1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时 用空间向量研究距离 白题 基础过关 限时:40 min 题组1 点到直线的距离 (2)求点A到平面DEF的距离。 1.(2024·山东临沂高二期中)已知过坐标原点 的直线1的方向向量“三(1,1,1).则点 ( P(1.2.3)到直线/的距离是 _ B.5 C.③ A.2 D./2 2.(2024·山西太原高二期中)如图,正方体 ABCD-A.B.C.D.的校长为2.E是CC.的中 点,则点A到直线DE的距离为 ( ) 题组3 2 2/5 2 30 6/5 C.3 3 直线到平面与平面到平面的距离 5 D. 5 6.(2024·湖南邵阳高二月考)在校长为1的正 D. D. 方体ABCD-A.B.C.D. 中.E.F分别是BC.CD 的中点,则直线BD到平面EFD.B.的距离为 ) A.# B. } D. (第2题) (第3题) 题组2 点到平面的距离 7.(2024·河北石家庄一中高二月考)在校长为 1的正方体ABCD-A.B.C.D. 中,平面AB.C与 3.(2024·广东深圳高二期末)如图,在校长为1 平面A.C.D之间的距离为 1 的正方体ABCD-A.B.C.D. 中,E为线段DD _ A BA # 的中点,则点B到平面AB.E的距离为( __ 8. 如图,在四校锥O-ABCD中,底面ABCD是边 长为2的正方形,0A1底面ABCD.0A= 4.在四校锥S-ABCD中,AB=(-2.2.0).AD= 2.M.N.R分别为0A.BC.AD的中点,求直 (-2,-4,2),AS=(1,1.0),则该四校锥的高为 线MN与平面OCD的距离、平面MNR与平面 C _ OCD的距离. D.2 5.(2024·广东东荣高二期末)如图,在四校锥 P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧校PD1底 面ABCD.PD=DC=6.AD=3.E是$P$C的中$点 PB=3P (1)证明:AC/平面DEF; 第一章 黑白题017 应用提优 限时:40min 1.(2024·河北张家口高二期末)在长方体 AB$CD-A.B C.D 中$AA =2 AB=2 AD=4 E 为AB的中点,P为D.E的中点,则点P到直 5.(2024·江苏无锡高二期中)在校长为3的正 C ) 线CC.的距离为 方体ABCD-A.B.C.D. 中,E为线段DD 上靠 2、/5 5 近点D. 的三等分点,F为线段BB 上靠近点 2 C.③ B的三等分点,则直线FC.到平面AB.E的距 2.(2024·福建三明高二期中)已知四校锥 离为 P-ABCD中.PA=2.PAI平面ABCD.且四边 6.(2024·安徽毫州高二期末)如图,在三校 形ABCD是边长为2的正方形,E是PD的中 柱ABC-A.B.C. 中,所有梭长都为2.且 点,则点B到平面ACE的距离是 ) A.AC=60*,平面A.ACC 1平面ABC.P A.2 B A ).< 为AB的中点,0为A.C.的中点 (1)求点B.到直线P0的距离; 3.(2024·河北石家庄高二期中)如图,在正四 (2)求点B.到平面P0C的距离 ### 柱ABCD-A.B.C.D. 中,AA.=2AB=2.点E F分别是线段AC.和BD上的动点,则点E.F C 间的最小距离为 _ B. 1 压轴挑战 (2024·河南郑州高二月考)在空间直角坐标 4.(多选)(2024·陕西宝鸡高二期中)已 知正方体ABCD-A.B.C.D. 的校长为1.E. 系中,经过点P(x,V,)且一个法向量为m 0分别是A.B,A.C 的中点,点P在正方体 (a,b,c)的平面a的方程为a(x-x)+b(y- ,_ y。)+c(:-z)=0,经过点P且一个方向向量为 说法正确的是 __ ) # V 平面a的方程为3x-5v+4z+1=0.直线1的方程为 C. 平面A.BD与平面B.CD.间的距离为 _ 进阶突破 拨高练P04 选择性必修第一册·RJA 黑白题018 第2课时 用空间向量研究夹角 白题 基础过关 限时:60 min 题组1 异面直线所成的角 题组2 直线与平面所成的角 1.(2024·湖北武汉华师一附中高二期末)已知 4.已知空间向量AB=(1.0.-1),平面a的一个 两条异面直线的方向向量分别是u三(-3. 法向量n=(0.1.1).则直线AB与平面a所成 1.-2),v=(3.2.1),则这两条异面直线所成 角为 ) ) C 的角9满足 7 2r =。 5nm C. A. B7 D. ) 6 5.(2024·湖南彬州高二期末)在正方体 C. sin g-115 9 D. cos0=- ABCD-A.B.C.D 中,BC与平面ACD. 所成角 14 14 的正弦值为 ( ) 2.(2024·福建萧田高二期末)如图,在四校锥 2 B# .} P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA1AB. PA4AD.AD=1.AB=2,△PAB是等腰三角 6.(2024·江苏南通高二期末)如图,在正四核 形,E是楼PB的中点,则异面直线EC与PD 柱ABCD-A B C.D 中,AB=2.AA.=3.E.F分$$$$ 所成角的余弦值是 # 7 ) 2 别为A.D.和AB的中点 . 。/6 3 (1)证明:AC1EF: (2)求直线AC与平面C.EF所成角的正弦值 (第2题) (第3题) 3.(2024·黑龙江齐齐哈尔高二期末)中国古代 数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲 池”的几何体,该几何体为上、下底面均为扇 环形的柱体(扇环是指圆环被扇形截得的部 分).现有一个曲池如图所示,其中AA,1底 应的两个圆的半径之比为1:2,AB=1,AA.= 1.E在A.D.上且为靠近D. 的三等分点,则异 面直线BE与C.D所成角的余弦值为( ) 6-/2 2-6 B 2 4 6+/2 6-2 C. D. 第一章 黑白题019 7.(2024·安徽涂州高二月考)在菱形ABCD中. 10.(2024·浙江绍兴高二期末)如图,在四梭锥 <BAD-" P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PD1平 面ABCD.PD=AD=2.E.F.G分别为PC. 折,得到三校锥A-BCD如图所示,此时 PD.BC的中点. AC=6. (1)求证:PA1EF: (1)求证:平面ABD1平面BCD: (2)求平面DFG与平面EFG夹角的余弦值 (2)若E是CD的中点,求直线BE与平 面ABC所成角的正弦值 1 题组3 面面角与二面角 8.(2024·天津西青区高二期末)在正方体 11.(2024·四川广安高二月考)如图,在四校锥 ABCD-A.B.C.D. 中.E 为B.B的中点,则平 P-ABCD中.PA1平面ABCD.AD1CD.AD/ 面A.ED与平面ABCD所成角的余弦值为 $B$C.PA=AD=CD=2.B$C=3.E为$PD的中$点.$ ( ) PF 1 点F在PC上,目 PC3 (1)求证:CD1平面PAD; (2)求二面角F-AE-P的正弦值: A. B.2} C # D.#} 9. 如图,在直三梭柱ABC-A.B.C. 中,乙ACB= $$ $0*.AC=AA.=2BC=2.D为AA 上一点.若二 面角B-DC-C 的大小为30*,则AD的 长为 选择性必修第一册·RJA 黑白题020 应用提优 限时:60min 的是( ) B. 直线DF与平面AED.垂直 A.若a.b分别是直线1.1.的方向向量,则直 C. 直线DE与平面AED.所成角的正弦值 #为# 15 B. 若a.b分别是直线/的方向向量与平面。 D. 平面AED.与平面AED的夹角g的余弦值 的法向量,则直线1与平面a所成角的余 弦值是。 C. 若a.b分别是平面g.B的法向量,则平面 D. 若a.分别是直线/的方向向量与平面。 (第4题) (第5题) 的法向量,则直线/与平面g所成角的正 弦值是 5.(2024·湖南衡阳高二期中)如图,圆锥的底 面直径AB=2.高0C=2.D为底面圆周上的 2.(2024·山西忻州高二期末)在三校锥P-ABC 一点,乙A0D=120*.则直线AD与BC所成角 的大小为 中,PA1平面ABC.^BAC=90*.D.E.F分别 . 是AB,BC.CP的中点,AB=AC=2.PA=3.$$$ 6.(2024·山东济宁高二月考)已知正方体 则直线CP与平面DEF所成角的正弦值为 ABCD-A.B.C.D. 的梭长为1.H为校AA 上的 动点,若CH1平面B.则直线CD与平面B所 .3/13 成角的正弦值的取值范围为 7.(2024·广东江门高二期末)如图,已知三枝 3.(2024·吉林长春高二月 柱ABC-A.B.C.的侧校垂直于底面,乙BAC=90 考)如图,在正三校柱 (1)求证:AB1AC; ABC-A.B.C. 中,AB=AA 则平面CA.B. 与平面AA.C.C夹角的余弦值为 所成角的余弦值 / ) ## A#7 #27 .1 ).4 4.(多选)(2024·山东枣庄高二月考)如图 在正方体ABCD-A.B.C.D. 中,E.F分别是 BC.BB.的中点,若正方体的梭长为2.则下列 说法正确的有 )_过 第一章 黑白题021 8.(2024·重庆八中高二期末)如图,在四校锥 10.(2024·湖北武汉华师一附中高二期末)如 P-ABCD中,底面ABCD为矩形,AD= 图,四边形ABCD是边长为1的正方形, $PP$D=2CD=2.PB=3.E为梭PC上的点,目 ED1平面ABCD.FB1平面ABCD,且ED= BC1DE. FB=1. (1)证明:AD1PD: (1)求证:FC1平面ADF. (2)若PE=2CE,求直线DE与平面PAC所成 (2)在线段EC上是否存在一点G(不含端 角的大小. 点),使得平面GBD与平面ADF的夹角 为45{*}?若存在,指出点G的位置;若不 存在,请说明理由 9.(2024·河南新乡高二期末)如图,在三梭锥 $P-ABC中$BC=BP$=5.AB$=7.P$A=4 $2$$ △PAC为等边三角形,0为PC上的一个动点 (1)证明:平面PAB1平面ABC (2)#当P- 2 0C时,求二面角P-AB-0的余 弦值. 压轴挑战 (2024·广东梅州高二期中)在三校锥P-ABC 中,PA.AB.AC两两垂真,D为楼PC上一动点, PA=AC=2.AB=3.当BD与平面 PAC所成角最 大时,AD与平面PBC所成角的正弦值 为 进阶突破 拔高练P05 选择性必修第一册·RJA 黑白题022@:兮所以心长度的最大值为故答案 4 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时用空间向量研究距离 白题 基储过关 DE⊥AB 若D,E1平面AB,F,则 即x0+2x2+(-2)×2=0. 解 1.D解析：由题意可知，O币在直线1上的投影向量的模长为 D,E⊥A 11×(-2)+2+(-2)×0=0. 0P.6 用11.所品子故答案为宁 =23.所以点P(1,2,3)到直线1的距离d= 7.(1)证明：如图①，连接AC,在直三棱柱ABC-A,B,C,中，有AC= =√2.故选D. AC+CC=4,AC,=AB.:AD上BC:.D为BC,中点.又E 为A,B的中点.六DE∥AC,AC∥AC,DE∥AC.又DEg平 2.D解析：建立空间直角坐标系如图所示，则D,(0.0,2),E(0,2,1), 面ABC,ACC平面ABC..DE∥平面ABC A(2,0,0),D,E=(0.2,-1),D=(2,0,-2),所以点A到直线D,E 的距离为。 选D. ①D (2)解：如图②，建立如图所示的空间直角坐标系A:,则G,(2,0, 23)A,(0,0,25),B(0,4.0),D(1,2,3),C=(2,0,0),A1B= (0,4,-23).d=(1,2.3) 设A4E=AAB,0≤A≤1，则E(0,4A,25-25A),A正=(0.4h,23- 3.C解析：如图，在棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D,中，以D为坐 25A.设平面4C,的法向量n=(,则n=0, 标原点，DA.DC,DD,分别为x轴y轴z轴，建立空间直角坐标系， (A,方.n=0. 1=0, 取：1=2，得n=(0,尽，2)，设平面ADE的法向量m= 2y1=31, 正·m=0,即4*251-=0取与-2A, (22).则m=0,气+2+5=0， 得m=(43A-23,5-3A,-2A).平面DE上平面ABG1, 3 六·m=3-3-4h=0,解得A=7当平面DE1平面ABC,时， 则81.1,0.a1,1.),E(0.0,2)41,0.0,g=0,1 A E 3 41B7 正-(1,0，号)应=(01.0).设平面4B,5的法向量为n=(云 压轴挑战 +=0, 7 y,）,则 n·AB=0, 解析：如图，以正方体的顶点A为原 m正=0. =0,令2，则a=1,-22.则点 点，AB,AD,AA1所在直线分别为x,y.:轴建 B到平面AB,E的距离d= A店·nl 2 立空间直角坐标系， 1m1+(-2)+23 则A(0,0,0),B(1.0.0),C(1.1,0),D(0 4.B解析：设平面ABCD的法向量为n=(x,y,:),则 1,0).A(00.1),B(1,0,1),C(1,1,1). no.1).w(o,0(.0） ·=0即-2+20. a市0，即-2x-4+2a取=1，得n=(1,1,3),四校锥 B 动点P在底面正方形ABCD内（色持边界 运动，则设P(x,y.0),且x,ye[0,1],则B,产=(x-1,y,-1).设平 S-ABCD的高即为点S到平面ABCD的距离，为不.。2。 面4，MN的法向量为n=(a6.).因为=(1,0，一之)4=(0 2赦选 11 5.(1》证明：如图，以D为坐标原点，分别以DA 则 n=0.20. a2令c=2,则n=(1 DG,DP所在直线为x轴、y轴、：轴.建立空间 1 2-=0(6=2c. 直角坐标系.则D(0.0.0),A(3.0.0),C(0,6 0),B(3,60),P(0.0.6).因为E是PC的中 4,2).因为B,P∥平面AMN,所以B,市，=(x-1,,-1)·(1,4,2)= 点，所以E(0.3,3).因为P=3P示，所以 l4-2=0,即4-3=0，则=-4+3a[0,1,所以ye葡分 F1.2.4).所以亦=(1,2,4)，D成=(0,3,3)， A元=(-3,6,0).设平面DEF的法向量为n= 子]则1市1=0-。-*5 （,则·可+2+4=0. In.DE=3y+3:=0. 令y=1,则：=-1，x=2,所以n= √（号）号由二次函数的性质可得当时，耐= (2,1,-1),所以元·m=(-3)×2+6×1+0×(-1)=0,所以亡1n, 参考答案黑白题09 且AC丈平面DEF,所以AC∥平面DEF 黑题 应用提优 (2)解：因为D1=(3.0.0),所以D·n=3×2+0+0=6 又1n1=√22+1+(-1)下=√6. 1,D解析：如图，建立空间直角坐标系，则P1, 所以点4到平面DBF的距离为成m,。石 B 2c(0,24.c(0,2.0).所以P元=1 -1 6.D解析：如图，建立空直角坐标系，则D(0,0,0),B(1,1,0),C(0, 三，2）.CC=(0.0-4).设点P到直线cG,的距 1,0,E(1.0）F(0,30(1,11).D,(0.0,.所以 离为h,则h=1PG1√-e(PG.CC= i(行0.0）a可(-11.0).玄(0.-1）设平面 ·Cd 296413 n·B1D1=-x-y=0. G“√462故选D EFD,B,的法向量为n=(x,y,:),则 令=1. 2.D解析：以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴 z轴，建立空回直角坐标系如图所示，因为底面正方形ABCD的边长 则n=(-2,2,1).因为BD∥B,D,BD￠平面EFD,B.B,DC平面 为2.P4=2,且E是PD的中点，所以A(00,0),B(2,0.0).C(2.2 EFD,B1,所以BD∥平面EFD,B,所以直线BD到平面EFD,B,的距 0).E(0,1,1).则AB=(2.0.0).AC=(2.2,0).AE=(0.1,1).设平 离即为点B到平面EFD,B,的距离，所以直线BD到平面EFD,B,的 面ACE的法向量为n=,期：：2红+20·令，=-1，可 气n.4正=y+z=0, 距离d= 2*(-2) 1 3 ,故选D √(-2)2+2+1 得x=1,=1,所以n=(1,-1,1).所以点B到平面ACF的距离d= n….225放选D n厚3 7.B解析：建立空间直角坐标系如图所示，则 A(1.0.0).C1(0.1.0).D(0.0.1).A(1.0. 3,C解析：因为点E,F分别是线段AC,和BD 1),所以DA1=(1,0-1),DC=(0,1,-1), 上的动点，所以EF间最小距离即为异面直 i=(-1,0,0),设平面A4C,D的法向量 B 线AC,与BD间的距离.建立空间直角坐标 (m1DA,. 系如图所示，则D(00,0),B(1,1.0),A(1, 为m=(x,大，1)：则 mIDC:. A 0,0).C(0.1,2).则D=(1,1,0),AG= (m·D=x-1=0 m·元=r1=0 解得=故m=(1,1,)。 (-1.1,2),A=(0.1.0).设与异面直 (y=1. 线AC,,BD都垂直的向量为n=(x,y,:),则 显然平面AB,C∥平面A,C,D,所以平面AB,C与平面A,C,D之间的 (n·DB=x+y=0, 解得三，取x=1, 离”方-得选 (n·AC1=-x+y+2:=0, 《x=-y, 则y=-1,=1,所以n=(1,-1,1),则异面直线AC,与BD间的距离 四方法总结 为n:.13 本题主要考查了空阿向量在求解距离中的应用，利用空同向量求解 ”疗兮即点，F间的最小距离为号故选C 点到平面的距离的步骤通常为：①求平面的法向量：②求斜战段对应 4.BC解析：如图，建立空间直角坐标系，连接BE,A,B.BP,BD,CD, 的向量在法向量上的投影的地对值，即为点到平面的距离空间中其 BC,则A(0,0,0),B(1,0,0),D0,1,0),A(0,0,1),G(1.1,1) 他距高问题一般都可转化为点到平面的距高求解. n01.(分a1）o(}）所以威=(-1.0o 8.解：因为M.R分别为A),AD的中点.所 以MR∥OD.因为在正方形ABCD中.N,R 成=（子01）设服=A,则m=应.5. 分别为BC.AD的中点，所以NR∥CD a·1“5,血 又MR∩NR=R,OD∩CD=D,所以平面 MNR∥平面OCD.因为MNC平面MNR 个一025故点A到直线能的距商4=瓜血0=1以2等 所以N∥平而OCD,所以直线MN与平 面OCD的距离、平面MR与平面CD 25放A错误方：不（行子0小平面概山，的 的距离都等于点N到平面OCD的距离. 以A为坐标原点，建立空间直角坐标系 个法向量D=(0,-1,1),则点0到平面ABC,D,的距离山 如图所示，则0(0,0,2).C(2,2.0),D(0,2,0),N(2,1,0).所以N元= (0,1,0),0品=(0,2，-2)，Ci=(-2,0.0).设平面0CD的法向量为n= 网，G动立2.故正确方=(10，-0方=0.1- (.则：页2之0令1.得n=(0.1)为平面0D (n,Ci=-2r=0. A,D=(0,1,0).设平面A,BD的法向量为n=(x,y,:),则 的-个法向量，所以点N到平面0D的距消4：屁，.巨 7，所以直 0即令1.得y=11.所以=(1.0.所 m·A1i=0. (y-=0. 、线MN与平面OCD的距离，平面MR与平面OCD的距离郁等于？， 以点D,到平面A,BD的距离山= AD·n113 l53 选择性必修第一册，RJA黑白题10 0).又OB=(5,0,0),所以点B,到平面P0C的距离为 1n·QB,13 压轴挑战 2 10 解析：由题可知点0(0,0,0)在直线1上，取平面：内一点P0, D,C=(1.0.-1)=A,2,所以D,C∥AB,连接A,D,B,D.又因为 0,)由题意知平面的-个法向量为m=(3.-5,4),又亦-(0， D,C过平面AD.A,BC平而A,BD.所以D,C∥平面A,BD,同理B,C ∥平面A,BD,所以平面A1BD∥平面B,CD,,所以平面A,BD与平面 0.4】 ,所以s〈O亦m)= 币m。-12 ,所以直线 B,CD,间的距离等于点D,到平面A,BD的距离，所以平面ABD与 o币.1m1 4*52 5 平面80侧的距离为故C正确因为市：子店4上。 4 2 可所=（层号）亦00期是 到平面a的满为（成a1子2号号故答案为号 0 423 店 4 第2课时用空间向量研究夹角 白题 过关 所以点P到直线AB的距离d,= 1AP12 1.B解析：，两条异面直线的方向向量分别是=(-3，，-2)."= A正 (3,2,1),4÷"=-3×3+1×2+(-2)×1=-9,141= √14166，故D错误放选C /18195 √(-3)2++(-2)产▣√14,1p1=3+2+1=4.又两条异面 -9 53v22 所成的角为，则cs0=1m(,)1=: 解析：如图，以D为坐标原点，建立 w·ma.a 11 空间直角坐标系，连接F,则A(3,0.0),A 放进及 9 E(0,0.2),F(3,3,1),C1(0,3.3).B1(3.3 2.B解析：因为AB.AD,AP两两垂直，所以 3).所以AE=(-3.0.2),FC=(-3,0,2).所 以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别 以A正=FC,而AEC平面AB,E,FC,C平 为x轴y轴、：轴，建立空间直角坐标系如图 面AB,E,放FC,∥平面AB,E,所以直线FC 所示.又因为PA=AB=2,AD■1.所以 到平面AB,E的距离即为点F到平面AB,E的距离.又AB=(0,3, A(0,0.0),B(2,0.0),C(2.1,0),D(0,1 3).设平面仙，E的法向景为=（，，则：正0。即 0),P(0.0,2).因为E是棱PB的中点，所以 (n·AB=0, 3+2=0取=3，则m=(2,-3,3).易得=(3,3.-)，故点F到 3y+3z=0, Pi=(0,1,-2).可得w(武.i)= 1+1 3,所 平面AB,E的距离4= #·E6322 1m2元1 答案为3三 11 6.解：(1)由三棱柱ABC-A,B,C,中，所有棱长都为2.得四边形 ACG,A,为菱形，又△ABC,△A,B,C,都为等边三角形，连接CA,所 以异面直线化与心所成角的余孩值是放选肌 以△ACA1为等边三角形，取AC的中点0，连接OA1,OB.,则OA1⊥AC 3.D解析：以底面圆弧的圆心O为坐标原点.CD,BA所在直线分别为 又平面A1ACC⊥平面ABC,平面A,ACC,∩平面ABC=AC,OA,C平 x轴y轴，过圆心)垂直于底而的直线为：轴，建立空间直角坐标系 面A1ACC:,所以0A1⊥平面ABC,则OA,⊥OC,OA,⊥OB.因为 图所示.扇环对应的两个圆的半径之比 OB⊥AC,所以OB.OC,OA,两两垂直则以0为坐标原点，OB,OC 为1：2，AB=1,则有0B=0C=1,0A= A,所在直线分别为x轴y轴，：轴，建立空间直角坐标系0x:如图 OD=2.AA1=1,E在AD,上且为靠近D 所示， 的三等分点，则B(0.1.0),D(2,0,0). C(1,0.1).E3,1.1).BE=(3.0.1). C,D=(1.0,-1),异面直线BE与C,D所 皮的角的余装值为1一屁.G1-成.c立6：5故 16屁11C,12x24 选D. 4.A解析：设直线AB与平面a所成的角为R,则in0=1os(店， 则A(0.-1.0),A1(0,0,3).(3,0,0),C(0,1.0).C1(0.2,3).又 0B=0成+BB=0+A=(5.0.0)+(0,1,3)=(5,1,5),则 5子四为0儿]名故 5.1.r(停000.1.所以0m-(50.0. 选A. 5.B解析：分别以DA.DC,DD1所在直线为x轴、y轴，：轴.建立空间 直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为1，则A(1.0,0),C(0,1, 元-(5a）则丽1=5可@ IPOI 6所以点B 0),D1(0.0,1),B(1,1,0),所以Ad=(-1,L,0),AD=(-1.0,1), 4 B武=(-1,0,0).设平面ACD,的法向量为n=(x,y,:).则 到直线PQ的距离为 (n…乙0，即y=0取1.则y=1=1,n=(1,1.1).设BC n,AD=0.-x+:=0, (2)连接(CP,CQ.由(1)知C=(0.0,3).设n=(a,6,c)是平面PQC 与平面ACD,所成角为日.则in8=1cs(B元，n)1= B成·nl B·Inl 的法向量，则 风-r5ce0取b.则n= m.Cd=3c=0, 1故选B 53 参考答案黑白题11 显然DD,⊥平面ACD,所以可取平面ABCD的一个法向量为n=(0 0,1),不妨设平面A,ED的法向量为n1=(x,y,:),所以 n,·=+2=0 令=1，得：=-=-子，即平面A,D的 m1·D=x+:=0. 1 一个法向量为m=(山，2，-1设平面4D与平面8CD所成 6.(1)证明：在正四棱柱ABCD-A,B,C,D中 以A为坐标原点.AD.AB,AA1所在直线分别为 角为，则cs=1ca(n,)1=nl,m 1n·n, 1 1×/1+ x轴、，轴：轴，建立空间直角坐标系如图所示.D 因为AB=2,A4=3,则A(0,0.0),C(2,2,0). 选B E(1.0.3).F(0.1.0).所以d=(2.2.0).E= 920 3 解析：如图.以C为坐标原点，CA.CB.CC,所在直线分别为 (-1,1,-3).因为心.E=2×(-1)+2×1+0× x轴、y轴：轴.建立空间直角坐标系Cz.则C(0.0.0).B,(0.1.2). (-3)=0,所以A元1E正，即AC⊥EF B(0,1,0)CB=(0,1.2).C=(0.1,0).设AD=a(0≤a≤2)，则 (2)解：由C,(2,2,3),得EC=(1,2.0).设平面C,EF的法向量为 点D的坐标为(2.0，a),Ci=(2.0,a).设平面B,CD的法向量为m= n·EC=x+2y=0, n=(玉y,),则 y=-1,得x=2=-1,即n= (5,),则 可-061将a(行2 n·E=-x+y-3z=0, m·C7=0 (2,-1.-1).设直线AC与平而G,EF所成角为8，则m8=1e%(A元. -1又平面G,DC的一个法向量为C=(0,1,0),记为n,则由 山品6吾每线北与平面6世质我布 m1s1花.1 cos 309= Imlinl a2 ,解得a=2 3 二（负值已舍去）， 的正弦值为 V④+4+1 6 放40-23 故答案为25 7.()证明：因为四边形ABCD是菱形，∠BMD=牙，所以△BD与 △BCD均为正三角形.如图.取BD的中点O,连接OA,OC,则OA⊥ BD,OC⊥BD.因为AB=2.所以OA=0C=3,因为OA2+OC= 6=AC,所以OA⊥OC.又BDnOC=0,BD,OCC平面BCD.所以OA⊥ 平面BCD.因为OAC平面ABD,所以平面ABD⊥平面BCD) ”4 四易错提醒 利用向量法求二面角大小的注意点： (1)徒立空间直角坐标暴时，若垂直关系不明确，应先给出证明： (2)对于某些平面的法向量，要结合则目条件和图形多观察，判断被 法向量是否已经稳含着，不用再求： (2)解：由(1)可闻，0A,0B.0C两两垂直.以0为坐标原点，0B.OC. (3)注意判斯二面角的平面角是锐角还是花角，可结合图形，以防结 0A所在直线分别为x轴、y轴：轴，建立空间直角坐标系，则A(0.0, 论失误， 3),B(1.0,0).GC(0,3,0),D(-1.0.0),因为E是CD的中点，所以 10.(1)证明：因为PD⊥平面ABCD.CDC平而ABCD.所以CD⊥PD.又 (号号0人所以成=(-1.05).成=(-1.5.0).应 四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD因为PD门AD=D,PD,ADC 平而PAD.所以CD⊥平而PAD.因为PAC平面PAD.所以CD⊥PA (兰咨0）设m=(云)为平面c的盐向量，则 因为EF∥CD,所以PA⊥EF. (2)解：以D为坐标原点，DA.DC,DP所在直线分别为x轴、y轴 :轴建立空问直角坐标系Dx,则D(0,0,0),F(0,0,1),E(0,1, m·=-5:=0.令y1,得=51，所以m(3.1.1).设 1),G(1,2,0),则D示=(0,0,1)，D=(1,2,0).设平面DFG的法向 m·BC=-x+3y=0, 直线BE与平面ABC所成角为8，则im0=Is(屁，m）1= 量为m=,期·=0， m·D元=x4+2y,=0 令h1=1,则x1=-2, 3w3V3 故m=(-2.1.0)是平面DG的一个法向量.所以E示=(0，-1.0)， B成·ml 22 5 ,所以直线BE与平面ABC所成角 E成=(1,1，-1).设平面EFG的法向量为n=(2,2),则 1屁·1ml3x5 (n…E7=y2=0, 的正弦值为 m.E元=3+2-2=0， 2=1，则2=1，故n=(1,0.1)是平而 8.B解析：以D为坐标原点，DA.DC,DD,所 EFG的一个法向量.所以cs(m,n)= m·n 在直线分别为x轴y轴：轴，建立空间直角 坐标系如图所示.不妨设校长为1，E为B,B 以平面PG与平面EFG夹角的余弦值为1m(m,n1=V而 的中点，所以D(0,0,0),A(1,0,1),E1 11.(1)证明：因为PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以PA⊥CD.因 为AD⊥CD,ADOPA=A,AD,PAC平面PAD,所以CD⊥平面PAD 1.3）m=(10.),成=（1.1.) (2)解：以D为坐标原点，DA,DC所在直线分别为x轴，y轴.过点D 垂直于平面ACD的直线为：轴，建立空间直角坐标系如图所示，因 选择性必修第一册，RJA黑白题12 为PA=AD=CD=2,BC=3,E为PD的中点，点F在PC上，且 四方法总结 PC (1)利用向量求直线与平面所成的角有两个，思路：①通过直线的方肉 号放c02.042.00),B10..P2.0,2.设).h 向量来求，即分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转 化为求两个方向向量的光角（或其补角）：②通过平面的法向量来求」 成-兮元得-2-2)=宁-2.2，-2》.解得1=号子 3=3 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是 料线和平而所成的角， =子故F(号)设面5的法向量为=( (2)若直线1与平面a的夹角为8，直线1的方向向量I与平面a的法 m·花=-x+=0, 向套n的先角为A.用0=行-B或0=B-牙，故有血0=1mB1 4 令x=1,则：=1.y=-1,所以m= l·n 111a (1,-1,1).又平面AEP的一个法向量为=(0,1,0)，故s(m, 3.A解析：如图.取AB的中点O,连接OC,过点0作OD∥BB.在正三 n)=- m·m--山，-l1)x(0,l.02。- 3,故二面角F-E-P 棱柱ABC-A,B,C中，平面ABC⊥平面AM,B,B,AC=BC,所以 √1+1+1 CO⊥AB.因为平面ABC门平面AAB,B=AB.C0OC平面ABC,所以 的正值为，(- C0⊥平面AAB,B.因为OA.ODC平而AA1B,B,所以C0⊥0A.C0⊥ OD.又因为OA⊥OD,所以OA,OC,OD两两互相垂直，故以O为坐标 原点，建立空间直角坐标系，设AB=AM1=2,则A,(1,2,0),B,(-1,2 0),C(0.0,5),4(1,00),则CM=(1,2,-3),4B=(-2,0,0), =(0,2,0).AC=(-1,0,5).设平面CA,B1的法向量为m=(x. y》,则 m0即+2-3=0取y=5,则m=(0B,2 m·A,B=0.(-2x=0, 四方法总结 设平面AM,C,C的法向量为#=(a,6.e),则 a·石=0即 合理建立空同直角坐标系： n·AC=0. (1)使用空间向量解决立体几何问题的关键环节之一就是建立空间 2b=0, 直角坐标系，建系方法的不同可能导政解题的简繁程度不同， l-a+3c=0. 令a=3.期n=(3,0.1).设平面C41B1与平面 (2)一教来说，如果已知的空阿几句体中含有两两垂直且交于一点的 M1C,C的夹角为0，则s0=m·m。 m1134×/37放选A 2 三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空问直角坐标系：如果不 存在这样的三条直线，那么应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为 两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建卓时以其中的垂直相 交直线为基本出发点， (3)建系的基本恩想是寻找其中的残线垂直关系，在没有现成的垂直 关系时婴通过其他已知条件得到垂直关系，在此基碧上选择一个合 理的位置建立空何直角坐标系， 黑题 应用提优 四方法总结 1.ACD解析：因为a,b分别是直线1,2的方向向量，且cos(a,b)= (门)求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个半平面所在 子记直线山所成的角为0，测m9=ma,b1=子故A正 平面的法向量，然后通过两个平蕾的法肉量的夹角得利二面角的大 确：因为a,b分别是直线1的方向向量与平面a的法向量，且cs(a, 小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是纯角， (2)利用向量法求二面角的大小的关城是确定平面的法向量，求法向 年，设直线1与平面a所成的角为p,则有mp=s(a, 量的方法主要有两种：①求平面的垂线的方向向量：②利用法向量与 b)I=1 ，故B错误，D正确：因为a,b分别是平面&，B的法向量， 平面内两个不共线询量的数量积为零，列方程组求解。 4.ACD解析：以D为坐标原点，以DA,DC,DD,所在直线分别为x轴 且cos(a,b〉=- 年，设平面a,B所成的角为4.则4，不大于 y轴、：轴，建立空间直角坐标系如图所 示，A(2.0,0).D(0.0,0),D1(0,0,2). ,m=1=a.b1=}放C正确放选ACD E1,2,0),F(2,2,1),AD=(-2,0.2),AE=A 2.B解析：因为PA⊥平面ABCG.AB.AC都在平面ABC内.所以 (-1.2.0).D=(2.0.0).D元=(1,2.0) PA⊥AC.PA⊥AB.又∠BAC=90°，所以AB⊥AC,所以AB,AC,AP两两 DF=(2,2,1).设平面AED1的法向量为m= 垂直以A为坐标原点，A店.心，A产的方向分别为x轴、y轴，：轴的正 方向.建立空间直角坐标系如图所示，则C(0,20),P(0,0,3).D(1, (x,.).则m·AE=-t+2y=0、今y=1, (m·A0=-2x+2z=0, 0.0)51.o.f0.1号）-0.-23.成=0.10 则x=2,2=2,m=(2.1,2),÷点D到平面AED1的距离d= lm·D 4 4 -1,,三）设平面DF的法向量为m /22+12+22 =3,放A正确：假设存在AeR,使得币= (x,),则 m·D=0, y=0, (2=2A, 即 3 m·D亦=0. Am,则(2,2,1)=A(2,1.2).则2=入，此方程组无解，∴，不存在A∈ +y+2=0, 1=2λ， 取：=2，得m=(3,0,2),设直线CP与平面 R,使得D尿=Am,故向量D示与m不平行，即直线DF与平而AED,不 DEF所成的角为a,则in0=los(C,m》1=9 垂直，故B错误：设直线DE与平而AED,所成的角为B,则sn8= 1dm。3x2=6放选B m店5，故C正确：易得平面D的一个法向量为n D成·ml。4-45 C1ml3×313 参考答案黑白题13 (0,0,1),设平面AD,与平面AD的夹角&，则csa= m·n 角坐标系如图所示.则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,1,0),P(00,2) Imlinl 品号，故D正确放意Am .号，号）所u底-（号号）元(-21.0(-2， 0,2).设平面P4C的法向量为n=(x,y,:),则 5.60°解析：如图，取B的中点E,连接0E,以 0为原点，0E,0B.0C的方向分别为x轴 a·4花=-2y=0.令=1，则n=(1,2.).设直线DE与平面PAC n.Ad=-2x+2=0, y轴，：轴的正方向，建立空间直角坐标系 则A(0.-1,0),B(0,1.0).C(0,0.2). 所成角为0(0≤0≤号）则血=1m(a.成1=n:应 Inl·1DE 停)d-(停)成 25 (0.-1,√2).设直线AD与BC所或的角为8. 后X22三所以8=3，即直线E与平面PAC所成角的大小 3 0k受则m0=1m(,成1=可..三 Ai1IB元3x/3 2,解 为 9.(1)证明：因为△PAC为等边三角形，所以PA=CM=42,义PB= 得B=60°，所以直线AD与BC所成的角为60°，故答案为60 CB,AB为公共边，故△PAB2△CAB. 四方法总结 如图，作P0⊥AB.垂足为O,连接CO.由三角形全等易知C0⊥AB (I)求异面直线所成角的思路： P0=C0.设0=x,则OA=7-x由题意得PP=PA-0A2,且POP= ①选好基底我建立空问直角坐标系： PB2-0B2,所以(42)2-(7-x)2=52-x2.解得￥=3，故0B=3,0A= ②求出两直线的方向向量与2： 4.P0=V5-32=4.故C0=4.在△P0C中.因为P0+C02=PC2.所 1v1P2 以PO⊥CO.又因为C0⊥AB,AB,P0C平面PAB,AB∩P0=0,所以 ③代入公式1-i来解 CO⊥平面PAB.因为C0C平而ABC,所以平面PAB⊥平面ABC (2)两异面直线所成角的关注点： (2)以0为坐标原点，OC,0B,0P所在直线 分别为x轴y轴，：轴，建立空间直角坐标系 两异面直我所成角的范国是（小，]，再向登药夫角的范围是[0， 如图所示，则A(0,-4,0),B(0,3,0).C(4. π]：当异面直线的方向向量的夹角为锐角成直角时，就是谈异面直线 0,0),P(0,0,4),A话=(0,7.0).设点Q(0 的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为纯角时，其补角才是异面直 0,n),则P顶=(，0,0-4)，0记=(4-0， 线的夹角。 0,-人因为成=号成，所以 [停] 解析：以A为坐标原点，AB,AD,M,所在直线分别为 =3×(4）, 解得↓所以Q(1 x轴y轴、：轴建立空间直角坐标系9，则C(1,1,0),D(0,1.0).设 (0=3, 点l(0,0,a),其中0≤a≤1，则Ci=(-1,-1,a),Ci=(-1,0,0). ?CH上平面B.C为平面B的一个法向量.设直线CD与平面B所 0,3),则0=(-1，-4，-3).设平面04B的法向量为m=(x,y,),则 成的角为0，则sin0=1es(d成，d亦1=可.i (m·A乃=7Y=0. 取z=-1,则m=(3,0.-1),义因为平面PAB 1ci.lc1×√2+a lm…0i=-x-4y-32=0. 3 e[0.1. 1 【3·」直线CD与平面B 的一个法向量为n=(1,0,0),所以os(m,n》= w√32+(-1)2×1 √02+2 所成角的正孩的取值意得为停]故答案为[停号] 3D又二面角P-AB-Q为锐二面角，放二面角P-AB-Q的余弦值 10 7.(1)证明：由题意知AA1⊥平面ABC.又BCC平面ABC,所以AA1⊥ 为30 BC.由已知有AC⊥AB,且AC和AA,为平面A4,C,C内两条相交直 10 线，所以AB⊥平面AM,G,C.又因为AC,C平面AM,C,C,所 10.(1)证明：以D为坐标原点，DA,DC,DE所在直线分别为x轴， 以AB⊥AC· y轴z轴，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1 (2)解：由题意知AM,⊥平面ABC,AC⊥AB,以A24 0).C(0.1.0),E(00,1).F(1,1,1),∴.EC=(0,1,-1).D=(1,0 为坐标原点，AB.AC,AM,所在的直线分别为x 轴、y轴、：轴，建立空间直角坐标系如图所示，A 元.Di=0. 0),亦=(1,1.1)，则元成=1-1=0 故EC⊥DF,EC⊥DA. 令AB=AC=1,AH1=2.则A(0.0.0),B(1,0,0) C(0,1,2),B(1,0,2),C(0,1.0),故CB= DAODE=D,DA,DFC平面ADF,∴.EC⊥平面ADF. (2)解：存在，点G为线段EC上靠近点E的三等分点理由如下：设 (1,-1,2),AC,=(0,1.2).设异面直线CB EC=AEC(0<Ac1),则点G的坐标为(0.A,1-A),DG=(0,A,1-A) 与AC1所成角为a,coa= AC·CB, 设平面GBD的法向量为n=(m,,1),则 LAC ICB1 ⊙ -1+4 30 L故异面直线CB,与4G,所成角的余弦值为得 n…=A+1-A)=0令n=-A.则m=A-1,=-A,则n=(A- 5x6 0 (n·DB=m+n=0. 1,1-A,-A),,平面GBD与平面ADF的夹角为45°，且平面ADF的 8.(1)证明：因为四边形ABCD为矩形，所以BC⊥1 CD.又因为BC⊥DE,CD,DEC平面PCD,CDn 达向量为武=(0,1，-1)六s450=m·E冠 DE=D,所以BC⊥平面PCD.因为PDC平面 IallECI PCD,所以BC⊥PD.因为AD∥BC,所 1 2 以AD⊥PD. 2·42(1-A) F20e<1A= 3心G为线段EC上靠 (2)解：由(1)知，BC⊥平面PCD.因为℃C平 近点E的三等分点 面PCD.所以BC⊥PC,所以在R:△BCP中， 压轴挑战 PC=√PB-C=√⑨-4=5.所以PD+ C=5=PC2,所以PD⊥CD.以D.D元.DP为正交基底建立空间直 3V11 解析：因为PA,AB,AC两两垂直，PA∩AC=A,所以AB⊥平面 11 选择性必修第一册，RUA黑白题14 PAC,则BD与平面PAC所成角为∠ADB 所以LA8-总-名当AD取得最小值 时，∠ADB取得最大值，在等腰R△PAC 中，当D为PC的中点时，AD取得最小值 以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A 如图所示，则A(0,0,0),B(3,0.0), C(0,2,0,P(0,0,2),D(0.1,1),则Ai= (0.1,1),P元=(0,2，-2)，BC=(-3,2,0).设平面PBC的法向量为n= 5.ABD解析：以D为坐标原点，DA.DC,DP所 (,则a:元0即3-2=0. 在直线分别为x轴，y轴，：轴，建立空间直角坐 (n·B元=0.甲(-3x+2y=0, 令y=3,得n=(2.3.3).因 标系如图所示，设DC=1.对于A,依题意得 D(0.0.0).A(1.0,0).B(1,1.0).P(0.0.1) 为(na222=,所以AD与平面PpC所成角的正弦 e0,3）所以可i=1.0-0.应=d 值为3T放答案为3 11 11 1.0).成-(0，子）设平面08的法向 11 1.4阶段强化 m·D成=1+1=0， 黑题 除段强化 量为m=(,,）,则有 1.C解析：如图，建立空间直角坐标系，设C℃=3BC= 2+21=0.即 m·证 3CA=3,则4(1,0,0).C1(0,0,3).G(0,0.0).B(0,1, {三-片'取m=(1,-1.1).则可·m=0.因为PA￠平面EDB,因此 3).所以4C=(-1.0.3).CB=(0,1.3),则co(AC1 (1=-: CB)= AC·CB,(-1.0,3)·(0,1.3)。9 PA∥平面EDB.故A正确：对于B,=(11,-1).闲为P序.D正=0+ 11 1AC1·ICB1 /1+9×√/1+9 10 22=Q所以PB⊥ED由已知BF⊥PB,且EFODE=E,EF,DEC 放4G与C3,所成角的余弦值为品故选C 平面EFD,所以PB上平面EFD,故B正确：对于C.因为侧棱PD⊥底 面ABCD,所以∠PBD为直线PB与平面ABCD所成角的平面角，又 巴方法总结 因为BD=√AD+AB=2,PB=√PD+BD=3,所以6s∠PBD= 利用向量求空同角的步康： 第一步：建立空问直角坐标系，确定点的坐标： 四后宁，故C循误：对于D,依题意得C(0,10,且d或=1,0 BD√2V6 第二步：求向量（直线的方向向量、平面的法向量）坐标： 第三步：计算向量的夹角（或西数值），并转化为所求角： 0),P元=(0.1，-1).设平面CPB的法向量为n=(22,),则 2.B解析：，两平行平面a,B分别经过坐标原点0和点A(2,1,1), 0=(2,1,1):且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),两平面间的 成==0即-0取m=(01,1).因为PD上底面 m·P=y,-1=0,=为， E离为·0411-2+0+11=2故选B. ABCD,ACC平面ABCD,所以PD⊥AC.因为四边形ABCD是正方形. 所以DB⊥AC,又DB∩PD=D.DB,PDC平面PBD.所以AC⊥平面 3.D解析：依题意.圆锥的高P0=√22-(3)2=1.以0为坐标原点 PBD,则平面PBD的一个法向量为C=(1,-1,0),所以o(n,C)= 建立空间直角坐标系0：如图所示， n· =号，所以平面CPB与平面PBD的夹角为60°，故D正 Imc 确.故选ABD. 解析：如图.设AC的中点为E,连接BE,DE,BD.因为在菱 B 形ABCD中，∠ABC=60°，所以△BAC和△ACD都是等边三角形，因 此BE上AC.DE⊥AC.因为平面BAC⊥平面ACD,平面BAC门平 面ACD=AC.所以BE⊥平面ACD.而DEC平面ACD,因此BE⊥DE. 则40-5.0.80,0.c(号号or0,0..m=(0, 因此建立空间直角坐标系如图所示，设菱形的边 4 店.成=(}，0)成=(0-店-1).设平面mc的法 长为2.则A(1.0.0).C(-1,0.0).D(0.3.0). B(0,0,5),设平面BCD的法向量为m=(x 向量为a=,则a京三0.0 y,),BC=(-1,0.-3),品=(0,5.-5).所8 →33 成=0之2)=0， 取x=1,得n= 以有m·50,=取m=-万，1 (m·B0=√3-/3：=0 (1,5,3).设PA与平面PBC所成角为日，则in8=1es(可i,m)1= 1),易得平而ACD的一个法向量为m=EB=(0, 6313 即PA与平面PBC所成角的正弦值为3下故 0,3),设平面BCD与平面ACD夹角为0，则Ieos01=1eos〈m,n)I= 2×T313 13 m·n 1W31 ,因此n0=个m0 √5 选D. 4.B解析：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示.则A(0, 1m1·1n1√-√3)2+12+12x3 0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),则店=(1,0,0)，i=(0,1, 525故答案为2 0d=(00.).放+号-（任行号）月 125 5 7.3 解析：以D为原点，建立空间直角坐标 15 故点P到AB的距离d= 系如图所示，则D(0,0,0),A(2,0,0),A B(2,2.0).C(0,2.0),B,(2,2.2).得AB= (0,2,2),AC=(-2.2.0).设P(A,2,0),P1= D ()+(:)广()广（任）故选 (2-A,-2.0)P℃=(-A.0.0).则P1+PC= 参考答案黑白题15