1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

14空间向量的应用 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 白题 基础过关 限时：55min 题组1直线的方向向量与平面的法向量 A.平行 B.垂直 1.(2024·广东惠州高二月考)若P(1,0,-2), C.相交 D.不能确定 Q(3,1,1)在直线1上，则直线1的一个方向向 7.如图所示，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，E,F 量为 G,H分别是BC,CC,C,D,AA的中点.求证： A.(1,2,3) B.(1,3,2) (1)BF∥HD,: C.(2,1,3) D.(3,2,1) (2)EG∥平面BB,D,D: 2.（2024·安微蚌埠高二月考)已知点A(1,0, (3)平面BDF∥平面B,D,H. 0),B(0,2,0),C(0,0,3),则下列向量可作为 平面ABC的一个法向量的是 ( A.(1,2,3) B.(3,2,1) C.(2,3,6) D.(6,3,2) 3.(多选)(2024·湖南常德高二期中)已知平面 a的一个法向量为n=(1,2,-1),点P(1,2, 3)在a内，则下列点也在a内的是 ( A.(3,6,1) B.(2,3,6) C.(0,3.4) D.(3,3,-1) 题组2空间向量与平行问题 4.在空间直角坐标系中，A(1,2,3),B(-1,0 5),C(3,0,4),D(4,1,3),则直线AB与CD 的位置关系是 ( A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法确定 5.(2024·河南南阳高二月考)若直线1的一个 方向向量为a=(1,-1,-1),平面a的一个法 向量为b=(1,2,-1),则 ( A.l∥a B.lCa C.l⊥x D.l∥a或lCa 6.(2024·山东枣庄高二月考)两个不同的平面 a和B,平面α的一个法向量为y,=(1,2,1), 平面B的一个法向量2=(2,4,2)，则平面α 与平面B ( 选择性必修第-册：RJA黑白题014 题组3空间向量与垂直问题 1L.在正方体ABCD-AB,C,D,中，求证：DB,⊥平 8.(2024·广东深圳高二期末)设平面x和B的 面A,BC 法向量分别为m=(1,2,-3),n=(-2,k,6). 若a⊥B,则k= () A.4 B.-4 C.10 D.-10 9.(2024·安微安庆高二月考)平面α的一个法 向量n=(0,1,-1),如果直线11平面a,那么 直线I的单位方向向量s= ( A.(0,1,-1) ±o受) C.(0,2,-2) D.±(0,2，-√2)》 10.(2024·山西晋中高二期中)如图，在四棱锥 P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,底面ABCD 12.(2024·河南信阳高二月考)如图，在四棱锥 为正方形，PD=DC,E,F分别是AB,PB的 P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD⊥AB,AB∥ 中点 DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的 (I)求证：EF⊥CD: 中点证明： (2)已知点G在平面PAD内，且GF⊥平面 (1)BE∥平面PAD: PCB,试确定点G的位置 (2)平面PCD⊥平面PAD 第-章黑白题015 黑题 应用提优 限时：40mim L.(2024·湖北荆州高二期末)直线a,b的方向5.(2024·福建福州高二期中)已知平面α∥ 向量分别为a,b,平面&，B的法向量分别 B,m和n分别是a和B的法向量，m=(2,3, 为m,n,则下列选项正确的是 ( -1),n=(x,y,2),则x+y= A.若a∥b.则a·b=0 6.(2024·河南信阳高二月考)在正方体 B.若b∥B,则b·n=0 ABCD-A,B,C,D,中，点E是棱BC的中点，点 C.若a⊥a,则a·m=0 时， D.若a∥B,则m·n=0 P是楼0上的动点，当需 2.(2024·海南海口高二月考)已知平面α∩平 D,E⊥平面ABF 面B=l,a,B的一个法向量分别为n,=(1,0, 7.(2024·山西大同高二期中)如图，在直三棱 1),2=(0,-1,1),直线1的方向向量为e= 柱ABC-AB,C1中，AB=2AC=4,AA1=23, (入，4，-2)，则下列结论不正确的是( AB⊥AC,AD⊥BC1,垂足为D,E为线段A,B上 A.入+u=0 B.A-4=-4 的一点。 C.=-4 D.=- (1)若E为线段A,B的中点，证明：DE∥平 面ABC: 3.(2024·福建厦门高二月考)如图，在正方 体ABCD-A,B,C,D,中，当点F在线段BC,上 (2)若平面ADE⊥平面A,BC1,求 B的值 运动时，下列结论正确的是 A.A,F与BD可能平行 B.A,F与B,D始终异面 C.A,F与平面BDC,可能垂直 D.A,F与B,D始终垂直 (第3题) (第4题)】 压轴挑战 4.(多选)如图，在长方体ABCD-A,B,C,D,中， (2024·四川绵阳高二月考)在棱长为1的正 底面A,B,C,D,为正方形，AC,⊥平面BDE,E 为A4,的中点，则下列结论正确的是( 方体ABCD-A,B,C,D,中，M,N分别是AD,B,B A.AC,⊥BD 的中点，动点P在底面正方形ABCD内（包括边 B.AC,⊥A,C 界)运动，若B,P∥平面A,MN,则CP长度的最 C.A,C∥平面BDE 大值为 D.平面A,D,G⊥平面BDE 进阶突破拔高练POe 选择性必修第-册：RJA黑白题016B,=(x-3y-3,-3).D,2=(1,3,-3).则 (3)由(1)可知，B=(3,1,2),元=(-5,1,0)，则s(6 B,户.D,E=x+3y-3=0→x=3-3y,所以0≤ B成= B·屁配 3-3y≤3→y∈[0,1]，而1B,产1= 区.方=6，因此份与武夹角的余弦值 √(x-3)2+(y-3)2+9=√10y-6y+18,由 6 二次函数的单调性可知t=102-6y+18= 为6 (高1-名当1t2 压轴挑战 解：连接D,BG应=成-p且店=D元，D元=P成-PP元=币 则B,P=√22，故选B 。c解折：成办-花宁(，可-（而=-店市 元成=市扇--成肥市成 国。+宁A正镜：G=+成，配=+而： 吉(-成+成又=m-成 A4=a+b+c,.B错误.a2=b2=c2=4,a·b=b·c=c·a=2×2× 可成：号成折花m。-智号成 os60=2.D元=a,1D元1=2.AG=a+b+c.1AC1=√(a+b+c)= g成成丽G=同-花成=（智成（贺） √a+b+c+2a·b+2b·c+2a·c=、√4+4+4+4+4+4=26，D元. 里成：B.G,P,D四点共面1智=0.即m=号 3 AC=a·(a+b+c)=a2+a·b+a·c=4+2+2=8,s(D元，AC)= D成·AC8-6 DxG2x263C正确丽=-a+he, 1.4空间向量的应用 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 1B01=√(-a+b+c)=a+b+e2-2a·b+2b,c-2c·a= 白题 基袖过关 ,4+4+4-4+4-4=22,,D错误故选AC. 7.0解析：因为空间向量a,b,c不共面，且4a-5b+c=a+b+c,所以 1.C解析：依尷意，直线1的一个方向向量为P问=(3,1,1)-(1， 4=x,-5=y,=1,所以x+y+壮=0. 0,-2)=(2,1.3),其他三个均不合要求.故选C 8.0解析：由a=(1.-2.1).b=(2.1.1).得a+b=(3.-1.2).a-b= 2.D解析：由A(1,0,0).B(0,2,0),C(0.0.3)知=(-1.2,0)，A元= (-1,-3.0),则(a+b)·(a-b)=3×(-1)+(-1)×(-3)+2×0=0.故 (-1,0,3),设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,:),所以 答案为0 （n·Ai=-x+2y=0, 9号解桥在0，可上的投影向量为0，心.放亦.0-00矿 m·Ad=-x+3=0. 取x=6.得=(6,3,2)，选项D符合，选项ABC 中的向量与选项D中的向量均不共线故选D. 4,di=(A0+0,0+0,)2=4+4+16-20,·0,i=16.设直线A 3.BC解析：若A(xy,:)为a内的点且与P不重合，则P=(x-1, 与直线00所成角为0，则eos8= A·0,011 10G2,所以0=于，即 2,3),又平面e的-一个法向量为n=(1,2,-1),则n·可=x 1+2y-4-+3=x+2y--2=0,即x+2y-:=2,显然(3,6.1)，(3,3，-1) 直线4B与直线0,0，所成角的大小为号放答案为号 不满足.(2,3,6)，(0.3.4)满足.故选C 4.A解析：在空问直角坐标系中，A(1,2,3).B(-1,0,5),C(3.0,4). 10.解：(1)因为E(0,0,1),B(1,0.0),F(0,2,2).C(a.2.0),所以E序= 八4,1.3)…Ai=(-2,-2,2),Ci=(1,1,-1)A=-2Ci又Ah (0,2,1).B武=(-1,2,0).所以向量武在向量E成上的投影的数量 与CD不在同一条直线上，∴直线AB与CD平行.故选A 为.C_0x(a-D+2x2+1x0.4.4 5.D解析：由a=(1.-1.-1).b=(1,2.-1),得a·b=1-2+1=0.因此 a⊥b,即a∥a,所以l∥a或tCa,故选D. IEF 0+22+1下 55 6.A解析：由题意知1=(1,2,1)，2=(2.4,2).则2=2y1,即1,2 (2)存在.E=(1.0.-1).E7=(0,2,1）.B元=(a-1,2,0).若点E, 共线，则aB.故选A. F,C,B共面，则存在实数x和y使得E店=x+yB成，所以 7.证明：设正方体的棱长为1，以DA.DC,DD,所在直线为x,y,a轴建立 1=y(a-1), x=-1, 空间直角坐标系 0=2x+2y,解得{y=1,所以存在实数a=2,使得点E,F,C,B （)易知61,10.(01，)a.0号)(0.0 -1=x. a=2. 共而。 脉-(1.0）丽(.0，）…成/而F∥m 11.解：(1)设A41=a(a>0).A(0.-1,0),B(3.0,0).C(0.1,0) A(0,-1,a),B,(5,0,a),C,(0.1,a),AB=(3,l.a).BC= 2易知e(分1.0）co7）…成（分 (-3,1,a).因为AB1⊥BC,所以AB·BC=-3+1+a2=0,解得a= 平面BB,D,D的一个法向量为AC=(-1,1,0),且E式·A乙=0， 2,放正三棱柱ABC-A,B,C,的侧棱长为2。 (2)由(1)可知=(0,0,2)，A店=(5,1,0)，A花=(0,2,0)，易 ·E武⊥A元：EG不在平面m,D,D内∴.EG∥平面B,D,D (3)设平面BDF的一个法向量为n1=(,),平面B,D,H的一 知（停号）则（停号 222 .设i=x+ 个法向量为2=(2为，)m1上D丽，m1上示，2上Di,2上 x1+1=0, y花脚（停号）(0.0）+y(1.o+:(0.2 D:B. 取1=，则m1=(1,-1.2):《 2=0，取 y*231=0, x2+y3=0. 3y= =-1,则m2=(-1.1,-2),n1=-n2,.平面BDF∥平面B,D, 2 2 8.C解析：因为a⊥B.所以m·n■-2+2k-18=0,解得k=10.故选C. 0)=(5y,y+2,2x),所以 3 9.B解析：由题意知直线1⊥平而a,所以s∥n.因为n=(0,1,-1),则 *2:=之，解得2，因此 设s=(0,,-1),所以8=m.义因为g是单位向量，所以 2' 0r(可1得=号所以(o号受）故E 确，故选B 10.(1)证明：以D为坐标原点，D,D元，D币的方向分别为￥轴，y轴。 参考答案黑白题07 云轴的正方向，建立空间直角坐标系（如图） 黑题应用提优 设AD=a,则D(0,0,0),B(aa,0),C(0. 2 1,B解析：由题意.选项A.若a∥b.则a.b共线，a·b≠0，A错误： 选项B.若b∥B.则b,n垂直.故b·n=0,B正确：选项C.若a⊥a,则 a,m共线.a·m≠0.C错误：选项D.若aB则m,n共线，m·n≠ 0,D错误故选. 2.B解析：依题意，e1n1,c1m2,则e·m1=A-2=0,e·2=μ-2=0， 元=(0a.0,所以成.心=（号，0 解得A=2u=-2,因此Au=0,Au=4,A4=-4,入=-1，ACD正确， B错误故选B 号）小(0a.0)=0,所以BF1m 3.D解析：构建如图所示的空间直角坐标系。 设正方体的棱长为1，则D(0,0,0),A(1.0. （2解：因为Ge平面PiD,设cx,0a).所以F元=气2,2 1).B(1,1,1),B(1.1.0).C(0.1,1).令 F(a,1,1-a)且0≤a≤1，故1下=(a-1,l, 2)由(1)知C=(a,0,0),=(0,-a,a.因为f1平面P心B。 -a),而Bj=(-1.-1,-1).Bd=(-1,-1. 0).DC=(0.1.1).所以A求.B,i=1-a 1+=0,即A,1B,D.故D正确：显然A1F 在由相交线A,F和BC,所成的平面上，且 B,D与该平面有交点，故F在C,上移动过程中A,F可能与B,D相 (a-1=-A 所以x==0，所以点G的坐标为（，0,0）即点G为AD的 交，B错误：若A,下=AB品且A∈R,则1=-A,不存在这样的A (-a=0xA, 中点 A1市.8d=1--1=0, 11.证明：如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，侧 值，A错误；若A,户1平面BDC,则 显然不存 A1(1.0.1),5(1.1.0).C(0,1,1).B(1,1.1).故1B=(0,1,-1) M,F.C=1-=0, 在这样的a值，故C错误故选D. AG=(-1.1.0),DB=(1,1,1),设平面ABC,的法向量m=(x, 4,ABC解析：因为AC1⊥平面BDE,BDC平面BDE,所以AC,⊥ y,),则A,方⊥，A1C⊥m故A,方·n=0,A1C·n=0,即y-:=0 BD,A正确.如图①，连接AC.设AC∩BD=O,则O为AC的中点.连接 x+y=Q.取x=1,则a=(1,1,1).故有n=DB,DB1⊥平而A1BC. EO,因为AG,⊥平而BDE,OC平而BDE,所以AC,⊥E).又E为AA 的中点，0为AC的中点，所以E0∥A,C,所以AC,⊥A,C.B正确.因 为EO∥AC,又EOC平面BDE,A,CC平面BDE,所以A,C∥平面 BDE,C正确由已知DA1,D,C1,D,D两两垂直，如图2以D1为坐 标原点，D1不，D,C,D,乙为x,,:轴的正方向，建立空间直角坐标系. 设A,B,=2,因为底面A1B,C1D,为正方形，所以A,D1=2a,A,C,= 22a.由长方体性质可得四边形ACC,A,为矩形.又AC,⊥A1C,所以 A 四边形ACC41为正方形，故A41=22a,所以D,(0,0,0),A1(2a,0, 12.证明：(1)因为PA上平面ABCD,且：中 0),C(0,2a,22a),A(2a,0,22a),C1(0,2a,0),所以AC= AD,ABC平面ABCD.所以AD⊥PA.AB⊥于 (-2n,2a,-22a),D=(2a,0.0),D1乙=(0,2a,22a).因为AC11 PA.又因为AB⊥AD,所以AB,AD.PA两两 平面BDE,所以4C=(-2a,2a,-22a)为平面BDE的一个法向量. 垂直，以点A为原点，以AB,AD,AP所在直 线分别为，y,:轴建立如图所示的空间直 所以 角坐标系.则B(1,0.0).C(2.2.0), 设平面A,心C的一个法向量为n=(,.,则D了=0 lm·D,乙=0. D(0,2,0),P(0,0,2).由E为棱PC的中点，得E(1,1,1),则B证= 2x=0, (2+222=0 取y=2,则x=0,=-1,所以=(0,2，-1)为平 (0,1,1).易知=(1,0,0)为平面PAD的一个法向量，因为成， 面A,D,C的一个法向量.因为n·AC,=22a+22a=424≠0，所以 A=(0,1,1)·(1,0,0)=0,所以BE⊥AB.又BEC平面PAD,所以 BE∥平面PAD 向量n,AC不垂直，所以平面A,D,C与平面BDE不垂直，D错说放 选ABC. (2)由(1)知平面PD的一个法向量为A=(1.0,0).P可= (0,2,-2).0元=(2,0,0)，设平而PCD的一个法向量为n=(x .则：0即么=0令y.可得l,所以n0. {m.p成=0， (2x=0, 1,1).又n·A店=(0,1,1)·(1,0.0)=0，所以n1A店.所以平面 PCD⊥平面PAD 四方法总结 1.用向量证明平行的方法： 2 (1)线线平行：只需证明两直线的方向向量是共线向量 5.-10解析：因为平面a∥B,所以m∥n,所以m=m,即(2,3，-1)= (2)线面平行：证明直线的方向向量能用平面的两个基底表示，成证 (x,2).所以1=2，即x=-4,y=6,所以x+y=-10故答案 明直线的方句向量与平面的法向量垂直， (3)面面平行：证明两平面的法向量是共线向量 为-10 2.用向量证明垂直的方法： 解析：如图.建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2.DF=1, (1)饯线垂宜：只臂证明两直线的方向向量互相垂直， 6.21 (2)线西垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量 则A(2.0.0),F(0,1.0),B(2,2.2),D,(0.0.2),E(1.2.0)D12 (3)面面垂直：证明两平西的法向量互相垂直. (1,2.-2),=(-2..0),B=(0,2.2). 选择性必修第一册，RUA黑白题O8 @:兮所以心长度的最大值为故答案 4 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时用空间向量研究距离 白题 基储过关 DE⊥AB 若D,E1平面AB,F,则 即x0+2x2+(-2)×2=0. 解 1.D解析：由题意可知，O币在直线1上的投影向量的模长为 D,E⊥A 11×(-2)+2+(-2)×0=0. 0P.6 用11.所品子故答案为宁 =23.所以点P(1,2,3)到直线1的距离d= 7.(1)证明：如图①，连接AC,在直三棱柱ABC-A,B,C,中，有AC= =√2.故选D. AC+CC=4,AC,=AB.:AD上BC:.D为BC,中点.又E 为A,B的中点.六DE∥AC,AC∥AC,DE∥AC.又DEg平 2.D解析：建立空间直角坐标系如图所示，则D,(0.0,2),E(0,2,1), 面ABC,ACC平面ABC..DE∥平面ABC A(2,0,0),D,E=(0.2,-1),D=(2,0,-2),所以点A到直线D,E 的距离为。 选D. ①D (2)解：如图②，建立如图所示的空间直角坐标系A:,则G,(2,0, 23)A,(0,0,25),B(0,4.0),D(1,2,3),C=(2,0,0),A1B= (0,4,-23).d=(1,2.3) 设A4E=AAB,0≤A≤1，则E(0,4A,25-25A),A正=(0.4h,23- 3.C解析：如图，在棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D,中，以D为坐 25A.设平面4C,的法向量n=(,则n=0, 标原点，DA.DC,DD,分别为x轴y轴z轴，建立空间直角坐标系， (A,方.n=0. 1=0, 取：1=2，得n=(0,尽，2)，设平面ADE的法向量m= 2y1=31, 正·m=0,即4*251-=0取与-2A, (22).则m=0,气+2+5=0， 得m=(43A-23,5-3A,-2A).平面DE上平面ABG1, 3 六·m=3-3-4h=0,解得A=7当平面DE1平面ABC,时， 则81.1,0.a1,1.),E(0.0,2)41,0.0,g=0,1 A E 3 41B7 正-(1,0，号)应=(01.0).设平面4B,5的法向量为n=(云 压轴挑战 +=0, 7 y,）,则 n·AB=0, 解析：如图，以正方体的顶点A为原 m正=0. =0,令2，则a=1,-22.则点 点，AB,AD,AA1所在直线分别为x,y.:轴建 B到平面AB,E的距离d= A店·nl 2 立空间直角坐标系， 1m1+(-2)+23 则A(0,0,0),B(1.0.0),C(1.1,0),D(0 4.B解析：设平面ABCD的法向量为n=(x,y,:),则 1,0).A(00.1),B(1,0,1),C(1,1,1). no.1).w(o,0(.0） ·=0即-2+20. a市0，即-2x-4+2a取=1，得n=(1,1,3),四校锥 B 动点P在底面正方形ABCD内（色持边界 运动，则设P(x,y.0),且x,ye[0,1],则B,产=(x-1,y,-1).设平 S-ABCD的高即为点S到平面ABCD的距离，为不.。2。 面4，MN的法向量为n=(a6.).因为=(1,0，一之)4=(0 2赦选 11 5.(1》证明：如图，以D为坐标原点，分别以DA 则 n=0.20. a2令c=2,则n=(1 DG,DP所在直线为x轴、y轴、：轴.建立空间 1 2-=0(6=2c. 直角坐标系.则D(0.0.0),A(3.0.0),C(0,6 0),B(3,60),P(0.0.6).因为E是PC的中 4,2).因为B,P∥平面AMN,所以B,市，=(x-1,,-1)·(1,4,2)= 点，所以E(0.3,3).因为P=3P示，所以 l4-2=0,即4-3=0，则=-4+3a[0,1,所以ye葡分 F1.2.4).所以亦=(1,2,4)，D成=(0,3,3)， A元=(-3,6,0).设平面DEF的法向量为n= 子]则1市1=0-。-*5 （,则·可+2+4=0. In.DE=3y+3:=0. 令y=1,则：=-1，x=2,所以n= √（号）号由二次函数的性质可得当时，耐= (2,1,-1),所以元·m=(-3)×2+6×1+0×(-1)=0,所以亡1n, 参考答案黑白题09