， 10.已知在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)－\f(1,2\r(3,x))))eq \s\up12(n)的展开式中，第6项为常数项. (1)求n； ∵第6项为常数项，∴r＝5时，有＝0，即n＝10. 解　令＝2，得r＝(n－6) ＝×(10－6)＝2， ∴含x2的项的系数为C＝. 若(2x－1)n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则＝5. 若(2x－1)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等， C＝C. 当k＝0时，C(－1)4－0＝1；当k＝3时，r＝1，C·C·(－1)4－3＝－12， 解析　的通项为Tk＋1＝C(－1)4－k·， 12.在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋x＋\f(1,x2)))eq \s\up12(4)的展开式中，常数项为(　　) A.12 B.11 C.－11 D.－12 要求常数项，需求(k＝0，1，2，3，4)的展开式中的常数项， 的展开式的通项为Tr＋1＝C·xk－r·x－2r＝C·xk－3r， 解析　由题意可知，a＝C，b＝C. ∴13·＝7·， 即＝，解得m＝6. 14.在①只有第八项的二项式系数最大；②奇数项二项式系数之和为47；③各项系数之和为414；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由. 设二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(3,x3)))eq \s\up12(n)，若其展开式中，________，是否存在整数k，使得Tk是展开式中的常数项？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分. ＝3k－1·C·x. 由22－7k＝0，得k＝∉Z，即不存在整数k，使得Tk是展开式中的常数项. Tk＝C·()15－k·＝3k－1·C·x. 二项式展开式的通项： 二项式展开式的通项： Tk＝C·()16－k· $$