2.4-2.5 阶段强化-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

2.4-2.5阶段强化 黑题阶段强化 很时：65in 1.(2024·湖北武汉二中高二月考)若圆心在第6.(2024·福建南平一中高二月考)已知点P在 一象限的圆过点(2,0)，且与两坐标轴都相 圆(x-5)2+(y-5)2=16上，点A(4,0), 切，则圆心到直线2x+y-11=0的距离为 B(0,2),当∠PBA最大时，则线段PB的长 ( 度为 7.(2024·四川泸州高二月考)已知点A(-1, A.1 B65 C.2 D.5 0),B(1,2),圆C:(x-a)2+y2=25(a>0)上存 2.(2024·浙江金华高二月考)若直线y=x+1 在唯一的点P,使IPAI2+|PB12=12,则实数a 与圆x2+y2=1相交于A,B两点，且∠A0B=可 的值是 8.(2024·四川成都七中高二期中)已知P为直 (其中0是原点)，则k的值为 线y=-2上一动点，过点P作圆x2+y2=1的两 A33 条切线，切点分别为B,C,则点A(2,1)到直线 3’3 R 3 BC的距离的最大值为 C.-2,2 D.2 9.(2024·陕西西安高二月考)已知圆C:x2+y2 3.(2024·山东济宁高二期末)圆x2+y2=1与圆 4x-6y+4=0,过点P(4,2)的直线1与C交于 x2+y2-2x+4y+1=0的公共弦的长度为( 点M,N,且IMNI=4. (1)求1的方程： B.25 c.35 5 (2)设0为坐标原点，求0·0. 4.(2024·湖北黄冈高二期中)一条光线从点(-2， -3)射出，经y轴反射后与圆(x+3)+(y-2)2=1 相切，则反射光线所在直线的斜率为( 3 c号 03 4 或3 5.(2024·山东威海高二月考)古希腊数学家阿 波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一 个命题：平面内与两定点的距离的比为常数 (k>0)的点的轨迹为圆，后人将这个圆称为阿 波罗尼斯圆，已知0(0,0)，A(3,0),圆C: (x-2)2+y2=r2(r>0)上有且只有一个点P满 足1PA1=21POL.则r的取值可以是( A.1 B.5 C.1或5 D.4 第二章黑白题055 10.(2024·辽宁葫芦岛高二期末)在以下三个 压轴挑战 条件中任选一个，补充在下列问题中，并作 (2024·广东广州高二期末)已知圆心C在直 答.条件①：直线的法向量为(-3，1)；条件 线 y=-2x 上，并且经过点A(2，-1)，与直线x+ ②：与直线 3x-y+5=0 平行；条件③：与直线 y-1=0 相切的圆. x+3y+5=0 垂直. (1)求圆C的标准方程； 已知直线1经过(3，4)且 (2)对于圆C上的任意一点P，是否存在定点B (1)求直线1的方程； (2)若点 p 是直线 l 上的动点，过点P作 (不同于原点O)使得 恒为常数?若 $$\odot C ： x ^ { 2 } - 8 x + y ^ { 2 } + 6 y + 2 0 = 0$$ 的两条切线， 存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明 切点分别为A，B两点，求四边形 PACB 理由 的面积的最小值. 11.(2024·四川成都高二月考)已知圆C的圆 心在y轴上，点P是圆C上的任一点，且当 点P的坐标为 $$\left( - \frac { 9 } { 5 } ， - \frac { 7 } { 5 } \right)$$ 时，P到直线 3x+ 4y-24=0 的距离最大. (1)求圆的方程； (2)经过原点，且斜率为 k(k≠0) 的直线1与 圆C交于 $$A \left( x _ { 1 } ， y _ { 1 } \right) ， B \left( x _ { 2 } ， y _ { 2 } \right)$$ 两点.求 $$\therefore \frac { 1 } { y _ { 1 } + \frac { 1 } { y _ { 2 } } }$$ 为定值 选择性必修第一册·RJ A黑白题056面1P01的最小值为圆心（即原点）到直线x+y=4的距离，所以 1mi--22所以14B1=4 为2=故所求圆的标准方程为（登）广·(g) =2/互.枚答案为2√2 256 121 25 10.（e,5]U[0,+） 解析：如图，设A(0,-2),由题知圆M的 压轴挑战 圆心为M(2,1)半径r=3,a表示直线PA的斜率，不妨设过点A的 解：(1)设M(x,y)(点M与，点A不重合).则B(2x+2.2y),又点B在 圆的切线方程为y=:-2,则圆心M到切线的距离4：2-2-山。 圆G:(x-2)3+y2=8上，则(2x+2-√2)2+(2y)2=8→x2+y2=2(x≠ P+1 -√2)，故动点M的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，并除去点A 3,解得=0或=-12 5 (2)①P(4.0).Q(0,4).设T到PQ的距离为h,则PQ=4v2,SAw 2P0·h=2w2h 当h最大时，S△w最大，易得直线PQ的方程为x+y-4=0,hx= 2=35,故5am)m=12曲0 x2+y2=2, 得T(-1.-1) 2直线PQ与直线GH垂直理由如下：由已知得直线TG,TH的斜率都 结合图可知，实数。的取值周为(，号】 U[0.+).故答案 存在，设直线TG的方程为y+1=k(x+1), 则直线TW的方程为y+1=-k(x+1) 为(，号]u0+ 由1+消去y得(1+2+(22-2k)x+2-2-1=0. 11.解：(1)由题意设圆C,的圆心为C,(a,b),已知圆C,过点(2,3)， -2+2k+1 且与直线2x-3y+6=0相切于点(3,4).所以圆心C,(a.6)在直线 则-16-2水-1 1+2 xe= 1+ 2(x-3)上，所以3a+2弘-17=0.又(a-2)2+(6-3)2=2- 同理可得xW= -k2-2k+1 ye-Yw kc+k-1+xn+k+l 1e→amcn =1 (2-3)2+(6-4)2,所以解得a=5.b=1,2=13.所以圆C,的标准方 XG-XH 程(x-5)2+(y-1)2=13. 又kw=-1,故直线PQ与直线GH垂直 (2)由(1)得圆G,的标准方程(x-5)2+(-1)2=13.又圆G2:x2+ 2.4-2.5 阶段强化 y2-13x+2y+9=0,两圆方程相减得公共弦方程为3x-4y+4=0.所以 圆心C(5,1)到公共弦3x-4y+4=0的距离为d=13x5-4x1+4 黑题 阶段强化 /32+4 1.D解析：圆心在第一象限的圆过点(2.0)，且与两坐标轴都相切.则 15 =3,而圆C,:(x-5)24(y-1)2=13的半径为r=万，所以圆C (2,0)为x轴上的切点.故圆心为(2,2).则圆心到直线2+y-11=0 的距离为=4+2-山=5.故选n 与圆C2:x2+y2-13x+2y+9=0的公共弦长为2√P-正= 5 213-9=4. 2A解折：∠408=号.则△01B是等边三角形，周半径为1，因此0 12.解：(1)由已知得园C的圆心坐标为(2，-3)，半径r=1.圆Q的半径 R=10C1-r=√(2+1)2+(-3-1)2-1=4.，圆Q的方程为(x+1)2+ 到直线B的距离为 2,所以0-0+山。3 ，=之解得k=3放选A (y-1)2=16 (2)由已知得直线【过定点P(0.-2),1P01= 3.D解析：圆x2+y2=1的圆心为(0.0).半径为1.圆x2+y2-2x+4y+ √(-1-0)2+(1+2)下=√10<4，P(0,-2)在圆Q内.由园的几何 1=0的圆心为(1，-2)，半径为2则圆心距离为√1+4=√5E(1,3), 故两圆相交，则两圆的公共弦所在直线方程为1-2x+4y+1=0,即 性质可知，当PQ⊥MN时，弦1MNI最小，此时1MNI=2√R-Q, 又：1PQ1=而，，1MN1=26,当1NI最小时，kw·kw= 1-11T45 -lw=m=11 2-1=0,所以公共弦的长度为2，√1()亏故选D k一一，红安的方是为x一支x一之，年一3一 4,D解析：圆(x+3)2+(-2)2=1的圆心为(-3.2).半径为1.根据光 6=0. 的反射原理知.反射光线的反向延长线必过点(-2.-3)关于y轴的 对称点(2，-3)，易知反射光线所在直线的斜率存在，设为k,则反射 13.解：(1)设点P的坐标为(xy),1P11=√(x-6)+(-8)产，1PQ12= 光线所在直线的方程为y+3=(x-2),即：-y-2弘-3=0.由反射光线 10P2-4=x22-4,由题意有(-6)2+(y-8)2=x2+y2-4.整理得 3x+4y-26=0,故点P的轨迹方程为3x+4)-26=0.点P的轨迹是斜 与圆(+3+-22：1相切，可得-3-22-31=1，整理得 √R2+1 率为子，在，轴上的截距为号的直线 4 3或= 3 12k2+25+12=0.解得着=- 放选D (2)由1PQ川=PA1和(1)可知，1PQ1的最小值即为点A到直线3x+ 4-26=0的距离，放其最小值为18+32-261.24 5.C解析：设P(x,),由1PA1=2P01.得(x-3)2+y2=4x2+4y2.整理 得(x+1)2+y2=4.义圆C:(x-2)2+y2=2(>0)上有且仅有一点P满 √32+4 足1PA1=21P01,所以两圆相切.圆(x+1)2+y2=4的圆心坐标为 (3)由圆的性质可知当直线0P与直线3x+4-26=0垂直时，以此 (-1,0),半径为2，圆C:(x-2)2+y2=2(r>0)的圆心坐标为(2,0) 时的点P为圆心，且与圆O相外切的圆即为所求，此时OP的方固 半径为r两圆的圆心距为3，当两圆外切时，+2=3，得r=1,当两圆 78 4 x= 内切时，|r-21=3,得r=5.故选C 4 为y= 玉联立方程 Y= 3*, 25 解得 即P 104 25 6.32解析：设惯(x-5)2+(-5)2=16的周心为M(5,5),半径为4， 3r+4yr-26=0, 25 如图，当∠PBA最大时，PB与圆M相切，连接MP,BM,可知PM⊥ 104 25 又点0到直线3红+4一-26=0的距离为0可得所求圆的半径 PB,1BM1=√(0-5)+(2-5)=√34，IMP1=4,由勾股定理可得 PB1=√TBMT2-131PT2=3、2.故答案为32. 选择性必修第一册，RJA黑白题36 -3),半径为r=5,则(4，-3)到3x-y-5=0的距离为d= 12+3-51.0>,即直线1与圆相离，而S边形rc=25aP6 /I0 IACI|AP1.1AC1=r=5,1AP1=√/TPCI2r2,当PC⊥1时： 1AP1=√PCm一5=5，此时四边形PACB的面积的最小值 为S周边眼APe=2SAHe=1AC11AP1=5 7.22或43解析：设P(x,y),则1PA2=(x+1)2+,2,1PB12= (x-1)2+(y-2)2.因为1P112+1PB12=12,整理得x2+y2-2y-3=0.即 x2+(y-1)2=4,所以点P的轨连方程为x2+(y-1)2=4.又因为圆C 上存在难一的点P符合题意，所以两圆相切，因为圆C:(x-)2+ )2=25.可得飘心C(a.0).半径r1=5.圆x2+(y1)2=4.可得圆心 (0,1).半径r2=2,可得√/2+1=t1+2=7或√2+1=1-t2=3.解 得a=±4W3或a=±22.又a>0.所以实数：的值为22或43.故答 11.解：(1)由题意，PC垂直直线3x+4-24=0.设圆心C(0,a).当P的 案为22或43 解析：设P(),过点P引x2+y2=1的两条切线.切点分 坐标为（号子）x 9 别为我.C,则切点在以0为直径的调上.周心（台，分），半径 5 2 则的方（之（）广 -1aa1co.e=号-=3. 24 ,整理为x2+ .半径为3.圆C的标准方程为x2+(y-1)2=9. y2-xo*-yy=0.又点B,C在网x2+y2=1上，两圆方程相减得到x0x+ (2)由题意直线1的方程为y=红(k≠0)，联立： %y=1,即直线BC的方程是x0+oy=1,因为yo=-2,代人+oy= +(-1)2=9.消 1得2=1则直线C恒过定点N(0。》 ,所以点A(2,1)到 得()）产-2-8=0.4=4+2(2）小>0恒酸立 2k2 直线BC的距离d≤IANI= 0-2(=所以点4 2242 8 L1+2= 1 2.》到雀线C的面离的最大值为子放将案为子 1+ 1+ 四重难点拔 首先本题求以1OP叫为直径的圆，利用两圆相减，求得过两圆交点的直 为定的 线方程，关键是发现直线BG拉定点，这样通过儿何关系就客弱求定 压轴挑战 点与动直线更离的最大位， 解：(1)圆心C在直线y=-2x上，故设圆心为(e,-2),半径为r则 (a-2)2+(-2a+1)2=r2 9.解：(1)如图.将x2+y2-4x-6y+4=0化为标准方程，得(x-2)2+ 1a-2a-11 (y-3)2=9.则圆心为C(2,3),半径r=3.当直线1的斜率不存在时，1 =r 解得a=1.r=2.所以圆的方程为(x-1)2+ 的方程为x=4.此时圆心C(2,3)到1的距离d=2,2√P-2=25 (+2)2=2 不符合题意.故直线1的斜率存在，设的方程为y-2=(x-4), (2)如图.设P(x,y).且(x-1)2+(+2)2=2,即x2+2=2x-4y-3.设定 即-y-4k+2=0.圆心C(2.3)到1的距离d= 12k-3-4k+21 IPBI 2+1 点B(m,n),(m,n不网时为0，P0=A>0(A为常数).则 2+出由垂径定理可得户=心+ 1MN12 ,即9= √(xm)+(-n)下 =A.两边平方.整理得(1-A2)(x2+2)-2r +1 2 /x2+2 12k+11 +22,解得k=2.故线1的方程为y=2x-6 2+m2+n2=0.代入x2+y2=2x-4y-3后得(1-A2)(2x-4r-3) √+1 2mr-2y+m2+n2=0,化简得[2(1-A2）-2m]x+[-4(1-A2)-2n]y+m2+ 1 3 m25 2(1-A2)-2m=0, 6 n2-3(1-A2)=0,所以 -4(1-A2)-2n=0.解得 -3(1-A2）+m2+n2=0, A=- 10 5 m=0. 2联立-6+4=0，整理得5-40r+76=0设( A=1. 76 ),N().则+=8，=5=(2，-6)(2-6)= 44-12t+36=号赦m.新yn=16 10,解：《1)若选择①：由法向量(-3,1)，可得直线的一个方向向量为 (1,3),可得k=3,于是y-4=k(x-3),代人并整理得3x-y-5=0 ∴，直线1的方程为3x-y-5=0.若选择2：与直线3-y+5=0平行. 可设直线方程为3x-y+e=0.c≠5，将(3,4)代入.则有5+e=0.解 四方法总结 得c=-5.整理得3x-y-5=0.直线1的方程为3xy-5=0.若选择 ③：与直线x+3y+5=0垂直，可设直线方程为3x-y+e=0,将(3,4) 解析几何中景值与范国问题的常见求法：(1)几何法，若题目的条件 代人，则有5+c=0,解得c=-5.整理得3x-y-5=0.直线1的方程 能明显体现几何特征和意义，则考您利用图形性质来解决：(2)代数 为3x-y-5=0. 法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函 (2)如图，由题意，圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=5,得圆心为(4， 数，再求这个函数的最位 参考答案黑白题37