专题1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（五大考点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（五大考点） 【考点1：平面的法向量及其求法】 【考点2： 利用向量方法证明线线平行】 【考点3：利用向量方法证明线面/面面平行】 【考点4：利用向量方法证明线线垂直】 【考点5：利用向量方法证明线面/面面垂直】 【考点1：平面的法向量及其求法】 1．若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 2．已知点，，，则下列向量是平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 3．已知平面内的两个向量，，则该平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 4．已如点，，者在平面内，则平面的一个法向量的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 5．若，，则以下向量中，能成为平面的法向量的是（　　） A． B． C． D． 6．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面的一个法向量为（    ）    A． B． C． D． 7．多选题已知平面的一个法向量为，点在内，则下列点也在内的是（    ） A． B． C． D． 8．多选题已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列点中不在平面内的是（    ） A． B． C． D． 9．多选题在如图所示的空间直角坐标系中，为棱长是1的正方体，下列结论正确的是（　　）    A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 10．在空间直角坐标系中，向量，是平面的一个法向量，若平面，则 ． 11．已知四边形是直角梯形，，平面， ， ，则平面的一个法向量为 12．已知直线的方向向量，平面的法向量.若，则 . 【考点2： 利用向量方法证明线线平行】 13．已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（    ） A． B． C． D．4 14．已知为平面的一个法向量，为平面的一个法向量，且，则（    ） A． B． C．2 D．4 15．如图，在正方体，中，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点． (1)证明：∥平面； (2)证明： 【考点3：利用向量方法证明线面/面面平行】 16．如图，在正方体中，，，，点M，N分别是，的中点．    (1)试用，，表示． (2)求证：平面． 17．如图所示，四边形为矩形，平面，，，，分别是，，的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 18．如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 19．如图，已知多面体是由正四棱锥P-ABCD与正方体组合而成的，且.    (1)求证：平面； (2)若，求四棱锥的体积. 20．如图，正方体的棱长为4，点为棱的中点，分别为棱，上的点，且交于点． (1)求证：平面； (2)求证：四边形为平行四边形，并计算其面积． 21．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，为的中点，求证：直线平面. 22．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，E为PD的中点，.求证：PB平面AEC； 23．如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面相交于AD，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，．求证：平面CDE．    【考点4：利用向量方法证明线线垂直】 24．如图，在三棱柱中，平面分别是的中点．求证：． 25．如图，在三棱锥 中，平面，，E，F，M分别为AP，AC，PB的中点，求证： 26．如图所示，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，上的动点，且，其中，以O为原点建立空间直角坐标系. (1)求证：； (2)若，求的值. 27．如图，在正方体中，E，F分别是，的中点． (1)求证：； (2)求证：平面 28．如图，在直三棱柱中，，点D是AB的中点．求证：    (1)； (2) 平面. 【考点5：利用向量方法证明线面/面面垂直】 29．如图所示，在直三棱柱中，，，，E为的中点，证明：平面平面. 30．如图，在直三棱柱中，，，，.当时，求证：平面； 31．如图，在四棱锥中，已知平面，直线与平面所成的角是，底面ABCD是菱形，，，点E，F分别为BC，PD的中点，Q是直线PC与平面AEF的交点．    (1)求证：平面平面； (2)求三棱锥体积． 32．如图所示，在棱长均相等的平行六面体中分别为线段的中点． (1)设，请以向量表示； (2)求证：平面平面． 33．如图，直四棱柱的底面是边长为2的菱形，且，E为棱AD的中点，．求证：平面． 34．如图，直三棱柱中，，，，D为BC的中点，E为上的点，且．求证：平面； 35．如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点．求证：平面； 36．如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面平面． 37．如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，，是的中点，作交于点，且．求证：平面；    38．已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点M为PD中点，.求证：平面平面.（注：必须用向量法做，否则不得分） 39．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，E是的中点，已知，．    (1)求证：； (2)求证：平面平面． 40．如图，已知平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点.求证：平面PCD． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（五大考点） 【考点1：平面的法向量及其求法】 【考点2： 利用向量方法证明线线平行】 【考点3：利用向量方法证明线面/面面平行】 【考点4：利用向量方法证明线线垂直】 【考点5：利用向量方法证明线面/面面垂直】 【考点1：平面的法向量及其求法】 1．若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得直线的方向向量为与平面的法向量垂直，由向量垂直的坐标运算即可求解． 【详解】，则有直线的方向向量为与平面的法向量垂直， 即， 解得． 故选：B． 2．已知点，，，则下列向量是平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】表示出向量，根据法向量定义，依次验证各选项中的向量与是否都垂直即可. 【详解】由题意知：，， 对于A，，， 与均垂直，是平面的一个法向量，A正确； 对于B，，与不垂直， 不是平面的一个法向量，B错误； 对于C，，与不垂直， 不是平面的一个法向量，C错误； 对于D，，与不垂直， 不是平面的一个法向量，D错误. 故选：A. 3．已知平面内的两个向量，，则该平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用法向量的定义、求法进行计算. 【详解】显然与不平行，设该平面的一个法向量为， 则有，即， 令，得，所以，故A,B错误， 令，得，则此时法向量为，故D错误. 故选：C. 4．已如点，，者在平面内，则平面的一个法向量的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出法向量，利用向量垂直得到方程组，取求出，与共线的向量也是法向量，得到答案. 【详解】由，，，得，， 设是平面的一个法向量，则即, 取，则，故，则与共线的向量也是法向量， 经验证，只有C正确.. 故选：C． 5．若，，则以下向量中，能成为平面的法向量的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 设平面的法向量为，根据得到之间的等量关系，分别令与即可求解. 【详解】 设平面的法向量为, 则, 令，可得，故为平面的一个法向量. 令，可得，故为平面的一个法向量. 故选:C. 6．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面的一个法向量为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设，可得、、的坐标，由此可得向量、的坐标，由此可得关于、、的方程组，利用特殊值求出、、的值，即可得答案． 【详解】根据题意，设，则，，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则有，令，可得，则. 故选：B． 7．多选题已知平面的一个法向量为，点在内，则下列点也在内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设为内的点，写出，再根据得方程，最后将点代入验证. 【详解】若为内的点且与P不重合，则， 又平面的一个法向量为，则， 即，显然、不满足，、满足. 故选：BC 8．多选题已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列点中不在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据空间向量的坐标表示，依次判断，，，是否为0即可. 【详解】对于A，，，所以，又因为平面，所以平面. 对于B，，，所以与不垂直，又因为平面，所以平面. 对于C，，，所以与不垂直，又因为平面，所以平面. 对于D，，，所以与不垂直，又因为平面，所以平面. 故选：BCD 9．多选题在如图所示的空间直角坐标系中，为棱长是1的正方体，下列结论正确的是（　　）    A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 【答案】ABC 【分析】求出点的坐标，即可求出直线的方向向量与平面的法向量. 【详解】依题意，，，，，，， 所以，所以直线的一个方向向量为，故A正确； ，所以直线的一个方向向量为，故B正确； ，又平面，所以平面的一个法向量为，故C正确； 又，，因为，所以， 所以向量不是平面的法向量，故D错误； 故选：ABC 10．在空间直角坐标系中，向量，是平面的一个法向量，若平面，则 ． 【答案】8 【分析】由题意得，再根据空间向量平行公式求解即可. 【详解】由题意得，则，得． 故答案为：8 11．已知四边形是直角梯形，，平面， ， ，则平面的一个法向量为 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题设建空间直角坐标系，应用向量法求平面的一个法向量即可. 【详解】由题设，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，则， 设平面SCD的一个法向量为，则， 令，故是平面SCD的一个法向量．    故答案为：（答案不唯一） 12．已知直线的方向向量，平面的法向量.若，则 . 【答案】 【分析】 依题意可得，则，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为直线的方向向量，平面的法向量， 又，所以， 则，解得. 故答案为： 【考点2： 利用向量方法证明线线平行】 13．已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用列式计算即得. 【详解】由，得，即，解得. 故选：C 14．已知为平面的一个法向量，为平面的一个法向量，且，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】由得两个平面的法向量共线，再由向量共线的坐标表示可得答案. 【详解】因为，所以，则， 解得，故. 故选：C. 15．如图，在正方体，中，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点． (1)证明：∥平面； (2)证明： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）建系，求平面的法向量，利用空间向量证明线面平行； （2）由（1）可得：，利用空间向量证明线线垂直. 【详解】（1）如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则， 可得 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为，且平面，所以∥平面. （2）由（1）可得：， 则，所以. 【考点3：利用向量方法证明线面/面面平行】 16．如图，在正方体中，，，，点M，N分别是，的中点．    (1)试用，，表示． (2)求证：平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据点M，N的位置用基底表示向量； （2）证明向量与平面中的向量共线，即可证明平面． 【详解】（1）   因为，所以， 同理，， 所以； （2）证明：因为，所以，即， 因为平面，平面，所以平面． 17．如图所示，四边形为矩形，平面，，，，分别是，，的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由已知可证得两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明； （2）只需证明平面的法向量与平面中的两个向量垂直即可. 【详解】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，    设，，. 则，因为，，分别是，，的中点， 所以，，， 所以. 因为平面的一个法向量为，所以，即. 又因为平面，所以平面. （2）因为，所以，所以， 又平面，所以平面. 又因为，平面， 所以平面平面. 18．如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，P为线段的中点 【分析】（1）根据题意，以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，由法向量平行，即可证明面面平行； （2）由空间向量的坐标运算，由与平面的法向量垂直，代入计算，即可求解. 【详解】（1）证明：以D为原点，DA，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点P使得平面，. 由（1）得，，平面的一个法向量为， 所以. 所以，解得. 所以当P为线段的中点时，平面. 19．如图，已知多面体是由正四棱锥P-ABCD与正方体组合而成的，且.    (1)求证：平面； (2)若，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)9． 【分析】（1）建立空间直角坐标系证明线面平行即可； （2）根据线面垂直结合锥体体积公式计算即可. 【详解】（1）如图以点为原点，为 x 轴为 y 轴为 z 轴建立空间直角坐标系． 设 ,则 ,过 P 作平面 . 是正四棱锥点是正方形的中心, 因为，所以, 设平面法向量为, , , 则, 可得, 所以,,不在平面内，所以平面    （2）因为，所以, 因为平面,所以， 因为,平面,平面,所以平面, 20．如图，正方体的棱长为4，点为棱的中点，分别为棱，上的点，且交于点． (1)求证：平面； (2)求证：四边形为平行四边形，并计算其面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析，面积为. 【分析】（1）构造线线平行证线面平行即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量共线定理证明即可，再利用数量积求夹角 【详解】（1）如图，过点作于点，连接， 由题意得，为的中点， 在正方体中，为的中点，，， 四边形为平行四边形， ， 平面平面， 平面． （2）如图，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则， 四边形为平行四边形， 又， ， ， ∴四边形的面积为． 21．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，为的中点，求证：直线平面. 【答案】证明见解析 【分析】利用空间向量法可证 【详解】因为底面为矩形，底面，所以AB，AD，AO两两互相垂直， 所以分别以AB，AD，AO所在直线为 轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ∴，， 设平面的法向量为， 则，即 ，取，得 所以 又 平面，所以直线平面 22．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，E为PD的中点，.求证：PB平面AEC； 【答案】证明见解析 【分析】由题意可得AB，AD，AP两两互相垂直，所以以A为原点，以AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，然后利用空间向量证明即可. 【详解】证明：因为平面ABCD，且平面ABCD，则， 因为四边形ABCD为正方形，所以， 所以AB，AD，AP两两互相垂直， 如图，以A为原点，以AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得，，. 设平面AEC的法向量为， 则，取，可得， 所以平面AEC的一个法向量为， 可知，即， 又因为平面AEC，所以PB//平面AEC， 23．如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面相交于AD，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，．求证：平面CDE．    【答案】证明见解析 【分析】要证明平面CDE，只要证明向量可以用平面CDE内的两个不共线的向量和线性表示． 【详解】如图，因为M在BD上，且， 所以,同理． 又， 所以 . 又与不共线，根据共面向量定理，可知，，共面． 因为MN不在平面CDE内，所以平面CDE． 【考点4：利用向量方法证明线线垂直】 24．如图，在三棱柱中，平面分别是的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】选择空间中一组基底，利用空间向量数量积公式计算即可. 【详解】选取作为空间的一个基底，设． 由已知条件和三棱柱的性质，得，， ，． 所以 ， 所以，即． 25．如图，在三棱锥 中，平面，，E，F，M分别为AP，AC，PB的中点，求证： 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法证明，从而求解； 【详解】以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图： 则由题意得，，，， ， ， ∴，即：， ∴． 26．如图所示，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，上的动点，且，其中，以O为原点建立空间直角坐标系. (1)求证：； (2)若，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求出的坐标，计算得出，即可得出证明； （2）求出的坐标，根据空间向量的数量积运算，即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，， 所以，，，， 则，， ， ，即. （2）当时，，，， 则，， 所以 . 故：. 27．如图，在正方体中，E，F分别是，的中点． (1)求证：； (2)求证：平面 【答案】(1)见解析； (2)见解析. 【分析】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究空间位置关系即可. 【详解】（1） 如图所示，以D为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为2， 则，所以， 有； （2）由（1）知，设平面的一个法向量为， 则， 令，即， 又，显然， 故平面. 28．如图，在直三棱柱中，，点D是AB的中点．求证：    (1)； (2) 平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据空间向量法证明两个向量垂直. （2）利用空间向量法结合线面平行的判定定理得出结果. 【详解】（1）∵直三棱柱ABC­A1B1C1，， 因为，所以.    ∴两两垂直． 如图，以C为坐标原点，直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则， ， ，. （2）设与的交点为E，则. ， ， . 平面. 平面， ∴ 平面. 【考点5：利用向量方法证明线面/面面垂直】 29．如图所示，在直三棱柱中，，，，E为的中点，证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】由题意得两两垂直．以B为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，求出平面、平面AEC1的一个法向量，证明可得答案. 【详解】由题意得两两垂直，以B为原点，分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，所以， 设平面AEC1的一个法向量为， 则， 令，得，所以， 因为， 所以，所以平面平面. 30．如图，在直三棱柱中，，，，.当时，求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，当时，求得的坐标，求得，得到，结合线面垂直的判定定理，即可得证； 【详解】证明：以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， ， 当时，，所以， 可得，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面. 31．如图，在四棱锥中，已知平面，直线与平面所成的角是，底面ABCD是菱形，，，点E，F分别为BC，PD的中点，Q是直线PC与平面AEF的交点．    (1)求证：平面平面； (2)求三棱锥体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明平面PAD，得，再证明平面AEQF，结合面面垂直判定即可证明. （2）建立空间直角坐标系，利用得Q位置，再利用等体积求解即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 且为直线PC与平面所成的角，所以， 因为是菱形，，，故．所以， 因为点F分别为的中点，，所以． 因为点E为BC的中点，，所以， 又，所以，又平面， 所以平面，又平面，所以． 又平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）分别以所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，    则， 则，， 设， 则， 设平面AEQF的一个法向量为， 则，所以，取． 由，得， 解得，此时． 因此点Q到平面的距离等于点C到平面的距离的， 而点Q到平面的距离等于，又． 于是． 故所求三棱锥体积为． 32．如图所示，在棱长均相等的平行六面体中分别为线段的中点． (1)设，请以向量表示； (2)求证：平面平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意直接分解向量即可. （2）由向量的数量积公式得，结合菱形性质线面、面面垂直的判定定理即可得证. 【详解】（1）. （2）∵ ∴， 又∵， ∴，即， ∵底面菱形中，，且，平面. 所以平面． 又平面． ∴平面平面． 33．如图，直四棱柱的底面是边长为2的菱形，且，E为棱AD的中点，．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】过点E作底面ABCD的垂线交A1D1于F，以E为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法可证A1C1⊥DB1，A1B⊥DB1，再由线面垂直的判定定理，即可得证； 【详解】过点E作底面ABCD的垂线交A1D1于F， 以E为坐标原点，EA、EB、EF所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ），D（00），B1（0）， 所以，（1），（1）， 因为，， 所以A1C1⊥DB1，A1B⊥DB1， 又A1B∩A1C1＝A1，A1B、A1C1⊂平面BA1C1， 所以DB1⊥平面BA1C1． 34．如图，直三棱柱中，，，，D为BC的中点，E为上的点，且．求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】以点为原点，射线的方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，得到，再论证即可. 【详解】证明：在直三棱柱中，，显然射线两两垂直， 以点为原点，射线的方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图， 因为，，D为BC的中点，E为上的点，且， 则，， 于是，即， 而平面， 所以平面. 35．如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点．求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】由题意可得两两垂直，所以以为原点，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，再利用空间向量证明即可. 【详解】证明：因为底面，底面，且底面是边长为2的正方形， 所以两两垂直， 所以以为原点，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量， 则，取可得， 所以平面的一个法向量为， 因为，所以平面. 36．如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】以C为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设平面与平面的法向量分别为，求出，可得，即可证明. 【详解】如图，以C为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的法向量为， 则，即，令， 可得平面的一个法向量． 设平面的法向量为， 则，即，令， 可得平面的一个法向量． 因为， 所以， 所以平面平面． 37．如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，，是的中点，作交于点，且．求证：平面；    【答案】证明见解析． 【分析】以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求得和，结合，即可证得平面； 【详解】以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，    可得，，，则． 设点的坐标为，因为，所以， 即，，， 所以点的坐标为，即． 因为，所以，则． 由已知，且，平面，平面， 所以平面． 38．已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点M为PD中点，.求证：平面平面.（注：必须用向量法做，否则不得分） 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面和平面.的法向量，计算二者的数量积，即可证明结论. 【详解】证明：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面， 以A为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， ，则， 故, 设平面的法向量为，则, 令，则， ， 设平面的法向量为，则, 令，则， 则， 故平面平面. 39．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，E是的中点，已知，．    (1)求证：； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）以A为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明． （2）运用线面垂直的性质定理可证得，进而运用线面垂直的判定定理可证得平面PAC，进而可证得面面垂直. 【详解】（1）以A为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，    则，，，，， 所以，， 所以，所以． （2）连接，，如图所示，    因为面，面，所以， 又因为四边形为正方形，所以， 又因为，、面，所以面， 又因为面，所以平面平面． 40．如图，已知平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点.求证：平面PCD． 【答案】证明见解析 【分析】注意到此题中易于建系，可以考虑通过证明与平面的法向量共线推得结论平面PCD. 【详解】 如图，因平面ABCD，底面ABCD为正方形，故可以分别为的正方向建立空间直角坐标系. 又PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点， 则, , 于是，不妨设平面PCD的法向量为， 则有令，故可取， 因，则平面PCD. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$