专题1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（八大考点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（八大考点） 【考点1：利用空间向量求点线距】 【考点2： 利用空间向量求点面距 】 【考点3：转化与化归思想在求空间距离中的应用 】 【考点4：利用向量方法求两异面直线所成角（定值）】 【考点5：利用向量方法求直线与平面所成角】 【考点6：已知直线与平面所成角求参数】 【考点7：利用向量方法求两个平面的夹角（定值）】 【考点8：已知平面与平面所成角求参数 【考点1：利用空间向量求点线距】 1．在空间直角坐标系中，已知，则点A到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．将一块模板放置在空间直角坐标系中，其位置及坐标如图所示，则点A到直线BC的距离为（    ） A． B． C． D． 3．空间点，则点到直线的距离（    ） A． B． C． D． 4．已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 5．已知空间向量，，则B点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 6．已知空间直角坐标系中的三点、、，则点A到直线BC的距离为 ． 【考点2： 利用空间向量求点面距 】 7．已知正方体的棱长为，则点到面的距离为（    ） A． B． C． D． 8．在空间直角坐标系中，O为坐标原点，若，，，则点到平面的距离为 . 【考点3：转化与化归思想在求空间距离中的应用 】 9．在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（    ） A． B． C． D． 10．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中，直线AC与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 11．在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 12．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，若M、N分别为棱、的中点，O为中点． (1)求证：平面平面； (2)求点N到平面的距离． 13．如图，在三棱锥中，平面，、分别为、的中点，且，，． (1)证明：平面． (2)求到平面的距离． 14．如图，在长方体中，为线段的中点，为线段的中点． (1)求点到直线的距离； (2)求点到平面的距离． 15．如图，在四棱锥中，底面 ．    (1)求证：平面． (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求点A到平面的距离． 【考点4：利用向量方法求两异面直线所成角（定值）】 16．如图是一棱长为的正方体，则异面直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 17．如图，点，，分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，已知，，垂足，为两个不同的点，且，设直线与所成的角为，二面角的大小为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 18．如图，已知棱长为2的正方体，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角为（    ） A． B． C． D． 19．直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 20．已知四棱锥的底面为直角梯形，， 底面，且，，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 21．如图，是一个由棱长为的正四面体沿中截面所截得的几何体，则异面直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 22.在正四棱锥中，为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 23．在四棱锥中，底面为正方形，底面分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 24．正方体中，M是中点，则异面直线CM与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 25．在正方体中，分别为和的中点，则异面直线与.所成角的余弦值是（    ） A．0 B． C． D． 26．如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为 ． 【考点5：利用向量方法求直线与平面所成角】 27．如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，P为上一点，，且． (1)求λ的值； (2)求异面直线PC与所成角的余弦值． 28．如图，在正方体中，已知棱长为4，点E，F分别在，上，. (1)求异面直线AE和所成角的余弦值; (2)求直线AE和平面所成角的正弦值； (3)求平面和平面所成角的余弦值. 29．在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，，，点在上，且．    (1)求异面直线与夹角的余弦值； (2)求点到平面的距离． 30．如图所示，已知正方体的棱长为分别是的中点，是上一点，且. (1)证明： 平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【考点6：已知直线与平面所成角求参数】 31．如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，为线段上的动点，.    (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的大小为，请确定点的位置. 【考点7：利用向量方法求两个平面的夹角（定值）】 32．如图，为正方体． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 33．如图，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求二面角的余弦值. 34．如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为梯形，，，，，，，交于点，点在线段上，且. (1)证明：平面. (2)求二面角的正弦值. 35．在四棱锥中，底面是正方形，若为上一点，平面交于. (1)求证：平面平面； (2)证明： ； (3)求二面角的平面角的余弦值. 36．如图，三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，其对角线的交点为，且，． (1)求证：平面； (2)设，若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角的正弦值． 【考点8：已知平面与平面所成角求参数 37．已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 38．如图，在直三棱柱中，是以BC为斜边的等腰直角三角形，，D、E分别为BC、上的点，且． (1)若，求证：∥平面； (2)若平面与平面ACD的夹角为，求实数t的值． 39．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，，，是边长为2的等边三角形，，是线段的中点. (1)求证：平面平面； (2)若，是否存在，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（八大考点） 【考点1：利用空间向量求点线距】 【考点2： 利用空间向量求点面距 】 【考点3：转化与化归思想在求空间距离中的应用 】 【考点4：利用向量方法求两异面直线所成角（定值）】 【考点5：利用向量方法求直线与平面所成角】 【考点6：已知直线与平面所成角求参数】 【考点7：利用向量方法求两个平面的夹角（定值）】 【考点8：已知平面与平面所成角求参数 【考点1：利用空间向量求点线距】 1．在空间直角坐标系中，已知，则点A到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量法求出点到直线距离即可. 【详解】，， . 故选：A. 2．将一块模板放置在空间直角坐标系中，其位置及坐标如图所示，则点A到直线BC的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用空间点到直线距离公式计算即得. 【详解】依题意，，， 所以点A到直线BC的距离. 故选：A 3．空间点，则点到直线的距离（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，利用空间向量夹角余弦公式求出，进而求出，再利用距离公式即可求出结果. 【详解】由题意得， 所以， 所以， 所以点A到直线BC的距离. 故选：D. 4．已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算向量以及向量的模，根据点到直线距离的向量公式直接计算即可. 【详解】点，点. 又直线的方向向量为 所以点到的距离. 故选：B. 5．已知空间向量，，则B点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点到直线的空间向量距离公式求出答案. 【详解】，，故在上的投影向量的模为， 故B点到直线的距离为. 故选：A 6．已知空间直角坐标系中的三点、、，则点A到直线BC的距离为 ． 【答案】/ 【分析】求出直线的方向向量，再利用点到直线距离公式计算即得. 【详解】依题意，， 所以点A到直线BC的距离. 故答案为： 【考点2： 利用空间向量求点面距 】 7．已知正方体的棱长为，则点到面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出面的法向量为，则到平面的距离，即可得出答案. 【详解】解：以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，    所以， ， 设面的法向量为， ， 所以， 令，则， 所以， ， 所以到平面的距离， 故选：C. 8．在空间直角坐标系中，O为坐标原点，若，，，则点到平面的距离为 . 【答案】 【分析】求出平面的法向量后，再计算到平面的法向量的投影即可得. 【详解】由题意可得，， 设平面的法向量为， 则有，即， 可取，则、，即， 则点到平面的距离为. 故答案为：. 【考点3：转化与化归思想在求空间距离中的应用 】 9．在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】如图，以点为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则. 所以， 设为直线和的公垂线的方向向量， 则有，可取， 所以异面直线和的距离为. 故选：A. 10．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中，直线AC与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法1：设是上任意一点，过作，垂足为，设，，根据垂直关系可得，根据题意结合数量积运算求解；解法2：建系，利用坐标法结合向量投影运算求解. 【详解】解法1：设是上任意一点，过作，垂足为， 设，， 则 ， ， 由题意可知：， 因为，则， 可得，则， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以直线与之间距离是； 解法2：以DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 可得，， 设，且，，则， 取，则，，可得， 则在上的投影就是两异面直线间的距离. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解法2解决的关键是将两异面直线间的距离转化为在上的投影，从而得解. 11．在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，， 所以, 设平面的法向量为，则 ，令，则， 因为，平面，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为 . 故选：D.      12．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，若M、N分别为棱、的中点，O为中点． (1)求证：平面平面； (2)求点N到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证面面垂直，可以先证线线垂直，线面垂直，再证面面垂直即可， （2）建立空间直角坐标系，求出及平面的法向量，采用向量法来求点到平面的距离． 【详解】（1）平面，面， ，． 矩形， ，故、、两两垂直． 分别以、、所在直线为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示． 则，，，，． ，，， 设平面的法向量为，则可取， 设平面的法向量为，，，则可取， ， ， 平面平面． （2）解：设平面的法向量为． ，， 由得可取 ，平面的法向量为 ， ． 13．如图，在三棱锥中，平面，、分别为、的中点，且，，． (1)证明：平面． (2)求到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先利用勾股定理得出，再利用平面，证，最后根据线面垂直的判定定理即可证明平面；’ （2）根据已知条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求距离即可. 【详解】（1）因为、分别为、的中点，所以为的中位线， 所以，，因为，所以； 在中，，，，所以， 所以，即； 因为平面，平面，所以； 又平面，平面，，所以平面. （2） 由（1）可知、、两两垂直， 建立如图所示分别以、、为、、轴的空间直角坐标系， ，，，， ，，， 设平面的法向量为，则有， 即，令，则，，所以， 设到平面的距离为，则. 14．如图，在长方体中，为线段的中点，为线段的中点． (1)求点到直线的距离； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，即可写出，代入即求出点到直线的距离； （2）求出平面的法向量，写出，代入求出点到平面的距离. 【详解】（1）建立如图所示：空间直角坐标系， 则 所以, 所以点到直线的距离. （2）, 设平面的法向量为：， 则， 取，则， 所以点到平面的距离为. 15．如图，在四棱锥中，底面 ．    (1)求证：平面． (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求点A到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据，可得平面． （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面，平面，平面的法向量，由条件求得，再求点A到平面的距离． 【详解】（1）底面平面． ． 又平面． （2）   设，取的中点E，易得三角形是正三角形，． 又底面平面，． 在中，所以， 可建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ． 设平面的一个法向量为，则 即令，得． 设平面的一个法向量为，则 即令，得． 所以，． 设平面的一个法向量为， 则即令，得． ∴点A到平面的距离为． 【考点4：利用向量方法求两异面直线所成角（定值）】 16．如图是一棱长为的正方体，则异面直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出与和垂直的向量坐标，求出异面直线间的距离. 【详解】以D为原点，DA，DC，分别为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系， 则，，设与和都垂直， 则，即，取，又因为， 所以异面直线和间的距离为. 故选：B. 17．如图，点，，分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，已知，，垂足，为两个不同的点，且，设直线与所成的角为，二面角的大小为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由直线与直线夹角和二面角的范围求解即可. 【详解】由题意可知，， . 且由图可知二面角为锐角，. 故选：A 18．如图，已知棱长为2的正方体，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用空间向量夹角公式即可求解. 【详解】如图分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设异面直线与所成角为， 则 ， 所以异面直线与所成角为. 故选：D. 19．直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，以为原点，建立空间直角坐标系，求出异面直线与所在直线的方向向量，由空间向量夹角的余弦值的坐标公式求解即可. 【详解】以为原点，在平面中过作的垂线交于， 以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为直三棱柱中，， 设， 所以，，，， ，， 设异面直线与所成角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：. 20．已知四棱锥的底面为直角梯形，， 底面，且，，则异面直线与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标，利用空间向量法计算可得. 【详解】四棱锥的底面为直角梯形，，， 底面，且，， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 设直线与所成角为，则， 直线与所成角的余弦值为． 故选：B 21．如图，是一个由棱长为的正四面体沿中截面所截得的几何体，则异面直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】补形成正四面体，记，利用基底求出，代入夹角公式即可求解. 【详解】补形成正四面体，如图. 记，则， 由正四面体的性质和题意可知，， 所以， ， 所以， 所以，异面直线与的夹角的余弦值为. 故选：D. 22.在正四棱锥中，为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算可得，，即可根据向量夹角的余弦公式即可求出的值，然后即可得出异面直线，所成角的余弦值． 【详解】如图，为的中点， ，且，， 由于,故，则，， ， 又， ． 故异面直线所成角的余弦值为 故选：D． 23．在四棱锥中，底面为正方形，底面分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，得出直线方向向量，利用夹角公式计算即可得. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设， 则，，，， 由分别为的中点，则，， 则，，设异面直线与的夹角为， . 故选：A. 24．正方体中，M是中点，则异面直线CM与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，利用空间向量法求线线角即可求解. 【详解】 建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则， 得， 所以， 即直线与所成角的余弦值为. 故选：D 25．在正方体中，分别为和的中点，则异面直线与.所成角的余弦值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，转化为求解两向量夹角的余弦值即可. 【详解】设正方体棱长为，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 则， 由异面直线与.所成角为锐角， 则余弦值面直线与.所成角的余弦值为. 故选：B. 26．如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】由面面垂直的性质定理结合题意可证得，，两两垂直，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，分别表示出，，再由异面直线所成角的向量公式代入即可得出答案. 【详解】取的中点，连接，，因为，所以． 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面．又，所以， 可得，，两两垂直，所以以为坐标原点， ，，的方向分别为，，轴的正方向， 建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，，所以， ， 所以， 又异面直线所成角的取值范围为， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 故答案为：. 【考点5：利用向量方法求直线与平面所成角】 27．如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，P为上一点，，且． (1)求λ的值； (2)求异面直线PC与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，表示出的坐标，根据，可得，即可求得答案； （2）根据空间角的向量求法，即可求得答案. 【详解】（1） 设正三棱柱的棱长为2，分别取AC、中点为O、点，连接OB，． 因为为等边三角形，所以，，． 又O、点分别为AC、的中点，所以． 又由正三棱柱的性质可知，平面ABC，所以平面ABC． 以点O为坐标原点，分别以OB、OC、所在的直线为x、y、z轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，，，， 所以． 因为，所以， 所以有，解得． （2）由（1）可知：， 所以， 所以异面直线PC与所成角的余弦值为． 28．如图，在正方体中，已知棱长为4，点E，F分别在，上，. (1)求异面直线AE和所成角的余弦值; (2)求直线AE和平面所成角的正弦值； (3)求平面和平面所成角的余弦值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）（3）根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用空间角的向量求法分别求出线线角、线面角、面面角. 【详解】（1）在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 于是，， 所以异面直线AE和所成角的余弦值. （2）由（1）知，，， 设平面的法向量为，则，令，得， 于是， 所以直线AE和平面所成角的正弦值. （3）由（2）知，平面的法向量，显然平面为， 则， 所以平面和平面所成角的余弦值为. 29．在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，，，点在上，且．    (1)求异面直线与夹角的余弦值； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与夹角的余弦值. （2）利用向量法求得点到平面的距离． 【详解】（1）依题意可知两两相互垂直， 以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示， 可得， ，， 即异面直线与夹角的余弦值为.    （2）设平面的一个法向量， ， 由，得，于是平面的一个法向量， 点到平面的距离． 30．如图所示，已知正方体的棱长为分别是的中点，是上一点，且. (1)证明： 平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）建立空间直角坐标系，得到点的坐标，从而得到平面的法向量，证明出线面平行； （2）利用线面角的正弦公式进行求解. 【详解】（1）证明：如图，以点为原点，分别以直线，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 所以. 设平面的法向量为， 由得，取，则， 可取. 因为在平面外， 所以 平面. （2）因为，平面的法向量， 设直线与平面所成角为， 故， 直线与平面所成角的正弦值为. 【考点6：已知直线与平面所成角求参数】 31．如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，为线段上的动点，.    (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的大小为，请确定点的位置. 【答案】(1)证明见解析 (2)点为线段的一个三等分点. 【分析】（1）取的中点，由面面垂直的性质定理可得平面，可得，根据RtRt可得，再由线面垂直的判定定理和性质定理可得答案； （2）取的中点，以点为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，设，求出，可得平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，再利用线面角的向量求法可得答案. 【详解】（1）取的中点，连接， ， 平面平面，平面平面， 平面， 平面平面， ， RtRt， ， ， ， 平面平面， 平面平面； （2）取的中点，连接， 为的中点，为的中点，四边形为矩形，， 两两垂直，以点为坐标原点， 分别为轴,建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， 设，有， 有， 设平面的法向量为， 由，有 取，可得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 又由，有， ， 可得， 又由，有，解得或， 故若直线与平面所成的角为，则点为线段的一个三等分点.    【考点7：利用向量方法求两个平面的夹角（定值）】 32．如图，为正方体． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明详见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由向量垂直证明； （2）利用向量法，线面角的求法求解. 【详解】（1）解：如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1， 则 因为 ， 且， 所以 ， 又，平面， 所以 平面； （2）由（1）可知，为平面AB1C的一个法向量， 又， 所以 所以直线B1C1与平面AB1C所成角的正弦值为， 故直线B1C1与平面AB1C所成角的余弦值为 33．如图，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由平面平面进行求证； （2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，由线面角的向量表示求解； （3）求出两个平面的法向量，由面面角的向量表示求解． 【详解】（1）因为，平面平面， 所以平面，同理可知：平面， 因为，所以平面平面， 因为，所以平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系， 则 得， 设为平面的法向量， 则有，得，所以， 设直线与平面所成角为，所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）设为平面的法向量， 则有，得，所以， 所以， 由图知，二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 34．如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为梯形，，，，，，，交于点，点在线段上，且. (1)证明：平面. (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形边角关系可证明相似，即可得,即可求证， （2）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求解即可. 【详解】（1）平面平面，且两平面交于，又， 平面. 在中，，，. 且，是等腰直角三角形， ，. ，， 又，为等腰直角三角形，. ，， 又，所以，平面,平面， 平面. （2）由（1）得平面，且，所以建立如图所示空间直角坐标系. 可得，，， 即，. 设平面的法向量为，则， 解得. 平面的法向量为. 设二面角为，所以， 则. 35．在四棱锥中，底面是正方形，若为上一点，平面交于. (1)求证：平面平面； (2)证明： ； (3)求二面角的平面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明即可； （2）由线线平行的性质定理可以得到线线平行； （3）建立空间直角坐标系求解即可. 【详解】（1）中，，所以， 所以； 又平面平面，所以平面； 又平面，所以平面平面. （2）因为为上一点，平面交于，底面是正方形，所以 ， 又平面平面 平面， 又平面平面， ， . （3）取的中点，在平面内作， 以所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，因为平面， 所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 由，得，即， 令，得，所以； 所以， 且由图可知二面角为锐角，所以二面角的平面角的余弦值为. 36．如图，三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，其对角线的交点为，且，． (1)求证：平面； (2)设，若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明平面，得到，再证明，由线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可． 【详解】（1）因为四边形是菱形，所以，因为，，平面，所以平面， 因为平面， 所以，又，是的中点， 所以，又因为，平面； 所以平面； （2）因为， 所以直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 因为平面， 所以直线与平面所成的角即为，即， 因为菱形的边长为2，，则在等边三角形中，，， 在中，， 以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 由平面的一个法向量为， ， 设平面与平面所成角为，， 所以，即平面与平面所成角的正弦值为． 【考点8：已知平面与平面所成角求参数 37．已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 【答案】B 【分析】利用向量的夹角公式列方程求解即可 【详解】因为 所以， 因为平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，化简得，解得或1． 故选：B 38．如图，在直三棱柱中，是以BC为斜边的等腰直角三角形，，D、E分别为BC、上的点，且． (1)若，求证：∥平面； (2)若平面与平面ACD的夹角为，求实数t的值． 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）当时可得点D、E分别为BC、的中点，连接DE，可证得四边形是平行四边形，则，然后由线面平行的判定定理可证得结论； （2）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：当时，， 即点D、E分别为BC、的中点. 在直三棱柱中，，， 所以四边形为平行四边形， 如图，连接DE. 则，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以. 又因为平面，平面， 所以∥平面. （2）解：平面ABC，又， 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系. 则点，，，，， 所以，，，， 所以. 设平面的法向量为， 则，令，则. 又平面ADC的法向量为， 因为平面与平面ACD的夹角为， 所以 即，得， 解得或. 又因为，所以. 39．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，，，是边长为2的等边三角形，，是线段的中点. (1)求证：平面平面； (2)若，是否存在，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）先在中，利用余弦定理求得，再由勾股定理可证，然后结合，利用线面垂直、面面垂直的判定定理，即可得证； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面的夹角的方法列出关于参数的方程，即可得解． 【详解】（1）证明：在中，由余弦定理知，， 所以，即， 因为，且，、平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，0，，，0，，，，，，，，，0，，，，， 所以，0，，，，，，，， ，0，，，，， 所以，0，，，，，， 设平面的法向量为，，，则， 即， 取，则，，所以，，， 设平面的法向量为，，，则，即， 取，则，，所以，，， 因为平面和平面夹角的余弦值为， 所以， 整理得，，即， 解得或， 因为，所以， 故存在，使得平面和平面夹角的余弦值为，此时． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$