第二章第04讲 实数（2考点+11题型+过关检测）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（北师大版）

第04讲 实数 课程标准 学习目标 ①了解实数的定义 ②了解实数与数轴及实数的性质 1. 了解实数的意义，能对实数按要求进行分类; 2. 了解实数和数轴上的点一一对应，能根据实数在数轴上的位置比较大小; 3.了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义（同有理数的意义完全一样）. 知识点01 实数概念及分类 无理数：无限不循环小数统称为无理数． 实数：有理数和无理数统称为实数． 无理数常见的三种类型：（1）开不尽的方根；（2）特定结构的无限不循环小数；（3）含有π的绝大部分数. 【即学即练1】 1.把下列各数分别填在相应的集合中：，，，，，，，，，(每两个1之间依次多1个0)． 有理数集合：｛                                                   …｝ 无理数集合：｛                                                   …｝ 知识点02 实数与数轴 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点一一对应． 【即学即练1】 1.如图，小明将一个直径为1个单位长度的圆环（厚度忽略不计）从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点，则下列实数与点表示的数最接近的是（    ）    A． B． C． D． 2.如图，在数轴上，点与点关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是和，那么点所对应的实数是（     ）    A． B． C． D． 题型01 实数概念理解 【典例1】（22-23八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【变式1】（23-24八年级上·安徽·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数 C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数 【变式2】（22-23八年级上·山东青岛·期中）已知下列结论，其中正确的结论是（    ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【变式3】（23-24八年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列说法中，正确的个数是（    ） ①实数包括有理数、无理数和0；②有理数和数轴上的点一一对应；③无理数都是无限小数；④；⑤平方根与立方根都等于它本身的数为0和1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02 实数的分类 【典例2】（24-25八年级上·江苏·假期作业）把下列各数填入相应的大括号内： 有理数集合： ；无理数集合： ； 正实数集合： ；负实数集合： ． 【变式1】（23-24七年级下·新疆伊犁·期中）把下列各数分别填入相应的集合内： ，0 ， ， ， ， ， 整数集合{                            }； 无理数集合{                          }； 负实数集合{                          }． 【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试），3，，，0.1010010001…，，0，，， (1)正数集合：{                                                 …} (2)无理数集合：{                                               …}； (3)分数集合：{                                                 …}； (4)非正整数集合：{                                             …}； 【变式3】（23-24八年级上·全国·单元测试）把下列各数填在相应的大括号内． ，，，，，，，，，，（每相邻两个之间依次多个），． 有理数： ； 无理数： ； 正数： 整数： ； 非负数： ； 分数： ． 题型03 实数的性质 【典例3】（23-24八年级上·全国·单元测试）（1）的绝对值为 ；的相反数为 ； （2）的绝对值为 ；的相反数为 ． 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）的相反数是 ；的绝对值是 ；的相反数是 ． 【变式2】（23-24七年级下·天津宁河·期中） 的平方根是 ，的相反数为 ，的绝对值为 ． 【变式3】（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）的绝对值是 ，的相反数是 ． 题型04 实数与数轴 【典例4】（23-24七年级下·北京·阶段练习）如图，直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动（无滑动）一周到达点B，则的长度为 ；若点A对应的数是，则点B对应的数是 ． 【变式1】（22-23八年级上·四川成都·期中）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式 ． 【变式2】（22-23八年级上·四川成都·期中）如图，已知于点C，点C对应的数是，那么数轴上点B所表示的数是 ．    【变式3】（23-24八年级上·山东济南·开学考试）如图，实数，，m在数轴上所对应的点分别为A，B，C，点B关于原点O的对称点为D．若m为整数，则m的值为 ． 题型05 实数的大小比较 【典例5】（22-23七年级上·江苏镇江·阶段练习）比较大小（用“，，”表示）： ． 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）下列各数：，其中小于的数是 ． 【变式2】（22-23八年级上·全国·单元测试）下列四个数：、、、，其中，最小的实数是 ． 【变式3】（22-23八年级上·全国·单元测试）已知实数、、满足，则、、的大小关系为 ．（用“”连接）． 题型06 实数的混合运算 【典例6】（23-24七年级下·陕西渭南·期末）计算：． 【变式1】（22-23八年级上·广西柳州·开学考试）计算：． 【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： (1)． (2)． 【变式3】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）计算： (1) ； (2)． 题型07 程序设计与实数运算 【典例7】（23-24八年级下·江西赣州·阶段练习）有一个数值转换机，原理如下：当输入的时，输出的 ． 【变式1】（23-24七年级下·广西南宁·期末）在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数的运算程序如图所示，若输出的y值为时，则输入的实数x可取的负整数值是 ． 【变式2】（23-24七年级下·山西吕梁·期末）有一个数值转换器，原理如下：    当输入的时，输出的y等于 ． 【变式3】（23-24七年级下·四川南充·期中）下面是一个简单的数值运算程序： 当输入x的值是时，输出的结果是 题型08 新定义下的实数运算 【典例8】（22-23八年级上·内蒙古包头·期末）对于两个不相等的实数，定义一种新的运算如下，如:，那么 ． 【变式1】（23-24八年级上·贵州毕节·期末）定义运算：，则 ． 【变式2】（23-24八年级下·山东东营·期末）对于任意不相等的两个实数，，新定义一种运算*如下：那么 ． 【变式3】（22-23八年级上·江苏南京·开学考试）我们用表示不大于的最大整数，如：，，. （1） ； （2）若，则的取值范围是 . 题型09 与实数运算相关的规律题 【典例9】（23-24八年级下·四川绵阳·期中）已知数列：，，，，，……那么第6个数是 ． 【变式1】（23-24七年级下·河南商丘·期中）将，，，，…，按如图的方式排列．规定表示第排从左向右第个数，若表示的数为时， ． 【变式2】（23-24七年级下·安徽安庆·期中）设． (1)　　　　　　　　　； (2)， 求　　　　　　　　　； (3)求的值．(用含n的代数式表示，其中n为正整数) 【变式3】（23-24七年级下·山东日照·阶段练习）阅读理解题 阅读下列解题过程：第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；…根据等式所反映的规律，解答下列问题： (1)第4个等式为________ (2)猜想：第n个等式为________（n为正整数） (3)利用上面的解法，请化简： 一、单选题 1．（22-23八年级上·山东青岛·期末）的相反数是（    ） A． B． C． D．3 2．（23-24八年级上·四川内江·开学考试）如图，在数轴上表示实数的可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）数轴上表示，的点分别为，，点是的中点，则点所表示的数是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）如图，边长为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上，(点在点的右侧)且，则点所表示的数为(   ) A． B． C． D． 5．（22-23八年级上·河南洛阳·阶段练习）观察下列各式：，依次类推请你用发现的规律表示第2021个等式的结果，正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）比较大小（填“”“”或“”）： ． 7．（22-23八年级上·吉林长春·期中）数轴上表示，的对应点分别是、，点关于点的对称点为，则点所表示的数是 ． 8．（23-24七年级下·重庆秀山·阶段练习），，在数轴上对应点的位置如图，化简： ． 9．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图1，我们知道用两个面积为的小正方形能拼成一个面积为的大正方形，如图2，在数轴上以单位长度为边长画一个正方形，以坐标为1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点表示的数是 ． 10．（22-23七年级下·湖北十堰·期末）对于有理数a、b，定义的含义为：当时，，例如：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的立方根为 ． 三、解答题 11．（23-24七年级下·广东汕头·期末）计算：． 12．（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）比较与的大小； （2）比较与的大小． 13．（22-23八年级上·全国·单元测试）当， 都是实数，且满足，就称点为“友好点”． (1)判断点是否为“友好点”，并说明理由； (2)若点是“友好点”，且，为有理数，求，的值． 14．（22-23八年级上·河南郑州·阶段练习）观察如图，每个小正方形的边长均为1 (1)图中阴影部分面积（正方形）的面积是______，边长是______； (2)请用尺规作图，在数轴上作出边长的对应点P（要求保留作图痕迹）． 15．（23-24七年级下·江苏南通·期中）如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 16．（23-24八年级下·广东江门·期末）若一个含根号的式子可以写成的平方（其中，，，都是整数，x为正整数），即，则称为完美根式．是的完美平方根．例如：因为，所以是的完美平方根． (1)已知是的完美平方根，求a的值； (2)若是的完美平方根，用含，的式子表示，． (3)已知为完美根式，直接写出它的一个完美平方根． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 实数 课程标准 学习目标 ①了解实数的定义 ②了解实数与数轴及实数的性质 1. 了解实数的意义，能对实数按要求进行分类; 2. 了解实数和数轴上的点一一对应，能根据实数在数轴上的位置比较大小; 3.了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义（同有理数的意义完全一样）. 知识点01 实数概念及分类 无理数：无限不循环小数统称为无理数． 实数：有理数和无理数统称为实数． 无理数常见的三种类型：（1）开不尽的方根；（2）特定结构的无限不循环小数；（3）含有π的绝大部分数. 【即学即练1】 1.把下列各数分别填在相应的集合中：，，，，，，，，，(每两个1之间依次多1个0)． 有理数集合：｛                                                   …｝ 无理数集合：｛                                                   …｝ 【答案】，，，，，…；，， ，(每两个1之间依次多1个0) 【分析】根据实数的分类完成填空即可求解． 【详解】解： 有理数集合：｛，，，，，…｝ 无理数集合：｛，， ，(每两个1之间依次多1个0)｝ 故答案为：，，，，，…；，， ，(每两个1之间依次多1个0)． 【点睛】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类，无理数的定义是解题的关键． 知识点02 实数与数轴 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点一一对应． 【即学即练1】 1.如图，小明将一个直径为1个单位长度的圆环（厚度忽略不计）从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点，则下列实数与点表示的数最接近的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，滚动一周，在数轴上的长度为圆的周长，由圆周长公式计算得到，从而，估计，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，， ，， ， 结合题中四个选项可知，与点表示的数最接近， 故选：C． 【点睛】本题考查无理数的估算，读懂题意，得到的长度，掌握无理数估算的方法是解决问题的关键． 2.如图，在数轴上，点与点关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是和，那么点所对应的实数是（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点C所对应的实数是x，根据中心对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方程求解． 【详解】解：设点C所对应的实数是x． 则有， 解得，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是数轴上两点间距离的定义，根据题意列出关于x的方程是解答此题的关键． 题型01 实数概念理解 【典例1】（22-23八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可． 【详解】解：A、正实数和负实数统称实数，错误，0也是实数，故不符合题意； B、正数、0和负数统称有理数，错误，正数、0和负数统称实数，故不符合题意； C、带根号的数和分数统称实数，错误，故不符合题意； D、无理数和有理数统称实数，正确，故符合题意； 故选：D． 【变式1】（23-24八年级上·安徽·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数 C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数 【答案】C 【分析】根据实数的有关概念、实数与数轴的关系对各项逐一分析判断即可． 【详解】A. 两个无理数的和可能是无理数，也可能是有理数，如互为相反数的一对无理数和，它们的和是0，是有理数，故本选项说法错误，不符合题意； B. 无理数是无限不循环小数，无限小数不一定是无理数，故本选项说法错误，不符合题意； C. 实数可以用数轴上的点来表示，说法正确，符合题意； D. 分数是有理数，故本选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了实数的有关概念和实数与数轴的关系，熟练掌握实数的基本概念是解题的关键． 【变式2】（22-23八年级上·山东青岛·期中）已知下列结论，其中正确的结论是（    ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查实数．熟练掌握实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质。是解决问题的关键． 根据实数与数轴的关系，实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质，逐一判断，即得． 【详解】解：数轴上除了还能表示有理数与其它无理数，故①项错误； 任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故②项正确； 实数与数轴上的点一一对应，故③项正确； 整数和分数统称有理数，无限不循环小数为无理数， ∴无理数也有无限个，故④项错误． ∴正确的是②③． 故选：B． 【变式3】（23-24八年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列说法中，正确的个数是（    ） ①实数包括有理数、无理数和0；②有理数和数轴上的点一一对应；③无理数都是无限小数；④；⑤平方根与立方根都等于它本身的数为0和1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据实数的概念和分类，实数与数轴关系，完全平方公式，平方根和立方根的性质分别判断即可． 【详解】解：①实数包括有理数、无理数，0属于有理数，故错误； ②实数和数轴上的点一一对应，故错误； ③无理数都是无限小数，故正确； ④，故错误； ⑤平方根等于它本身的数有：0，立方根等于它本身的数有：0、1、，则平方根、立方根都等于它本身的数为0，故错误； 正确结论的个数是1． 故选：A． 【点睛】本题考查了实数的概念和分类，实数与数轴关系，完全平方公式，平方根和立方根的性质，属于基础知识，要熟练掌握． 题型02 实数的分类 【典例2】（24-25八年级上·江苏·假期作业）把下列各数填入相应的大括号内： 有理数集合： ；无理数集合： ； 正实数集合： ；负实数集合： ． 【答案】 ，，， ，，， ，，，， ，， 【分析】本题考查的是实数的分类，实数分为有理数与无理数，无限不循环的小数是无理数，熟记定义是解本题的关键．根据实数的分类逐一填写即可． 【详解】， ，，，，，，，中， 有理数集合为：，，，； 无理数集合为：，，，； 正实数集合为：，，，，； 负实数集合为：，，； 故答案为：①，，，； ②，，，； ③，，，，； ④，，． 【变式1】（23-24七年级下·新疆伊犁·期中）把下列各数分别填入相应的集合内： ，0 ， ， ， ， ， 整数集合{                            }； 无理数集合{                          }； 负实数集合{                          }． 【答案】整数集合0，，；无理数集合，，；负实数集合， 【分析】本题主要考查了实数的分类，算术平方根，立方根，掌握整数、无理数、负实数的定义是解答本题的关键． 根据整数、无理数、负实数的定义分类即可． 【详解】， 整数集合{ 0，，}； 无理数集合{ ，，}； 负实数集合{ ，}． 故答案为：0，，；，，；，． 【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试），3，，，0.1010010001…，，0，，， (1)正数集合：{                                                 …} (2)无理数集合：{                                               …}； (3)分数集合：{                                                 …}； (4)非正整数集合：{                                             …}； 【答案】(1)3，0.1010010001…，， (2)0.1010010001…， (3)，，， (4)，0， 【分析】本题考查了实数的分类、化简多重符号、求绝对值，熟练掌握实数的分类是解此题的关键． （1）根据正数的定义即可解答； （2）根据无理数的定义即可解答； （3）根据分数的定义即可解答； （4）根据非正整数的定义即可解答． 【详解】（1）解：，， 正数集合：{ 3，0.1010010001…，，} （2）解：无理数集合：{0.1010010001…，} （3）解：分数集合：{，，，} （4）解：非正整数集合：{，0，}． 【变式3】（23-24八年级上·全国·单元测试）把下列各数填在相应的大括号内． ，，，，，，，，，，（每相邻两个之间依次多个），． 有理数： ； 无理数： ； 正数： 整数： ； 非负数： ； 分数： ． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是实数的概念和分类，掌握实数的分类方法是解题的关键．根据实数的概念和分类解答． 【详解】解：，， 有理数：，，，，，，，； 无理数：，，，（每相邻两个之间依次多个），； 正数： ，，，，，，（每相邻两个之间依次多个），； 整数：，，，； 非负数：，，，，，，，（每相邻两个之间依次多个），； 分数：，，，， ． 题型03 实数的性质 【典例3】（23-24八年级上·全国·单元测试）（1）的绝对值为 ；的相反数为 ； （2）的绝对值为 ；的相反数为 ． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数和绝对值，只有符号不同的两个数互为相反数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可． 【详解】解：（1）的绝对值为；的相反数为； （2）的绝对值为；的相反数为． 故答案为：（1）；；（2）； 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）的相反数是 ；的绝对值是 ；的相反数是 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数和绝对值，只有符号不同的两个数互为相反数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可． 【详解】解：的相反数是；的绝对值是；的相反数是； 故答案为：；；． 【变式2】（23-24七年级下·天津宁河·期中） 的平方根是 ，的相反数为 ，的绝对值为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了求一个数的平方根、立方根，实数的性质，根据平方根、立方根，以及相反数的定义，绝对值，即可求解． 【详解】解： 的平方根是，的相反数为，的绝对值为 故答案为：，，． 【变式3】（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）的绝对值是 ，的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题是对绝对值和相反数知识的考查，熟练掌握实数知识是解决本题的关键．根据绝对值和相反数知识求解即可． 【详解】解：绝对值是， 的相反数是：． 故答案为：； 题型04 实数与数轴 【典例4】（23-24七年级下·北京·阶段练习）如图，直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动（无滑动）一周到达点B，则的长度为 ；若点A对应的数是，则点B对应的数是 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了圆的周长及实数与数轴， 解题的关键是求了出．运用圆的周长公式求出周长即可 ． 【详解】解：的长度为：， 点对应的数是， 故答案为：，． 【变式1】（22-23八年级上·四川成都·期中）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数和数轴，化简绝对值，求算术平方根和立方根，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，进行化简计算即可． 【详解】解：由图可知： ． 故答案为： 【变式2】（22-23八年级上·四川成都·期中）如图，已知于点C，点C对应的数是，那么数轴上点B所表示的数是 ．    【答案】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理与无理数，勾股定理求出的长，进而得到的长，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：， ∴点B所表示的数是； 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级上·山东济南·开学考试）如图，实数，，m在数轴上所对应的点分别为A，B，C，点B关于原点O的对称点为D．若m为整数，则m的值为 ． 【答案】-3 【分析】本题考查了数轴上点的特征，涉及到相反数的性质、对无理数进行估值、确定不等式组的整数解等问题．先求出D点表示的数，再得到m的取值范围，最后在范围内找整数解即可． 【详解】解：∵点B关于原点O的对称点为D，点B表示的数为， ∴点D表示的数为， ∵A点表示，C点位于A、D两点之间， ∴， ∵m为整数， ∴； 故答案为：． 题型05 实数的大小比较 【典例5】（22-23七年级上·江苏镇江·阶段练习）比较大小（用“，，”表示）： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数大小的比较，熟练掌握有理数大小的比较方法是解题的关键．根据两个负数，绝对值大的反而小，进行求解即可． 【详解】解： ，，， ， 故答案为：． 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）下列各数：，其中小于的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数大小的比较、无理数的估算，先估算出，再根据两个负数进行比较，绝对值大的反而小即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【变式2】（22-23八年级上·全国·单元测试）下列四个数：、、、，其中，最小的实数是 ． 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，记住任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 根据负实数绝对值大的反而小即可比较． 【详解】解：∵， ∴最小， 故答案为：． 【变式3】（22-23八年级上·全国·单元测试）已知实数、、满足，则、、的大小关系为 ．（用“”连接）． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数．熟练掌握偶次方，算术平方根，绝对值的非负性质，是解答问题的关键． 根据平方，算术平方根，绝对值的非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数同时为0，求出a，b，c的值，比较，得出答案． 【详解】∵，，，且， ∴， ， ， ∴，， ， ∴ ，，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型06 实数的混合运算 【典例6】（23-24七年级下·陕西渭南·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可． 【详解】解： ． 【变式1】（22-23八年级上·广西柳州·开学考试）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，掌握运算法则是解本题的关键．原式利用平方根及立方根定义计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算； （1）利用平方根以及立方根的性质化简，再利用实数的加减运算法则计算得出答案； （2）利用平方和立方根的性质化简，结合实数的加减运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）计算： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是∶ （1）利用立方根、算术平方根的定义，乘方法则计算即可； （2）利用绝对值的意义，立方根的定义计算即可． 【详解】（1）解∶原式 ； （2）解∶原式 ． 题型07 程序设计与实数运算 【典例7】（23-24八年级下·江西赣州·阶段练习）有一个数值转换机，原理如下：当输入的时，输出的 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，理解算术平方根、有理数、无理数的意义是正确解答的关键．根据数值转换器，输入，进行计算，一直到是无理数则输出即可． 【详解】解：第1次计算得，，而4是有理数， 因此第2次计算得，，而2是有理数， 因此第3次计算得，是无理数，则输出． 故答案为：． 【变式1】（23-24七年级下·广西南宁·期末）在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数的运算程序如图所示，若输出的y值为时，则输入的实数x可取的负整数值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了实数的运算，理解程序的运算步骤是解题的关键． 按照程序的运算步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：若1次运算输出的值是时， ， ， 解得：或； 若2次运算输出的值是时， ， ， 解答：或； 若3次运算输出的值是时， ， ， 解答：或； ，且取负整数， 或， 故答案为：或． 【变式2】（23-24七年级下·山西吕梁·期末）有一个数值转换器，原理如下：    当输入的时，输出的y等于 ． 【答案】 【分析】本题考查流程图计算，涉及算术平方根、立方根，有理数与无理数的定义．根据流程图，结合算术平方根运算，立方根运算，由无理数与有理数定义进行判断即可得到答案． 【详解】解：当输入的时，则取立方根为：， 4是有理数，取算术平方根为：， 2取立方根为：， 是无理数， 即， 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级下·四川南充·期中）下面是一个简单的数值运算程序： 当输入x的值是时，输出的结果是 【答案】 【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数计算，根据题意可得算式，据此计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 题型08 新定义下的实数运算 【典例8】（22-23八年级上·内蒙古包头·期末）对于两个不相等的实数，定义一种新的运算如下，如:，那么 ． 【答案】/0.4 【分析】本题考查了新定义实数的运算，根据题意列式计算即可得出答案，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式1】（23-24八年级上·贵州毕节·期末）定义运算：，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是算术平方根的计算，把，代入中计算即可． 【详解】解：， ∴． 故答案为：6． 【变式2】（23-24八年级下·山东东营·期末）对于任意不相等的两个实数，，新定义一种运算*如下：那么 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，理解新定义运算并掌握二次根式乘除法计算法则是解题的关键． 根据规定的运算方法转化为二次根式的混合运算，再进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：3． 【变式3】（22-23八年级上·江苏南京·开学考试）我们用表示不大于的最大整数，如：，，. （1） ； （2）若，则的取值范围是 . 【答案】 1 / 【分析】本题主要考查了无理数的估算，新定义： （1）估算无理数的大小，再根据的意义进行计算即可； （2）根据的意义得到，进而得出x的取值范围即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型09 与实数运算相关的规律题 【典例9】（23-24八年级下·四川绵阳·期中）已知数列：，，，，，……那么第6个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查规律探索问题，结合已知数据总结出规律是解题的关键． 根据已知数据总结规律后即可求得． 【详解】解：第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； 第4个数：； 故第6个数：； 故答案为：． 【变式1】（23-24七年级下·河南商丘·期中）将，，，，…，按如图的方式排列．规定表示第排从左向右第个数，若表示的数为时， ． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律的探究问题，解题的关键是根据题意，找到规律，进行解答，涉及有理数的乘方等知识． 【详解】第一排的个数为：，前一排的总数为：； 第二排的个数为：，前两排的总数为：，从右往左依次增大排列； 第三排的个数为：，前三排的总数为：，从左往右依次增大排列； 第四排的个数为：，前四排的总数为：，从右往左依次增大排列； ……， ∴第排的个数为：个，前排的总数为：个；奇数排从左往右依次增大排列；偶数排从右往左依次增大排列， ∵，， ∴在第排，即；第排为奇数排，从左往右依次增大排列； ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级下·安徽安庆·期中）设． (1)　　　　　　　　　； (2)， 求　　　　　　　　　； (3)求的值．(用含n的代数式表示，其中n为正整数) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字算式的变化规律．关键是观察几个结果的结果，由特殊到一般，得出规律． （1）观察题中的几个计算结果，得出一般规律． （2）观察第一步的几个计算结果，得出一般规律． （3）根据（2）中的规律解答即可； 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）∵ ∴． （3）结合（2）可得： ． 【变式3】（23-24七年级下·山东日照·阶段练习）阅读理解题 阅读下列解题过程：第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；…根据等式所反映的规律，解答下列问题： (1)第4个等式为________ (2)猜想：第n个等式为________（n为正整数） (3)利用上面的解法，请化简： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索： （1）根据给出的等式找出一般规律，写出第4个等式即可； （2）根据题干中给出的一般规律，写出第n个等式即可； （3）根据（2）的规律把对应式子进行替换，然后隔项相消即可得到答案． 【详解】（1）解：第1个等式为：； 第2个等式为：； 第3个等式为：； … 第4个等式为：． 故答案为：． （2）解：解：第n个等式为：（n为正整数）； 故答案为：． （3）解： ． 一、单选题 1．（22-23八年级上·山东青岛·期末）的相反数是（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数， 根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 2．（23-24八年级上·四川内江·开学考试）如图，在数轴上表示实数的可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查的是实数与数轴，无理数的大小比较，先判断，从而可得答案； 【详解】解：， ， 而点在，这两个数之间， ∴在数轴上表示实数的可能是， 故选：B． 3．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）数轴上表示，的点分别为，，点是的中点，则点所表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，根据是的中点，可得，用点表示的数减去的距离，可得点表示的数． 【详解】点是的中点， ， 点表示的数是：， 故选：C． 4．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）如图，边长为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上，(点在点的右侧)且，则点所表示的数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查实数与数轴．根据题意得到，根据实数与数轴的概念即可求解． 【详解】解：，， ， 点表示的数为，且点在点的右侧， 点所表示的数为． 故选：B． 5．（22-23八年级上·河南洛阳·阶段练习）观察下列各式：，依次类推请你用发现的规律表示第2021个等式的结果，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数、规律题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．探究规律．利用规律即可解决问题． 【详解】解：∵… ∴用含的等式表示为， ∴第2021个等式为． 故选：C． 二、填空题 6．（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）比较大小（填“”“”或“”）： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较， 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．利用平方根的定义，以及实数性质判断即可． 【详解】解∶∵， ∴，即 又，， ∴， 故答案为： 7．（22-23八年级上·吉林长春·期中）数轴上表示，的对应点分别是、，点关于点的对称点为，则点所表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查实数与数轴上的点的对应关系，对称的性质，先结合数轴求出之间的距离，然后根据对称的性质得出之间的距离，再求出之间的距离即可求解．求出的长是解题的关键． 【详解】解：如图，设数轴的原点为点， ∵数轴上表示，的对应点分别是、， ∴， ∵点关于点的对称点为， ∴， ∵， ∴， ∵在原点的左边， ∴点所表示的数是． 故答案为：． 8．（23-24七年级下·重庆秀山·阶段练习），，在数轴上对应点的位置如图，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，根据数轴得到，则，据此求算术平方根和化简绝对值后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图1，我们知道用两个面积为的小正方形能拼成一个面积为的大正方形，如图2，在数轴上以单位长度为边长画一个正方形，以坐标为1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴和实数，首先求出正方形的对角线的长为，然后根据数轴上两点之间的距离求解即可． 【详解】解：∵在数轴上以单位长度为边长画一个正方形， ∴对角线的长为， ∴以坐标为1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点表示的数是 故答案为：． 10．（22-23七年级下·湖北十堰·期末）对于有理数a、b，定义的含义为：当时，，例如：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的立方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的应用，立方根，实数的运算，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键． 根据的含义得到：由a和b为两个连续正整数求得它们的值，然后代入求值． 【详解】解： 又a和b为两个连续正整数， 的立方根为． 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24七年级下·广东汕头·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，根据去括号法则，绝对值的代数意义，立方根和算术平方根将原式化简，再进行加减运算即可．掌握相应的运算法则和性质是解题的关键． 【详解】解： ． 12．（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）比较与的大小； （2）比较与的大小． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了实数的大小比较产，做题关键是要掌握一些比较大小的方法。 （1）先确定的范围，再确定的范围，即可比较； （2）先确定的范围，再确定的范围，即可比较； 【详解】解：（1）因为， 所以， 所以 因为， 所以， 所以， 所以； （2）因为， ， 所以， ， 所以. 13．（22-23八年级上·全国·单元测试）当， 都是实数，且满足，就称点为“友好点”． (1)判断点是否为“友好点”，并说明理由； (2)若点是“友好点”，且，为有理数，求，的值． 【答案】(1)点不是为“友好点”，理由见解析 (2)， 【分析】本题考查新定义问题，点的坐标， （1）根据“友好点”的定义判断即可； （2）根据“友好点”的概念得到，，得到，，然后由得到，然后根据，为有理数求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∵，， ∴ ∴点不是为“友好点”； （2）∵点是“友好点”， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵，为有理数， ∴为有理数， ∴ ∴． 14．（22-23八年级上·河南郑州·阶段练习）观察如图，每个小正方形的边长均为1 (1)图中阴影部分面积（正方形）的面积是______，边长是______； (2)请用尺规作图，在数轴上作出边长的对应点P（要求保留作图痕迹）． 【答案】(1)17， (2)见解析 【分析】本题考查的知识点是勾股定理以及无理数基本作图，利用格点的特征求出阴影部分正方形的面积是解此题的关键． （1）根据格点的特征利用勾股定理求边长，再计算面积即可； （2）以为圆心，以正方形边长为半径画弧，与数轴正方向的交点即为所求． 【详解】（1）解：图中阴影部分面积（正方形）的边长是，面积是， 故答案为：17，； （2）解：如图：点P表示的数为. 15．（23-24七年级下·江苏南通·期中）如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 【答案】(1) (2)0和1 (3)5 【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断， （1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）先得出输入的，，再根据运算法则，进行逆运算即可求解． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取6算术平方根，是无理数， 所以输出的y值为； 故答案为：； （2）解：当，1时，始终输不出y值．因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数； 故答案为：0，1； （3）∵输出的， ∴， ∴输入的， 当时，5的算术平方根是，是无理数， 所以输出的y值为， ∴x的最小整数值是． 16．（23-24八年级下·广东江门·期末）若一个含根号的式子可以写成的平方（其中，，，都是整数，x为正整数），即，则称为完美根式．是的完美平方根．例如：因为，所以是的完美平方根． (1)已知是的完美平方根，求a的值； (2)若是的完美平方根，用含，的式子表示，． (3)已知为完美根式，直接写出它的一个完美平方根． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义“完美根式”与“完美平方根”，正确理解新定义是解题关键． （1）根据完美平方根的定义，即可获得答案； （2）根据完美平方根的定义，即可获得答案； （3）根据完美根式的定义，可得，进而可得，，确定合理的，的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵是的完美平方根， ∴， ∴； （2）∵是的完美平方根， ∴， ∴，； （3）∵为完美根式， ∴， ∴，， ∴可取，， ∵均为整数， ∴，或，， ∴的一个完美平方根是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$