专题1.1.2 空间向量的数量积运算 （六大考点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.1.2 空间向量的数量积运算 （六大考点） 【考点1：空间向量的数量积（求空间向量的数量积） 】 【考点2： 空间向量的数量积（空间向量的数量积的最值或范围） 】 【考点3：利用数量积求夹角】 【考点4：空间向量的投影（投影向量）】 【考点5：空间向量中的模（距离，长度）】 【考点6：利用数量积证明垂直问题】 【考点1：空间向量的数量积（求空间向量的数量积） 】 1．正方体的棱长为1，则（    ） A．1 B．0 C． D．2 2．棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（    ）    A．1 B．－1 C． D． 3．在正三棱锥中，是的中心，，则等于（ ） A． B． C． D． 4．在正四面体中，棱长为2，且是棱中点，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D．7 5．已知，则（    ） A．-1 B．1 C．0 D．-2 6．如图，正四面体ABCD的棱长为2，点E，F分别为棱AD，BC的中点，则的值为（    ） A．4 B． C． D．2 7．已知向量和的夹角为，且，，则（    ） A．12 B． C．4 D．13 8．已知正四面体，底面边长为2，侧棱中点为E，则 ． 9．正四面体的棱长为2，设，，，则 . 【考点2： 空间向量的数量积（空间向量的数量积的最值或范围） 】 10．正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．已知棱长为2的正方体内有一内切球，点在球的表面上运动，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 13．已知圆锥的底面半径为2，点P为底面圆周上任意一点，点Q为侧面（异于顶点和底面圆周）上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．多选题正四面体中，棱长为．点满足，则的（    ） A．最小值为． B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 15．已知空间向量、、满足：，，若，则的取值范围为 ． 16．已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是 ． 17．正三棱锥中，底面边长，侧棱，向量，满足，，则的最大值为 . 18．某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，是底面圆的一条直径，是侧面上一动点，则的最小值为 ． 19．已知正四面体的棱长为4，空间内动点满足，则的最大值为 . 【考点3：利用数量积求夹角】 20．已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 21．在空间四边形中，，，则的值为（    ） A． B． C． D．0 22．已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 23．已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 24．已知空间向量，，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【考点4：空间向量的投影（投影向量）】 25．在正三棱柱中，若，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 26．如图所示，已知平面ABC，，，则向量在向量上的投影向量是   .    27．已知，向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影为 ． 28．如图，在棱长为1的正方体中，向量在向量上的投影向量是 ，向量在直线上的投影向量是 ，向量在平面上的投影向量是 ．   【考点5：空间向量中的模（距离，长度）】 29．如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且，则向量的模长为（    ） A． B．34 C．52 D． 30．已知、为空间中的两个非零向量，模长均为2，它们的夹角为45°，那么（    ） A．20 B． C．2 D． 31．已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则（    ） A． B． C．2 D． 32．如图，在四面体中，，，，点为的重心，则的长是（    ）      A． B． C． D． 33．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且与，的夹角都等于若是的中点，（    ）    A． B． C． D． 34．如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（    ）    A． B． C．4 D．2 35．已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则 . 36．已知空间向量的模长分别为，且两两夹角均为.点为的重心，若，，则 . 37．平行六面体中，， ，，，则向量 的模长 . 【考点6：利用数量积证明垂直问题】 38．如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 39．如图，正方体的棱长为a． (1)求和的夹角； (2)求证：． 40．如图，在平行六面体中，，，，M，N分别为，中点． (1)求的长； (2)证明：． 41．如图，在棱长为1的正方体中，G、H分别是侧面和的中心．设，，． (1)用向量、、表示、； (2)求； (3)判断与是否垂直． 42．如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，D，E分别是OC，AB的中点，记，，. (1)用向量表示向量； (2)求证. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1.2 空间向量的数量积运算 （六大考点） 【考点1：空间向量的数量积（求空间向量的数量积） 】 【考点2： 空间向量的数量积（空间向量的数量积的最值或范围） 】 【考点3：利用数量积求夹角】 【考点4：空间向量的投影（投影向量）】 【考点5：空间向量中的模（距离，长度）】 【考点6：利用数量积证明垂直问题】 【考点1：空间向量的数量积（求空间向量的数量积） 】 1．正方体的棱长为1，则（    ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】根据空间向量数量积的运算律，结合垂直关系即可求解. 【详解】, 故选：A 2．棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（    ）    A．1 B．－1 C． D． 【答案】A 【分析】由求解即可． 【详解】，所以． 故选：A． 3．在正三棱锥中，是的中心，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合正三棱锥的结构特征求出，再利用数量积的运算律计算即得. 【详解】在正三棱锥中，为正的中心，， 则平面，而平面，于是，，且， 所以. 故选：D 4．在正四面体中，棱长为2，且是棱中点，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D．7 【答案】A 【分析】利用正四面体的性质，结合空间向量数量积的运算法则即可得解. 【详解】将正四面体放在正方体中，如图，    因为在正四面体中，棱长为2，两两夹角为， 所以， 因为是棱中点，所以， 又， 所以 . 故选：A. 5．已知，则（    ） A．-1 B．1 C．0 D．-2 【答案】A 【分析】由向量的加法，乘法的坐标运算得出结果. 【详解】由已知可得, ， 则， 故选：A 6．如图，正四面体ABCD的棱长为2，点E，F分别为棱AD，BC的中点，则的值为（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据数量积的运算律即可结合数量积的定义即可求解. 【详解】 ， ． 故选：C． 7．已知向量和的夹角为，且，，则（    ） A．12 B． C．4 D．13 【答案】D 【分析】根据空间数量积的运算性质求解． 【详解】． 故选：D． 8．已知正四面体，底面边长为2，侧棱中点为E，则 ． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算、数量积的运算即可求解. 【详解】因为正四面体，底面边长为2，侧棱PB中点为E， 所以 . 故答案为：. 9．正四面体的棱长为2，设，，，则 . 【答案】 【分析】根据空间向量数量积的定义及运算律计算可得. 【详解】在正四面体中，， 又，，， 所以. 故答案为： 【考点2： 空间向量的数量积（空间向量的数量积的最值或范围） 】 10．正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量数量积的运算律可知，，进一步只需求出即可得解. 【详解】由题意等于正方体的体对角线长，设点为的中点， 所以， 则 ， 当点与某个侧面的中心重合时，最小，且， 当点与正方体的顶点重合时，最大，且， 由于点是在正方体表面连续运动，所以的取值范围是， 的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用球心，将转化为，然后分析点位置即可. 11．已知棱长为2的正方体内有一内切球，点在球的表面上运动，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，设出点，可知，所以表示点与点之间距离的平方，分析求解即可. 【详解】以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，设点， 所以，， 所以， 因为表示点与点之间距离的平方， 所以当点的坐标为时，取得最大值为， 当与点重合时，取得最小值， 所以的取值范围为：. 故选：A. 12．已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点，根据空间向量的数量积运算得，判断的最大值即可求解. 【详解】取中点，可知在球面上，可得， 所以，      点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，当为直径时，， 所以的最大值为. 故选：B. 13．已知圆锥的底面半径为2，点P为底面圆周上任意一点，点Q为侧面（异于顶点和底面圆周）上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算及数量积公式结合夹角余弦的范围计算即可. 【详解】 如图所示，延长交底面圆周于B，过Q作底面圆于G点， 显然， 由题意可知， 所以的取值范围为. 故选：A 14．多选题正四面体中，棱长为．点满足，则的（    ） A．最小值为． B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 【答案】BC 【分析】由题意，确定点在球上，根据空间向量的线性运算和数量积的运算求得的表达式，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】设的中点，则，即， 又，所以， 即点落在以为球心，以1为半径的球上. 因为，所以. 由正四面体的棱长为，得， 所以， 设，则， 又，所以， 即的最大值为，最小值为. 故选：BC 15．已知空间向量、、满足：，，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据得到，根据求出，从而得到 【详解】因为，所以， 故， ， 故， . 故答案为： 【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路： ①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用平面向量的运算，向量中的不等关系把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 16．已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】先建立方程，再用表示，接着用表示，最后判断当时取最小值并求点的坐标. 【详解】因为点在直线上运动，， 所以，则，则，则，， 所以， 时，取最小值，此时， 故答案为： 17．正三棱锥中，底面边长，侧棱，向量，满足，，则的最大值为 . 【答案】4 【分析】利用向量运算化简变形，设，将向量等式转化为两动点轨迹为均为球面，再利用球心距求两球面上任意两点间距离最大值即可. 【详解】已知正三棱锥，则，且， 由化简得， 由化简得. 设，代入，， 分别化简得，且， 故点在以为直径的球面上，半径； 点在以为直径的球面上，半径 分别取线段、的中点、， 则， 故. 故答案为：4 【点睛】将向量的代数关系转化为动态的几何表达，借助几何意义求解动点间的距离最值是解决本类题型的关键所在. 18．某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，是底面圆的一条直径，是侧面上一动点，则的最小值为 ． 【答案】-1 【分析】 根据向量的加减运算结合数量积的运算律化简为，结合圆锥的结构特征求得的最小值，即可求得答案. 【详解】设圆锥底面圆的圆心O，则， 则圆锥的高， ， 当垂直于过P点的母线时，长最小，即为， 故的最小值为， 故答案为：-1 19．已知正四面体的棱长为4，空间内动点满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用空间向量的线性运算得到轨迹，再把目标式表示为函数，利用三角函数有界性求解即可. 【详解】   设的中点为，因为动点满足，所以， 即点在以为球心，以为半径的球面上. 因为，所以. 因为正四面体的棱长为4，所以， 在三角形中，，. 取的中点为，， 所以在上的投影向量的模为，所以. 设，夹角为， 所以. 因为， 所以，即的最大值为. 故答案为： 【考点3：利用数量积求夹角】 20．已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将两边平方，利用空间向量的数量积即可求解. 【详解】设与的夹角为， 由得，两边平方得 ， 所以， 所以， 所以. 故选：D. 21．在空间四边形中，，，则的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】先利用题给条件求得的值，进而求得的值. 【详解】如图所示， ∵ ， 又，， 则 ∴，∴，. 故选：D 22．已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数量积的运算律以及模长公式，结合夹角公式即可代入求解. 【详解】由，的夹角为，且，得， ， 设与的夹角为，则， 由于，故 故选：A 23．已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】C 【分析】由，利用向量数量积的运算律有，即可求与的夹角大小. 【详解】由题设，则， 所以，又，可得，即. 故选：C 24．已知空间向量，，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件可得两边同时平方化简可得，再计算可得，从而求出答案． 【详解】因为，所以， 所以， 因为， 所以，即， 因为， 所以，即与的夹角为． 故选：D． 【考点4：空间向量的投影（投影向量）】 25．在正三棱柱中，若，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图建系，求得各点坐标，可得，根据投影向量的求法，代入公式，即可得答案. 【详解】过作 ，分别以为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 设正三棱柱的棱长为2， 则， 所以， 所以在上的投影向量为. 故选：B 26．如图所示，已知平面ABC，，，则向量在向量上的投影向量是   .    【答案】 【分析】 由余弦定理先求，再由投影向量的概念求解 【详解】在中，由余弦定理得，， 而平面ABC，，故，， 在中，， 即，得 故向量在向量上的投影向量是 故答案为： 27．已知，向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影为 ． 【答案】 【分析】 根据投影的定义结合已知条件求解即可. 【详解】 因为，向量为单位向量，， 所以向量在向量方向上投影为． 故答案为： 28．如图，在棱长为1的正方体中，向量在向量上的投影向量是 ，向量在直线上的投影向量是 ，向量在平面上的投影向量是 ．    【答案】 （答案不唯一） 【分析】 根据投影向量的定义，结合正方体的几何性质以及线面垂直的判定与性质定理，可得答案. 【详解】 （1）方法一：在正方体中，易知，， 向量与向量夹角为45°，，， 所以向量在向量上的投影向量是． 方法二：设，如图，由正方体的性质可得，，， 向量在向量上的投影向量是． （2）如图，连接，过作，垂足为H，则在直线上的投影向量就是， 在正方体中，易知平面，因为平面，所以， 在中，，，，，． 所以向量在直线上的投影向量是． （3）如图，连接AC，交BD于点O，易证，， 由，平面，则平面， 所以在平面上的投影向量就是，易知．    故答案为：；；（答案不唯一） 【考点5：空间向量中的模（距离，长度）】 29．如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且，则向量的模长为（    ） A． B．34 C．52 D． 【答案】D 【分析】由，结合向量数量积的运算律求向量的模长. 【详解】由，又底面是正方形，，且， 所以 ， 故. 故选：D 30．已知、为空间中的两个非零向量，模长均为2，它们的夹角为45°，那么（    ） A．20 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】结合空间向量数量积的定义以及空间向量数量积的运算律即可求出结果. 【详解】 ， 故选：D. 31．已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】转化为空间向量的数量积计算可求出结果. 【详解】 . 故选：B 32．如图，在四面体中，，，，点为的重心，则的长是（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算得出，再利用空间向量数量积的运算性质可求得的长. 【详解】因为为的重心，则， 即，所以，， 所以， ，故. 故选：C. 33．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且与，的夹角都等于若是的中点，（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两边平方化简可得答案. 【详解】，，， 是的中点，， ，， ， 所以. 故选：A. 34．如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（    ）    A． B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】根据题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由二面角的平面角的定义知， ∴， 由，得，又， ∴ ， 所以，即. 故选：C. 35．已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则 . 【答案】 【分析】利用空间向量数量积的运算法则计算即得. 【详解】单位向量两两夹角均为，则， 所以 . 故答案为： 36．已知空间向量的模长分别为，且两两夹角均为.点为的重心，若，，则 . 【答案】 【分析】设中点为，可得，由向量线性运算可求得，由平面向量数量积定义和运算法则可求得，进而得到. 【详解】为的重心，设中点为，， ， ， ， . 故答案为：. 37．平行六面体中，， ，，，则向量 的模长 . 【答案】 【解析】画出图形，根据条件得出，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】如图所示，四棱柱中，，，， 且， 所以， 所以 . 故答案为：. 【考点6：利用数量积证明垂直问题】 38．如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 【答案】(1) (2)垂直 【分析】（1）根据数量积的定义直接计算即可； （2）计算与的数量积，根据结果可得答案. 【详解】（1）正方体中，， 故. （2）由题意， ， ， 故与垂直. 39．如图，正方体的棱长为a． (1)求和的夹角； (2)求证：． 【答案】(1)60° (2)证明见解析 【分析】（1）选好基底后，根据空间向量数量积即可求解； （2）利用向量垂直，数量积为0即可得解. 【详解】（1），，． 由于正方体的棱长为a， ，且，，． ，， ． 又，， ． 又， ， 与的夹角为60°． （2）证明：由（1）知，， ， ， ． 40．如图，在平行六面体中，，，，M，N分别为，中点． (1)求的长； (2)证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）设，，，将用表示出来，根据向量的模长公式即可得到结果. （2）将，分别用表示出来，根据，即可证明. 【详解】（1）设，，，则，，，， ． 因为 ， 所以 （2）证明：因为 ， 所以． 41．如图，在棱长为1的正方体中，G、H分别是侧面和的中心．设，，． (1)用向量、、表示、； (2)求； (3)判断与是否垂直． 【答案】(1)， (2) (3)垂直 【分析】根据向量的线性运算法则和向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解. 【详解】（1）解：根据空间向量的运算法则，可得， . （2）解：根据空间向量的运算法则和数量积的运算公式，可得， 则. （3）解：根据空间向量的运算法则，可得； 则， 所以与垂直． 42．如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，D，E分别是OC，AB的中点，记，，. (1)用向量表示向量； (2)求证. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）通过空间向量的加减和数乘运算，结合图形即可得到答案； （2）通过空间向量数量积的运算即可证明. 【详解】（1）根据题意， . （2）根据题意，相互之间的夹角为，且模均为1，由（1） ， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$