2.3.1 两条直线的交点坐标&2.3.2 两点间的距离公式-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

2.3直线的交点坐标与距离公式 2.3.1两条直线的交点坐标年2.3.2两点间的距离公式 白题 基础过美 限时：55mim 题组1两条直线的交点坐标及其应用 题组2两点间的距离公式及其应用 1.(2024·四川泸州高二月考)若直线y=x+2k+1 6.若点A(1,3)与点B(m,7)之间的距离等于5， 与直线y=之+2的交点在第一象限，则实 则实数m的值为 A.4 B.-2 数k的取值范围是 C.-4或2 D.4或-2 7.(2024·江苏徐州高二月考)已知A(a,2), B(-2,-3),C(1,1)三点，且IAB1=IAC1,则a c 的值为 ( 2.(2024·安徽合肥六中高二月考)已知三条直 2 D. 线2x+y-4=0,kx-y+3=0,x-y-2=0交于一 8.已知A(3,0),B(1,1),C(2,3)三点，则△ABC 点，则实数k= ( 的形状是 A.-1B.1 c A.钝角三角形 B.等边三角形 3.经过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的 C.锐角三角形 D.等腰直角三角形 交点，并且垂直于直线3x+4y-7=0的直线 9.设点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中 的方程为 点为M(2,-1),则线段AB的长为 4.若三条直线2x+y-4=0,x-y+1=0与ax-y+2=0 题组3运用解析法解决平面几何问题 共有两个交点，则实数a的值为 IO.已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点 5.(2024·湖北武汉高二期末)已知△ABC的顶 为M,建立适当的平面直角坐标系，证 点A(5,I),AB边上的中线CM所在直线的方 明：1AM1=21BC1. 程为2x-y-5=0,AC边上的高为BH,垂足 u( (1)求顶点C的坐标： (2)求直线BC的方程. 选择性必修第-册：RJA黑白题040 II.已知在正方形ABCD中，E,F分别是BC,AB 重难聚焦 边的中点，DE,CF交于点G,证明：IAGI 题组4用对称性解决距离问题 =IADI. 13.光线从点A(-3,5)射到x轴上，经x轴反射 后经过点B(2,10),则光线从点A到点B 的路程为 () A.52 B.25 C.510 D.105 14.(2024·安徽六安一中高二期中)已知两定 点A(-1,1),B(2,5),动点P在直线x-y= 0上，则1PA1+1PB1的最小值为() A.5/13B.34 C.5 D.37 15.(2024·浙江杭州高二期中)已知A(1,1), B(2,3)及x轴上的动点P,则IPAI+IPB1 的最小值为 16.如图所示，某县相邻两镇在一平面直角坐 12.如图，已知BD是△ABC的边AC上的中线， 建立适当的平面直角坐标系，证明：1AB12+ 标系中的坐标为A(1,2),B(4,0),一条河 边所在的直线方程为1：x+2y-10=0,若在 IBC-ACP-218D 河边上建一座供水站P,使之到A,B两镇 的管道最短，那么供水站P应建在什么 地方？ 第二章黑白题041 黑题 应用提优 限时：40min 1.(2024·广东广州高二月考)三角形的三个顶 距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被 点为A(2,-1),B(3,2),C(-5,4),则△ABC 后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶 的中线AD的长为 ( 点为A(0,0),B(5,0),C(2,4),则该三角形 A.3 B.5 C.9 D.25 的欧拉线方程为 ( 2.(2024·辽宁沈阳高二期中)若直线1：y=kx- A.x+2y-5=0 √3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限， B.3x-6y+1=0 则直线！的倾斜角的取值范围是 ( C.2x+y-10=0 D.2x-y-10=0 6.(2024·辽宁沈阳东北育才学校高二月考)如 c.() n.5) 图，已知两点A(4.0),B(0,4),从点P(2,0) 射出的光线经直线AB反射后射到直线OB 3.(多选)(2024·江苏泰州中学高二期中)若三 条直线l1:3x+my-1=0,l:3x-2y-5=0,l: 上，再经直线OB反射后射到点P,则光线所 6x+y-5=0不能围成三角形，则m的值可以是 经过的路程IPMI+IMNI+INPI等于() ( 1 A.2 B.-2 C.2 D.-1 4.(2024·河北保定高二月考)著名数学家华罗 A.33 B.2/10 庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难人 微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何 C.6 D.25+/10 7.已知点P(x,1-x)在第一象限内运动，则动点P 问题加以解决，如：√(x-a)+(y-b)2可以转 到原点O的距离1OP1的取值范围是 化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)的距离.结 8.已知△4BC的两个顶点A(-10,2),B(6,4),垂 合上述观点，可得f(x)=√+10x+26+ 心是H(5,2),则顶点C的坐标是 √+6x+13的最小值为 9 写出使得关于x,y的方程组 A.5 B.√/29 y-2 C.13 D.2+/13 1a+1, 无解的一个a的 5.(2024·江苏苏州高二期中)数学家欧拉于 (a2-1)x+(a-1)y=12 1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次 值： (写出一个即可) 提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交 10.已知点P在直线x-y-1=0上，点A(1,-2), ,点)、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的 B(2,6),则PA-IPBI取得最小值时点P的 交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的 坐标为 选择性必修第-册：RJA黑白题042四方法总结 y)为两条垂直直线的交点，则有PA⊥PB,所以PA2+PB2=AB=42+ 32=25.故答案为25. 在求直线的方程时，应先选邦透当形式的点线方程，并注意各种形式 的适用条件用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在：而两点式不 8.解：(1)由题意得A店=(2-m,-1),BC=(2,m2-m-2)八A,B,C三点 共线，∴.(2-m)(m2-m-2)=-2.即m3-3m2+2=m3-m2-2(m2-1)= 能表示与坐标轴垂直的直线：戴距式不能表示与坐标轴垂宜或经过 原点的直线，故在解题时，若采用献距式，应注意分英计论，判断载距 (m-1)(m2-2m-2)=0.解得m=1或m=1-√3或m=1+√5. 是否为零：若果用点斜式，应先考虑解率不存在的情况 (2)由题意知A店1B武.A店·武=2(2-m)-(m2-m-2)=0,即 m2+m-6=(m+3)(m-2)=0,解得m=-3或m=2. 压轴桃战 2 9.(1)解：易知直线2x+3-2=0的斜率为-了，设直线1的斜率为太，由 D解析：m(x+1)+n(+2)=0可化为mx+y+m+2a=0①，要使1与 两坐标轴能围成三角形，则mn0且m+2n0,在①中，令x=0得y= 两直线垂直可得子=-1.解得 2又直线1过点P(3,2),所以 2令y=0得-2，脓感意，子×( 3 n 直线1的方程为广2=之(x-3),即3-2-5=0 （m+2)=之×m2”xm20=×m44m+r= (2)证明：设A(a,0).B(0,b).又P(3,2),可得A币=(3-m,2),P店= (-3.b-2),由AP=2PB可得(3-a.2)=2(-3.b-2),解得a=9.b=3 m4=6.所以，4=2或m,如+4=-12，所以” m n m 易知M(0.2),0M=2,PM=3,所以梯形0PW的面积为7×2×(3+ 加=8或m如。-16设1=m,则44=8或44=-16，则-8+ 9)=I2,可得梯形EOF的面积为6.不妨设E(m,2),F(n,0),可得 4=0或+16+4=0，解得4-8±v64-6成4=-16tv256-16 即t=4士 2×2X(m+n)=6,即m*n=6:当m≠n时，直线EF的方程为y=之 =1 2 2 (x-n),将n=6-m代人上式可得2m(y-1)-(2x+6y-12)=0,由 25或1=-8±2√5，即m=4±23或m=-8±25.所以这样的直线 y-1=0. 2x+6-12=0 可得=3：即不论m为何值时，直线F恒过定点 y=1, 有4条.故选D (3,1):当m=n=3时，直线EF的方程为x=3,过点(3.1).综上可知， 2.2 阶段强化 直线EF必过定点(3.1). 2.3直线的交点坐标与距离公式 黑题 1.D解析：设点A(1,2)关于直线y=x对称的点为M(x。,y0),则点M 2.3.1两条直线的交点坐标+ J0-2 2.3.2两点间的距离公式 在线c上由，- 解得=2即M(2,1).由两点式可 白题 基础过关 0+1ya+2 (yo=I, 2-4W 72 2· (y=x+2k+1, = 1,A解析：联立 2+2.解得 3 故两条直线的交点为 得直线C的方程为得等即一办1：a做造D 2+5 ￥= 3， 2.A解析：设过点(5,6)且与两条直线平行的直线的方程为3r 2-4 >0. 4y+c=0,把点(5，b)代人直线的方程，解得c=46-15,∴.过点(5，)且 /2-462k+5 3 5 与两条直线平行的直线的方程为3x-4y+4h-15=0.由题意知，所求直 33 因为交点在第一象限，所以 2k+ 解得-2< 14h-155 31 线在y轴上的截距满足 4 <b<5.又b是整数 30 4 8 .b=4.故选A ,故选A 2 3.C解析：由直线2x-y=0和x+y=0垂直可得：=2，则P(0,5).设 x1+3=0, 2C解折：由亿20用6即两条直线的交放全标为2.0。 42).B号）于是 解得=4，于是 12x2 (3=-4, 代人-+3=0得2张-0+3=0，解得=-3故选C 2 4.似-4,2》直线的方程为号总即 5 x=- 3.4-3y+9=0解析：由2+30解得 故选C (x-3y+4=0, 即交点坐标为 7 4.B解析：由题意知，直线11,2都过定点(0，-1)，直线11的斜率为 1,倾斜角为45°.直线11,2的夹角在(0°，15°)之间变动..直线 571 的倾斜角ae(45°-15.45°)U(45°，45+15°)，即g■(30.45）U 3,g:所求直线与直线3x+4-7=0垂直…所求直线的斜 3 (45,60)mae(子，1U(1,5).故选B 率为子，故所求直线的方程为4-3+9=0 5.x+2y-3=0解析：由题意可知.直线1的方向向量为(-2.1)，则直线 4.1或-2解析：由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行.直 1的斜米=之子所以直线1的方程为y一1 线xy+1=0和直线2x+y-4=0不平行.，直线x-y+1=0和直线r 2(x-1).即 y+2=0平行或直线2x+y-4=0和直线aw-y+2=0平行.，直线x-y x+2y-3=0故答案为x+2y-3=0. 1=0的斜率为1，直线2x+灯-4=0的斜率为-2，直线-y+2=0的斜 率为4，…，a=1或a=-2故答案为1或-2 65解桥：由题意可得kc665.o白5，且直线C,0有 3-1 1 1- 公共点A,所以A.C,D在同一条直线上，所以该直线为y-6=5(x 5 5.解：(1)直线AG的斜率为 =-2.从而直线AC的方程为y-1三 1),即y=5x+L.由于B(2,10)不满足y=5x+1,故直线1的方程为y= 27 5- 5x+1,所以=5，m=1,所以"=5.故答案为5. 5 -2(x-5),即y=-2x+11,联立直线AC的方程与中线CM所在直线的 7.25解析：直线2x+m心+6=0，整理成my=2x-6,则2060→ 方程，可得仁0餐得传故点C的坐标为4.3. y=3, 二0，即A(-3,0),直线mx-2-m+6=0,整理成m(x-1)=2-6, x=-3, (2)因为BH为AC边上的高，所以直线BH的方程为x-2y-5=0设 则低6。一代即B1,.又m良过定发A的动直线 点B的坐标为(m,n),由点B在直线BH上可得m-2n-5=0:AB的 m+54+1 2x+m+6=0和过定点B的动直线m-2y-m+6=0始终垂直，P(x, 中点M的坐标为(2·2 ,点M的坐标满足直线CM的方程， 选择性必修第一册，RJA黑白题26 m-2n-5=0, IPA1+1PB引≥1AB1,即IA'BI为所求最小值.又A(1,1),B(2,3), 即m+5-"-5=0.由 +1。得m=即点B的坐标为 2 m-2 =0. (n=-3. 所以A'(1,-1),所以1A'B1=(2-1)+(3+1)=√/17故答案 为17. -1,-3)则直线BC的斜率为#-6，故直线BC的方程为- 16.解：如图所示，过点A作直线【的对称 点A',连接AB交I于点P,若点P(异于 5y-9=0 点P)在直线I上，则IAPI+1BPI= 6.D解析：由已知得1AB1=√(1m)2+(3-7)下=5.因此11-m1=3,解 1A'P"I+IPI>M'B1.因此，供水站只有在点 得m=4或m=-2故选D P处，才能取得最小值设A'(,b),则AM'的 7.D解析：14B1=14C1√(a+2)+5=√(a-1)+下，解得a= 中点在直线1上，且A4”⊥， 2故选D 即。 8.D解析：由两点间的距离公式可得1AB1=√4+1=5,1AC1= 1+9=√10，IBC1=√1+4=√5.1AB1=BC1,且1ABI2+1BC2= 1AC12,故该三角形为等腰直角三角形故选D. 解利化：即(3,6直线4B的方程为6r-24=0 9.25解析：设A(x,0),B(0,y线段AB的中点为M(2,-1). 38 11 =2. 解方程组6x+24=0,得 2 x=4, (x+2y-10=0, 36 点P的坐标为（祭治）故 A(4,0),B(0.-2),1AB1= 2=-1, （y=-2. y 供水站P应建在点 (部”)性 /4+(-2)=25.故答案为25. 10.证明：以Rt△ABC的直角边AB,AC所在的直线为坐标轴.建立平面 黑题 应用提优 直角坐标系，设B.C两点的坐标分别为(b,0),(0,c).:M是BC的 1.B解析：设BC边的中点为D,则点D的坐标为 )即 中点点M的坐标为 (-1,3),故△BC的中线AD的长为√(2+1)+(-1-3)下=5.故 B,. 公式得1BC1=V,M=√4+4 选B. 2，411= 6+33 6+3w3 21BC. 2.B解斩：联立三红：。解得 2+3k· 所以 2*3M≥0， 解 (2x+3y-6=0. 6k-23 6k-23 11,证明：建立如图所示的平面直角坐标系， 243k, (243张>0， 设正方形ABCD的边长为2，则B(0,0), C(2.0).A(0,2),E(1.0),F(0,1) 得3 ©。所以直线1的倾斜角的取值范周为（行·号）故选以 D(2.2),直线DE的方程为y=2x-2.直线 3.ABC解析：当11的斜率不存在时，m=0,此时41,2,4能成三角 (y=2-2, 形，不符合题意；当1，的斜率存在时，分为以下三种情况：山1∥2，则 CF的方程为y2+1.由 y=2+1, ( 有33 日号解得m-2山么则有-6解得m山 用 6 x 得 即点c(号）从1G1 相交于同一个点，由{6x5=0,解得代人3x+m-1=0.可一 y=-1, 2 得3-m-1=0,解得m=2.故选ABC y=- 5 4.C解析：因为f(x)=√2+10x+26+√x2+6x+13=√/(x+5)2+1+ √(g0(号2=2=. √/(x+3)+4=√(x+5)+(0-1)F+/(x+3)+(0+2),如图，记点 P(x0).4(-5,1),B(-3,-2),期f(x)=|PAI+1PB1≥1AB1= 即IAGI=|ADL. √/(-5+3)+(1+2)2=/3，当且仅当点P为线段AB与x轴的交点 12,证明：以AC所在的直线为x轴，点D为坐标原点，建立平面直角坐 时，等号成立，即f八x)的最小值为3故选C 标系xD.设B(b,c),C(a,0),依题意得A(-a,0),.IAB12+ IBCB2-I 14c2=(u+62+2+(a-6)2+e2-(2o)2=22+ 2b2+22-2a2=2b3+2c2,21BD12=2(2+e2)=262+22,.1AB12+ Bci2之Ac22D12 重难聚焦 5.A 13.C解析：点A(-3.5)关于x轴的对称点为A(-3.-5).则光线从点A 相桥：由重心坐标公式可：重心G(2,09）即 到点B的路程即线段AB的长，1AB1=√(-3-2)2+(-5-10)2= G(仔，号）设外仓（三e）小因为11=1Mc所以 5√T0.即光线从点A到点B的路程为5√10.故选G. 14.D解析：作出图形知A,B在直线y=x的同侧，点A关于直线-y= 0的对称点为A:(1,-1).则(1PA+PB1)m=1A,B1= √(2-1)2+(5+1)2=√37.故选D. 45 1 n(经，），所以kaw 34 Bt 75 )故欧拉线方程为了 4 32 (子)即+23-5=0放选A O P 6.B解析：如图，易知直线4B的方程为y=-x+4,设点P(2,0)关于直 (第14题) (第15题》 线B的对称点为P(,b)则。名1且宁空4，解得a=4, 15.√17解析：如图，过点A作x轴的对称点A',此时1PA1+IPB= b=2,即P,(4,2).义点P(2,0)关于y轴的对称点P(-2,0),由光的 参考答案黑白题27 反射规律可知，M,N,P,共线，M,N,P2共线，从面M,N,P,P2共线，2.C解析：由于点A(2,1)不在直线：x-y+3=0上，所以当AB11 所以光线所经过的路程长为IPM1+1MNI+INPI=IPMI+IMN|+ 时.1AB1最小，故1AB1d2-1+31-22.故选C 1NP21=1P,PI=√(4+2+22=20.故选B 3.B解折点(x5)关于点(1)的对称点为-2.-3).5-3=2. (x-2=2. 解得4即点P的坐标为(4，).直线)=+1的一般式方程为 (yg1, y+1=0,,所求距离d= 14-1+11 -=22.故选B √个+(-1)2 四方法总结 4.C解析：因为A(2,1).B(-4.)两点到直线：x-y+2=0的距离相 1.两条直线的位置关系要考虑平行，垂直和重合，对于斜率都存在且 等，所以2-1+21=1-4-a+21即10+21=3.解得41或4 不重合的两皋直线412山12一k1=62山112一k,·=-1.若有一 个+(-1)7√个+(-1) 条直线的斜串不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意， -5.故选C 2.对称问照一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用坐标转 12 5. 5 移法解决问题 解折：将直线子子1化为一银式方程可得新-4-12=0，由 点到直线的距离公式可得坐标原点(0,0)到直线1的距离为d= 1[停.）解折点e)在第一象限内 x>0. 解得0< 11-x>0. V3+(-4京5故答案为2 1-12112 6.B解析：设所求直线的方程为3x-4y+C=0.由题意得 <1.由|0P=+(1-x=√2x-2+1= 1C-(-11)1 =1.解得C=一6或C=-16.所以所求直线的方程为3x 符受≤0pkL故答案为[停！) 3+(-4)F 4y-6=0或3x-4y-16=0.故选B. 2-4 7.A解析：因为直线3x-4r+m=0(mc0)与3x+r+6=0平行.所以 8.(6.-6) 解桥：由已知可得，直线册的斜率5一62，则直 3n=(-4)×3,解得n=-4.又两条平行直线3x-4r+m=0(m<0)与3x 线4C的斜率c=-了，直线4C的方程为y-2=-子(+10)，即 +6=0之间的距离是3，所以d=m-6 =3,解得m=21(会 V3+(-4 x+2+6=0.又直线AH的斜率kw=0,则直线BC与x轴垂直，直线 去)或m=-9,所以m+n=-13故选A C的方程为=6，仁6 得点C的坐标为(6，-6) 四方法总结 9.-53,±1（写出一个即可）解析：当4=1时，(a2-1)x+(-1)y=12不表 1.求过两条直线交点的直线方程的方法：先求出两条直线的交点坐 标，再结合其他条件写出直线的方程 示直线，无解，故方程组无解： 当a1时，方程组可看作求两条直线号a+1()与(02-)x 2利用距离公式应注意：(1)点P(0)到直领x=a的距离d=1x l,到直线y=b的距离d=1y0-b1:(2)两条平行直线可的距离公式琴 (-1)y=12的交点，则方程组无解，即直线无交点.若两条直线平 把两直线方程中x,y的系数化为相等， 行，则a+1=-(a+1),解得4=-1：若两条直线不平行，则(a2-1)x+ (a-1)y=12过点(1,2)，即a2+2a-15=0,解得a=-5或a=3.此时 8.A解折：因为2。所以直线3+-12=0与6+8y+6=0平行. a+1不过点(1,2)，方程组无解综上，：的取值为-5,3，±1.故 y-2 所以1Q川的最小值就是两条平行直线之间的臣离.直线方程3x+4 12=0可化为6x+8y-24=0.则这两条平行直线之间的距离为 答案为-5.3.±1（写出一个即可）. 10.(-3,-4)解析：如图，设点A关于直线x 16-(-24)=3,所以1P01的最小值为3故选人 √/6+8 y-1=0的对称点为E(m,n),因为 9.D解析：设所求直线的方程为3x-2y+c=0(e≠-6).由题意可知.所求 A(1,-2), y-1=0 c-81 [m+1n-2 直线到直线的距离等于直线(1，间的距离， -1=0. √3+(-2) 所以 22 解得m一1·则 +2 -6-81 m-*1=-1, ln=0. ,解得c=22或c=-6(会去)，.所求直线的方程为 A1.-2 √3+(-2 E(-1.0),所以PA|-PB|=|PE|-0 3x-2+22=0.故选D. PB,结合图形知当B,E,P三点共线时，|PE-PB取得最小 值，即点P在点Q位置， 10.C解折：由题意，直线，与直线与关于平行于y轴的直线=号 6-0 对称，可得直线，的方程为y=-2x+3,直线，与直线11关于平行 则k0”2-(-1) 2.直线BQ的方程为y=2(x+1)=2x+2. 于x轴的直线y=3对称，可得直线1，的方程为y=2x+3,则直线，∥ 产解甲0 3,侧直线{上一点P到直线3的距离即为直线11与直线3之间 的距离由两平行线间的距离公式可得直线（与直线3之间的距 故|PA一PB取得最小值时点P的坐标为(-3，-4). 离4a13-(-3)165 故答案为(-3，-4). √（-1)2+2 F了，即点P到直线与的距离为65 故选C 2.3.3点到直线的距离公式+ 11.3x-2y+11=0或3x-2y-5=0解析：设直线1的方程为3r-2y+e=0 2.3.4两条平行直线间的距离 (c≠-1且c-13).由平行线间的距离公式可得21e+11=1r+ 131.∴c=11或c=-5,直线1的方程为3-2y+11=0或3x-2y 白题 马础过关 5=0.故客案为3x-2y+11=0或3x-2y-5=0. 1.C解析：设点P的坐标为(x,0),则3-4x0+6 12.1-11≤≤-1且k≠-61解析：y=-2x--2的一般式方程为 =6,解得x=8或 V32+(-4)7 2x+y+2=0.则两条平行直线间的距离4=+244.+6≤5 x=-12.∴点P的坐标为(8.0)或(-12.0).故选C √2+1下5 选择性必修第一册，RJA黑白题28