专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示（十大考点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第一册）

专题 1.3 空间向量及其运算的坐标表示（十大考点） 【考点1：空间向量的坐标表示 】 【考点2： 空间向量的坐标运算 】 【考点3：空间向量数量积（坐标形式求空间向量的数量积）】 【考点4：空间向量数量积（坐标形式求空间向量数量积的最值范围问题）】 【考点5：空间向量的模（坐标形式求空间向量的模（距离，长度））】 【考点6：空间向量的模（坐标形式求空间向量模的最值（范围）问题）】 【考点7：空间向量的夹角问题（坐标形式）】 【考点8：空间向量的投影向量（坐标形式）】 【考点9：空间向量的平行关系（坐标形式）】 【考点10：空间向量的垂直关系（坐标形式）】 【考点1：空间向量的坐标表示 】 1．已知点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，点，点A关于y轴对称的点为C，点B关于平面对称的点为D，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．在空间直角坐标系中，已知点关于原点中心对称的点为，而点关于轴对称的点为，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，在长方体中，，以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则下列结论中不正确的是（    ） A．点关于直线对称的点为 B．点关于点对称的点为 C．点的坐标为 D．点关于平面对称的点为 6．若正方体上的点是其所在棱的中点，则直线与直线异面的图形是（    ） A．     B．   C．   D． 7．如图，正方体的棱长为2，，且，则（    ） A． B． C． D． 【考点2： 空间向量的坐标运算 】 8．在平行六面体中，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．若向量，向量，则（    ） A． B． C． D． 10．已知向量，，则等于（    ） A． B． C． D． 11．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 12．若，，，则的值为（    ） A．3 B．4 C．7 D．15 13．已知，，则（    ） A．-5 B．-7 C．3 D． 14．已知向量,则（    ） A． B． C． D． 16．已知，，则（    ） A． B． C． D． 17．已知向量，向量满足，则（    ） A．22 B．11 C． D． 18．已知向量，，且，则（    ） A． B．1 C． D．2 41．已知空间向量，则 . 20．已知空间向量，则 . 21．已知，，，则 . 22．已知，，则的值为 ． 23．已知，，则 . 24．已知 =(3，2，－1)， (2，1，2)，则= ． 25．已知，，则 . 【考点4：空间向量数量积（坐标形式求空间向量数量积的最值范围问题）】 26．已知空间直角坐标系中，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 27．在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D． 28．已知空间直角坐标系中， ，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 29．已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ） A． B． C． D． 30．已知三点点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标 ． 31．如图，在正方体中，，点在线段上，且，点是正方体表面上的一动点，点是空间两动点，若且，则的最小值为 . 【考点5：空间向量的模（坐标形式求空间向量的模（距离，长度））】 32．设，向量，，，且，，则等于（    ） A． B． C．3 D．4 33．已知点，为坐标原点，且，则（   ） A． B． C． D． 34．若向量，则（　　） A． B．4 C．1 D．3 35．已知点为坐标原点，且，则（    ） A．36 B． C．6 D． 36．已知，.则 . 37．在空间直角坐标系O-xyz中，已知，，则 ． 【考点6：空间向量的模（坐标形式求空间向量模的最值（范围）问题）】 38．已知正方体的棱长为1，，则的最大值是 ． 39．如图，正方体的棱长为1，动点M在线段上，动点P在平面上，且平面． (1)当点M与点C重合时，求线段AP的长度； (2)求线段AP长度的最小值． 【考点7：空间向量的夹角问题（坐标形式）】 40．已知空间三点，，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 41．已知向量，，则向量与所成的角为 42．已知向量，，则向量与的夹角为 43．设向量，均为非零向量，则 ． 44．已知，则 . 45．已知，，与夹角的余弦值为 . 【考点8：空间向量的投影向量（坐标形式）】 46．已知向量，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 47．已知，则在上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 48．已知向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 49．如图，圆台的轴截面为等腰梯形在上底面的圆周上，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 50．已知空间向量，则在上的投影向量的坐标是 . 51．已知直线l的方向向量为，则向量在直线l上的投影向量的坐标为 ； 【考点9：空间向量的平行关系（坐标形式）】 52．已知向量，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 53．设是实数，已知，若，则的值为（    ） A． B． C．3 D．6 54．已知，且不共面，若，则（    ） A． B． C．8 D．13 55．已知，，且，则（　　） A．， B．， C．， D．， 56．已知向量，且，则 ． 57．已知向量，，且与平行，则 . 58．已知空间向量，若与垂直，则 . 【考点10：空间向量的垂直关系（坐标形式）】 59．若向量，且，则实数的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 60．已知空间向量，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 61．已知向量，，且与互相垂直，则实数 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 1.3 空间向量及其运算的坐标表示（十大考点） 【考点1：空间向量的坐标表示 】 【考点2： 空间向量的坐标运算 】 【考点3：空间向量数量积（坐标形式求空间向量的数量积）】 【考点4：空间向量数量积（坐标形式求空间向量数量积的最值范围问题）】 【考点5：空间向量的模（坐标形式求空间向量的模（距离，长度））】 【考点6：空间向量的模（坐标形式求空间向量模的最值（范围）问题）】 【考点7：空间向量的夹角问题（坐标形式）】 【考点8：空间向量的投影向量（坐标形式）】 【考点9：空间向量的平行关系（坐标形式）】 【考点10：空间向量的垂直关系（坐标形式）】 【考点1：空间向量的坐标表示 】 1．已知点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据终点坐标减去起点坐标，即为所求向量的坐标，即可得解. 【详解】设， 则， 所以，解得， 所以点坐标为. 故选：B. 2．在空间直角坐标系中，点，点A关于y轴对称的点为C，点B关于平面对称的点为D，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量坐标关于坐标轴、平面的对称性性质求得结果. 【详解】，点A关于y轴对称的点为， ，点B关于平面对称的点为. 则. 故选：B. 3．在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用空间向量的坐标运算求解． 【详解】因为，， 设，故， 故，解得， 故. 故选：B 4．在空间直角坐标系中，已知点关于原点中心对称的点为，而点关于轴对称的点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对称性得出点坐标，进而得出. 【详解】点关于原点中心对称的点为， 则点关于轴对称的点为， . 故选：A 5．如图，在长方体中，，以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则下列结论中不正确的是（    ） A．点关于直线对称的点为 B．点关于点对称的点为 C．点的坐标为 D．点关于平面对称的点为 【答案】C 【分析】利用空间点的对称性即可逐项判断得出结论. 【详解】由图可得，则点关于直线对称的点为，故A正确； 由于，所以点关于点对称的点为，故B正确； 点的坐标为，故C不正确； 由于点，则点关于平面对称的点为，故D正确. 故选：C. 6．若正方体上的点是其所在棱的中点，则直线与直线异面的图形是（    ） A．     B．   C．   D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，写出满足每个选项点的坐标，利用向量的坐标运算以及向量平行的定义，结合异面直线的定义逐项判断即可. 【详解】不妨设正方体的棱长为，建立空间直角坐标系，如图所示    对于A，由A选项的图可知,，所以,即，所以，即，故A错误； 对于C，由C选项的图可知,，所以，即，所以，即与共面，故C错误； 对于D，由D选项的图可知,，所以,即，即与共面，故D错误. 对于B，由B选项的图可知,，所以,即不存在实数使得，即与不平行， 由图可知与不相交，所以与是异面直线，故B正确. 故选：B. 7．如图，正方体的棱长为2，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求得. 【详解】依题意，，所以， 所以 . 故选：D 【考点2： 空间向量的坐标运算 】 8．在平行六面体中，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的坐标运算可得. 【详解】设点的坐标为，则由，得，解得，，则点的坐标为， 故选：B. 9．若向量，向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加减法法则求解即可. 【详解】因为向量，向量， 所以. 故选：C 10．已知向量，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的坐标运算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：A 11．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的减法运算的坐标表示即可得出答案. 【详解】因为向量，， 所以. 故选：D 12．若，，，则的值为（    ） A．3 B．4 C．7 D．15 【答案】A 【分析】应用向量线性运算及数量积的坐标表示求的值. 【详解】由题设，则. 故选：A 13．已知，，则（    ） A．-5 B．-7 C．3 D． 【答案】B 【分析】利用向量空间向量坐标运算法则求解． 【详解】，， ∴． 故选：B 14．已知向量,则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】推导出,利用向量坐标运算法则直接求解. 【详解】∵向量, ∴. 故选:B. 16．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量数量积的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 17．已知向量，向量满足，则（    ） A．22 B．11 C． D． 【答案】D 【分析】利用平方的方法化简已知条件，由此求得. 【详解】因为， 所以， 则． 故选：D 18．已知向量，，且，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】利用空间向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：A 41．已知空间向量，则 . 【答案】 【分析】利用空间向量减法和乘法法则计算出答案. 【详解】因为，所以． 故答案为： 20．已知空间向量，则 . 【答案】 【分析】根据向量运算的坐标公式，即可求解. 【详解】因为，，所以. 故答案为： 21．已知，，，则 . 【答案】9 【分析】根据向量的坐标运算即可求解. 【详解】由，可得， ， 故答案为：9 22．已知，，则的值为 ． 【答案】0 【分析】运用向量数量积定义和坐标运算规则解决问题. 【详解】解：因为，， 所以. 故答案为：0. 23．已知，，则 . 【答案】4 【分析】设，，由，求出 ，再由空间向量的数量积的坐标运算可得答案. 【详解】设，， 由， ， 得， ， 解得， 所以，，则. 故答案为：4. 24．已知 =(3，2，－1)， (2，1，2)，则= ． 【答案】2 【分析】根据空间向量的坐标运算与数量积公式求解即可 【详解】因为， 故答案为：2 25．已知，，则 . 【答案】5 【分析】根据空间向量的数量积运算的坐标表示运算求解即可. 【详解】解：因为，， 所以. 故答案为： 【考点4：空间向量数量积（坐标形式求空间向量数量积的最值范围问题）】 26．已知空间直角坐标系中，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，即，然后计算出，由二次函数性质得最小值，从而得出值，即得点坐标． 【详解】设，即， ， 时，取得最小值，此时点坐标为． 故选：C． 27．在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D． 【答案】C 【分析】 建立空间直角坐标系，利用向量法求得正确答案. 【详解】 如图，分别以、、方向为、、轴建立空间直角坐标系可得： ，，，，，， ，，， 设平面的法向量，则，得， 故可设，，，即. 由于直线与平面平行，则， 得：，即：，，. ， ， 可知，由于，当时，取得最小值，最小值为. 故选：C 28．已知空间直角坐标系中， ，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量表示出点Q坐标，再求出，的坐标，借助数量积建立函数关系即可求解. 【详解】因点Q在直线上运动，则，设，于是有， 因为，，所以，， 因此，， 于是得 ， 则当时，，此时点Q， 所以当取得最小值时，点Q的坐标为. 故选：C 29．已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，用表示出，求得的表达式，结合 二次函数的性质求得当时，取得最小值，从而求得点的坐标. 【详解】设，则＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， ＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)， 所以＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝. 所以当λ＝时，取得最小值，此时＝＝， 即点Q的坐标为. 故选：C 30．已知三点点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标 ． 【答案】 【分析】设，由点在直线上求出，表示出和，，利用二次函数求出最小值，得到点的坐标. 【详解】设，∵， 则由点在直线OP上可得存在实数λ使得 ， 所以，则， 所以，， 所以， 根据二次函数的性质可得当时，取得最小值，此时点的坐标为：. 故答案为： 31．如图，在正方体中，，点在线段上，且，点是正方体表面上的一动点，点是空间两动点，若且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先建立空间直角坐标系，得出的轨迹，再运用向量及几何关系求解 【详解】如图,建立如图所示的空间直角坐标系 则,，设 由题设 即 也即 由此可知点都是在球心为,半径为2的球面上 又,故点是球的直径的两个端点 所以， 所以 而在正方体的表面上,故当点在正方体的顶点上时, 此时的值最小为 故答案为 ：. 【考点5：空间向量的模（坐标形式求空间向量的模（距离，长度））】 32．设，向量，，，且，，则等于（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】由向量的位置关系列式求出，根据模的计算公式计算即可求解. 【详解】， ， ，， ， ， ，． ， ． 故选：C. 33．已知点，为坐标原点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，根据向量坐标运算求出，利用向量模的坐标运算可得结果. 【详解】因为，所以， 又，即， 所以， 所以， 故选：D. 34．若向量，则（　　） A． B．4 C．1 D．3 【答案】A 【分析】先求出向量，再由向量模的公式求出. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A． 35．已知点为坐标原点，且，则（    ） A．36 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】根据，求出的值，再利用模长公式求解即可. 【详解】因为， 所以． 又，解得， 所以， 则， 所以． 故选：. 36．已知，.则 . 【答案】 【分析】应用空间向量加法和模的坐标公式计算即可. 【详解】根据题意，， 所以. 故答案为： 37．在空间直角坐标系O-xyz中，已知，，则 ． 【答案】 【分析】利用空间向量的线性运算的坐标表示求出，再求向量的模即可. 【详解】因为，， 所以，， 所以， ． 故答案为·：. 【考点6：空间向量的模（坐标形式求空间向量模的最值（范围）问题）】 38．已知正方体的棱长为1，，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量运算求出模的关系式，再分类分析求出最大值即得. 【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， ， 于是， 因此 由，得， 当时，，此时，的最大值为9， 当且仅当与同号时取得最大，因此的最大值为； 当时，，，，的最大值为9， 当且仅当与同号时取得最大，因此的最大值为，显然， 所以的最大值为. 【点睛】关键点睛：涉及多变量的最值问题，以某个量的取值情况分类讨论求解是解决问题的关键，如本题的. 39．如图，正方体的棱长为1，动点M在线段上，动点P在平面上，且平面． (1)当点M与点C重合时，求线段AP的长度； (2)求线段AP长度的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，再由向量模长的坐标公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由向量模长的坐标公式，代入计算，即可求解. 【详解】（1）如图，以D为坐标原点，DA、DC、所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标 系，则，，． 设，，则，，．因为平面， 所以得 当点M与点C重合时，，，此时， 则AP的长度为. （2）， 即线段AP长度的最小值为. 【考点7：空间向量的夹角问题（坐标形式）】 40．已知空间三点，，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得两向量的坐标，利用向量的夹角公式可求与的夹角. 【详解】∵， ， ∴结合向量夹角范围易知：与的夹角为． 故选：C 41．已知向量，，则向量与所成的角为 【答案】 【分析】利用空间向量夹角的余弦公式求出答案. 【详解】， 因为，故. 故答案为：. 42．已知向量，，则向量与的夹角为 【答案】 【分析】利用空间向量夹角的余弦公式求出答案. 【详解】设向量与的夹角为， 则， 故. 故答案为： 43．设向量，均为非零向量，则 ． 【答案】 【分析】略 【详解】略 44．已知，则 . 【答案】 【分析】根据空间向量夹角的余弦公式求出答案. 【详解】向量， , ， ∴， 与的夹角为. 故答案为： 45．已知，，与夹角的余弦值为 . 【答案】 【分析】利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】∵，， ∴. 故答案为：. 【考点8：空间向量的投影向量（坐标形式）】 46．已知向量，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出，，，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以， 所以，， 所以在上的投影向量为. 故选：B 47．已知，则在上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的概念求解即可. 【详解】向量在上的投影向量为：， 故选：C 48．已知向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由投影向量的概念求解即可. 【详解】∵， ∴，， ∴在上的投影向量为， 故选：C. 49．如图，圆台的轴截面为等腰梯形在上底面的圆周上，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，以点为原点建立空间直角坐标系，如图所示，根据空间向量数量积的坐标公式及投影向量的定义即可得解. 【详解】如图，连接，则底面圆， 以点为原点建立空间直角坐标系，如图所示， 不妨设圆台的高为，，则， 故， 则， 所以， 所以在上的投影向量为. 故选：B. 50．已知空间向量，则在上的投影向量的坐标是 . 【答案】 【分析】利用空间投影向量公式计算出答案. 【详解】，， ， 故在上的投影向量的坐标. 故答案为： 51．已知直线l的方向向量为，则向量在直线l上的投影向量的坐标为 ； 【答案】 【分析】根据题意，求得，结合，代入即可求解. 【详解】直线l的方向向量为和， 可得， 则向量直线l上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 【考点9：空间向量的平行关系（坐标形式）】 52．已知向量，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，根据向量相等得到方程组，解得即可. 【详解】因为，且， 所以存在实数m，使得，即，所以，解得. 故选：B 53．设是实数，已知，若，则的值为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】利用向量平行的坐标运算求解答案. 【详解】因为， 所以使得即 即即 故选：B. 54．已知，且不共面，若，则（    ） A． B． C．8 D．13 【答案】B 【分析】 根据共线定理和空间向量基本定理求解即可. 【详解】因为， 所以， 又不共面， 所以，解得， 所以. 故选：B 55．已知，，且，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用向量平行的充要条件列出关于x、y的方程组，解之即可求得x、y的值. 【详解】因为，， 所以， 由，可得，解之得 故选：B 56．已知向量，且，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用空间向量共线的充要条件列式计算即得. 【详解】向量共线，则，解得， 所以. 故答案为：. 57．已知向量，，且与平行，则 . 【答案】/ 【分析】根据题意，由空间向量平行的坐标公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】，， 因为与平行，所以当时，，解得； 当时，，. 综上，. 故答案为： 58．已知空间向量，若与垂直，则 . 【答案】/ 【分析】根据题意，结合向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，可得， 因为与垂直，可得， 解得. 故答案为：. 【考点10：空间向量的垂直关系（坐标形式）】 59．若向量，且，则实数的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到，结合向量垂直的坐标运算，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，可得， 因为，所以，解得. 故选：D. 60．已知空间向量，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【分析】 根据空间向量运算的坐标表示进行计算即可. 【详解】 由题意可得，因为，所以，解得. 故选：A. 61．已知向量，，且与互相垂直，则实数 . 【答案】 【分析】应用向量线性运算坐标表示求、，根据垂直关系的坐标表示列方程求参数. 【详解】由题设，， 所以，即. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$