2.5.1 直线与圆的位置关系-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

2.5直线与圆.圆与圆的位置关系 2.5.1 直线与圆的位置关系 白题 基础过关 限时：55min 题组1直线与圆的位置关系的判断及应用 7.(多选)(2024·福建厦门高二期中)过点 1.(2024·陕西西安高二期中)已知直线x-y+ P(2,4)作圆(x-1)2+(y-1)2=1的切线，则切 1=0与圆(x-1)2+y2=1.则直线与圆的位置 线方程为 关系是 A.3x+4-4=0 B.4x-3y+4=0 A.相离 B.相交 C.x=2 D.y=2 C.相切 D.无法确定 8.(2024·云南昆明一中高二期中)已知圆0： 2.(2024·广东深圳高二期末)已知圆C:x2+y2= x2+y2=4,M(x0y)为圆0上位于第一象限的 1与直线1：y=2x+b相交，那么实数b的取值 一点，过点M作圆O的切线1.当1的横纵截距 范围是 相等时，1的方程为 () A.(-3,1) B.(-0,-5) C.(5,+o) D.(-5,5) A.x-y-22=0 0 B.x+y-2 3.（2024·福建泉州高二月考)若直线y= C.x+y-42=0 D.x+y-22=0 √3x+m与圆x2+y2-2y=0相切，则实数m的 9.(2024·安徽蚌埠高二期中)如果实数x,y满 值为 A.-3+2或-3-2 B.1或-3 足(x-2)2+y2=2,则’的范围是 C.-1或3 D.3+1或3-1 A.(-1,1) 4.(2024·湖南长沙高二期末)已知P(a,b)在 B.[-1,1] 圆x2+y2=4外，则直线ax+by-4=0与圆的位 C.(-x,-1)U(1,+0)》 置关系是 D.(-,-1]U[1,+0) A.相交 B.相切 10.(2024·福建三明高二月考)已知P(x,y) C.相离 D.以上皆有可能 为圆0：x2+y2=9上一点，则2x-y的取值 5.(多选)(2024·湖北武汉高二期中)直线1：x- 范围为 y+1=0与圆C:(x+a)2+y2=2(-1≤a≤3)的 ( 公共点的个数可能为 ( A.[-3,3] B.[-35.35] A.0 B.1 C.2 D.3 C.[-23,23] D.[-53,53] 题组2直线与圆的相切问题 11.过点P(3,4)作圆0：x2+y2=10的两条切线， 6.(2024·河南郑州高二期末)已知圆C: 设切点分别为A,B,则四边形PAOB的面 (x-2)2+(y-1)2=5,过点P(1,3)作圆的切 积为 线，则该切线的一般式方程为 题组3直线与圆的相交问题 A.x+2y-7=0 B.x-2y+5=0 12.(2024·河南南阳高二期末)直线x-y=0被 C.2x+y-5=0 D.2x-y+1=0 圆(x-1)2+y2=1截得的弦长为 选择性必修第-册：RJA黑白题050 B② C.1 D.2 17.(2024·安微芜湖高二期末)“陶辛水韵”于 1999年被评为芜湖市新十景之一，每年入 13.(2024·山东泰安高二月考)若直线x+3y+ 夏后，千亩水面莲叶接天，荷花映日，吸引 C=0与圆M:x2-2x+y2+4y-10=0交于A,B 远道游客纷至沓来，坐上游船穿过一座座 两点，且IAB1=25,则C的值为 圆拱桥，可以直达“香湖岛”赏荷.圆拱的水 A.5或-15 B.-5 面跨度20米，拱高约5米.现有一船，水面 C.-5或15 D.15 以上高3米，欲通过圆拱桥，船宽最长约为 14.(2024·福建泉州高二期中)若点P(1,2)为 ( 圆C:x2+y2-6y=0的弦AB的中点，则弦AB 所在直线的方程为 ( A.x-y-1=0 B.x+2y-5=0 C.x-y+1=0 D.2x+y+5=0 A.12米B.13米C.14米D.15米 15.已知圆C:(x-6)2+(y-9)2=100,点A坐标 18.(2024·江苏扬州高二月考)一个小岛的周 为(0，-1)，B为圆C上动点，AB的中点为M 围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为 (1)当点B在圆C上运动时，求点M的轨迹 圆心，半径为10km的圆形区域内，已知小 方程： (2)过点(0，-2)的直线1与M的轨迹相交于 岛中心位于轮船正西10akm(a>0)处，港 口位于小岛中心正北20km处，如果轮船 P,Q两点，且1PQ1=8,求直线1的方程. 沿直线返港，不会有触礁危险，则α的取值 范围是 B.(1,+) D.(2,+) 19.(2024·黑龙江哈尔滨高二月考)已知在某 滨海城市A附近的海面出现台风活动，据 监测，目前台风中心位于城市A的东偏南 重难聚焦 60方向，距城市A300km的海面点P处， 题组4直线与圆的综合应用 并以20km/h的速度向西偏北30°方向移 16.(2024·安微淮南高二月考)圆C:(x-1)2+ 动.已知该台风影响的范围是以台风中心为 y2=25,过点P(2,-1)作圆的所有弦中，以最 圆心的圆形区域，半径为1003km,则城 长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是 市A受台风影响的时间为 ( ( A.1013 B.921 A.5h B.53h C.10√23 D.911 D.4h 第二章黑白题051或x-2x=0.都是圆,故A正确;对于B.当A=1.n=-1时,化简 得yx是直线,故B错误:对于C.原式可化为(A+u)x}+(A4 )y-2Ax-2ry=0.要表示罔,则必有A+u×0.故C正确;对于D.只 #()() (n+n-4)? 有A拟三0时,方程表示直线v三x.故D正确,故选ACD m~4 (m-4)(n-4) 6.B 解析:设直线1:y=x.圆A;(x+1)+(y-1)=1.圆B;(x-13)}+ 8[2m-8m)16-m-+ (y+6)2-4.易知点A(-1.1)关于直线7的对称点为A'(1.-1),以A' m-4(m+n)+16 ,且m2+n2=16.则S边形uncn=16. 为圆心,1为半径的圆A即为圆A关于直线/的对称罔.设E点关于 直线1的对称点为E',则有1PEI=IPE'1.: 1PF1-1PE1=IPFl- 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 IPPE'1.如图,连接EF.在△PEF中.有IPFI-IPE'IIE'FI.当且仅 2.5.1 直线与圆的位置关系 当P,E”,F三点共线时取得等号,故求1PF|-1PE1的最大值问题转 白题1 期 换为求1EF的最大值问题,故当直线EF过圆心A'和圆心B且E. 1.A 解析:因为罔的半径为1.圆心为(1.0),所以圆心到直线x-y+1= F距离最远且点P恰好为直线EF与直线/的交点时可取得最大值 0的距离为d-10+11_2>r,故直线与圆相离,故选A. 由题意知A'点和B点坐标分别为A'(1.-1),B(13.-6).两圆半径分 2 别为1和2,故1FF1最大值为 (13-1)+[-6-(-1)]+1+2=16 D重难点拨 故选B. 判断直线与图的位置关系的常见方法: (1)几何法:利用d与,的关系: (2)代数法:联立方程之后利用A判断; (3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直 线与圈相交。 上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线 问题。 2.D 解析:圆C的网心为(0.0).半径为1.直线/:2x-y+b=0.因为圆 7.(-)(-)-7 C与直线1相交,所以1<1.解得-V5<h<5.故选D. 解析:函数/(x)-*-5x+4的图象与 5 坐标轴的交点分别为A(1.0).B(4.0).C(0.4),则线段AC的垂直平 3.C 解析:由x24y-2y=0.得+(y-1)=1.回心为(0.1)半径为1.y 分线方程为y-2-(1-).线段AB的垂直平分线方程为x- 3+a即/3x-)+m=0.则-1-1+m_-1.解得 --1或n=3故选C /③T 4.A 解析:由题意,得圆+y=4的圆心(0.0).半径r=2.由P(a.b 在圆x2+y{=4外,得a*+b>4.则罔心到直线ax+by-4=0的距离d= ##)#()#的方() <2=r.故直线与圆相交.故选A. 5.BC 解析:园C(x+a)②+?=2的圆心C(-a.0).半径r=v2.当-1 ()#故答案为(-)(-) as3时,点C(-a.0)到直线1的距离-1-a+111a-11 2 因此直线/与圈相切或相交,所以直线1与圆C的公共点个数为1 2 整理得-x+2=0. 6.B 解析:因为罔C:(x-2)+(v-1)=5的圆心C坐标为(2.1).且 (2)设G为矩形外接圆的圆心,则G为AC的中点. 点P(1.3)的坐标满足(1-2)2+(3-1)②-5,这表明点P(1.3)在圆( 上,所以直线CP的斜率为kor-2-1 C(0)(20). _13--2.所以过点P(1.3)的切线 设,为外接圆半径,则,-1AC1. 得-2v+5=0.故选B. 又1AC1=(4-0)+(2+2)=42..=22. 7. BC 解析:圆(x-1)2+(y-1)=1的圆心为(1.1),半径r=1.若切线 .外接圆的方程为(x-2)2+}-8. 的斜率不存在,此时切线的方程为x=2.符合题意;若切线的斜率存 (3)设P点坐标为(xo,xo),线段PPN中点M的坐标为(x.y).则x 在,设切线方程为y-4=k(x-2).即&-y-2+4=0.由心到切线的 1。-2)% 21n=2r+2.yo=2y① /+1 ·P为外接圆上一点。(x-2)+=8.将①代入整理,得^+=2 3+4=0.综上可知,切线方程为x-2或4x-3y+4=0.故选BC .该轨迹为以原点为圆心,v2为半径的圆,轨迹方程为+y=2. 8.D 解析:由题意可知,直线的斜率存在,所以设过点V的切线方程 为y=x+b,因为1的横纵截距相等,所以k=-1.b>0.又因为直线与 9.解:(1)如图. APB=45”,v. 乙A0B=90*乙APB--乙A0B 圆相切,所以d-1-2.所以b=2、/2.,所以直线方程为x+y-2^2= 11 且1AB1=42.一·定弦定角轨迹为圆..点P在以原点为圆心,4为半 0.故选D. 径的圆上,但P点应在优孤AB上,则P点的轨迹方程为+y=16 9.B 解析:设-=k,则y=&表示经过原点的直线,k为直线的斜率. (xc0或y0) (2)为定值.求解如下;设P(m,a)(m<0且 n<0),则&“-4.1n:--44. 如果实数x.y满足(x-2)2+=2和-=k.即直线y=v同时经过原 m (。).014()44 点和圆上的点(x.v).其中圆心C(2.0).半径,=2.如图可知斜率取 最大值时对应的直线斜率为正且刚好与圆相切,设此时切点为E ). 参考答案 黑白题33 则直线的斜率就是其倾斜角乙E0C的正切值,易得10Cl=2.1CEl= r-②.可由勾股定理求得10El=v0C②}-CE-②,于是可得到k= 范围是[-1.1].故选B. 10. B 解析:设2x-y=4.由题意知直线2x-y-(=0与园0有公共点,所 以罔心到直线的距离d-3.所以-3/5<1=3/5.故选B. 5 $1.56 解析:由题得1A01=10.1P01=3+4=5.1PAl= 5-10-v15.. 四边形PA0B 的面积=25Auo-2xvVT0× 17.B 解析;如图,拱形桥ACB.以AB所在的直线为:轴,以线段AB的 垂直平分线为,轴,建立平面直角坐标系,则A(-10.0),B(10.0). 15=5v6.故答案为5/6. C(0.5).圆心在y轴上,设为E(0.b).则有1AEl=1CE1.即 12.D 解析:由圆的方程(x-1)+y=1.可知其心为(1.0),半径,= (0.-15)半径为1c81-15~01-25. -25.所以圆的方程为? 15)-Dt3)期有 c→(35)-得. 口重难点拨 所以要使小船通过圆拱桥,船宽最长为2/46.因为6.5<46<7.所 弦长的两种求法: 以13<246<14.故选B (1)代数方法:将直线和圆的方程联立方程组,清元后得到一个一元 二次方程,在判别式A>0的前提下,利用根与系数的关系,根据弦长 公式求弦长 (2)几何方法:若弦心题为d.面的半径长为r.则弦长(=2v- 两种方法以几何方法为生。 1 13.C 解析:由题意,因M:x-2x+y+4y-10=0化为标准方程为圆M 18.A 解析:以小岛中心为原点0.东西方向为:轴,南北方向为y轴 (x-1)2+(y+2)=15.:.圆心M坐标(1.-2),半径为v15.由 建立平面直角坐标系,则设轮船所在位置为点B,港口所在位置为 IAB1=25,得罔心M到真线x43v+C=0的距离为d 点A.如图所示,则A(0.20),B(10u.0)(a>0).暗礁分布的圆形区 域的边界⊙0的方程为x+y^}=100.所以轮船沿直线返港时直 线AB的方程为-20-10--0,即2-+ay-20u=0.又因为轮船沿直 0-20 11-6+Cl10.解得C=15或-5.故选C. 线返港不会有触礁危险,所以直线AB与0相离,即圆心0到直 1+3 线AB的距离a-1-20u1 14. C 解析:x2+y-6y=0.即x+(y-3)=9.即圆心C(0.3).由题意 3 可知AB1.CP.*c-0-1 3-2--1.则k-1.所以弦,AB所在直线的方程 为-2=x-1.即x-y+1=0.故选C 15.解:(1)因为(0-6)2+(-1-9)}-136>100.所以点A在圆C外 设M(x.y),由于AB的中点是M.所以B(2x,2y+1). 所以(2x-6)2+(2y+1-9)2-100. 整理得(x-3)+(y-4)2-25. 所以点M的轨迹方程为(x-3)2+(y-4)2=25 (2)点M的轨迹方程为(a-3)+(v-4)=25.所以M是以(3.4)为 19. B 解析:如图.AP=300 km.乙APB=30{.台风中心沿PB方向 罔心,5为半径的圆,当直线/的斜率不存在时,直线/的方程为 以20kmh的速度移动,台风中心距离城市A的最短距离为 x=0. 解得y.=0或y=8,满足1P01=8. 域,半径为1003km.则台风中心在以城市A为圆心,半径为 当直线/的斜率存在时,设直线1的方程为y=r-2.即r-y-2=0 1003km的圆内时,城市A受台风影响.以城市A为圆心,半径为 由于1P018.{2 100V3km的圆截直线PB所得弦长为2(100/3)}-150- 为5-4-3.即13-4-21-3.解得-3 1005(km),则城市A受台风影响的时间为10/5 $120=5.5(h).故选B. +1 综上所述,直线1的方程为3x-4y-8=0或x=0 重难聚焦 16. C 解析:由圆C:(x-1)2+=25.得罔心C(1.0).半径r=5.因为 (2-1)+(-1)<25,所以点P(2.-1)在圆C内,所以经过点P的直 2.5.2 圆与圆的位置关系 径是最长的落AD.且最短的弦是与该直径垂直的弦陆,如图所示 白题。 础 因为1PCl= (2-1)+(-1-0)=2,所以由垂径定理得1BE1= 1.D 解析:圆0:x2+y=1的圆心为0(0.0),半径为r.=1.圆M;^}+ $ -1PCI=2②5-2=223,所以四边形ABDE的而积为 +2-2v-7=0变形为(x+1)+(-1)=9.圆心为M(-1.1).半径 选择性必修第-册·PJA 黑白题34