易错突破：一元二次函数、方程和不等式6个易错陷阱归纳-2024-2025学年高一数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019必修第一册）

一元二次函数、方程和不等式6个易错陷阱 易错点1 误用不等式的性质而致错 易错点拨：运用不等式的性质判断命题真假时常可以选择特殊值来排除错误选项，其余选项用不等式的性质来证明或推导结论，此时一定要注意不等式的性质成立的条件，准确记住每一条性质，才能推导正确. 1．（21-22高一上·广东湛江·月考）已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导成立的是（    ） A．若， B．若， C．若， D．若， 2．（23-24高一上·河北沧州·期末）（多选）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·云南昆明·期中）（多选）下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 易错点2 多次应用不等式的性质扩大取值范围致错 易错点拨：利用不等式求某个代数式（特别是涉及两个或两个以上未知量的代数式）的取值范围时，往往需要理由不等式的性质“同向可加性”，但这一性质不具有可逆性，多次使用就可能扩大取值范围（所推得的不等式仍然成立，但并不是准确的取值范围）。因此尽量使用整体代换的思想解决问题. 4．（23-24高一上·福建厦门·月考）已知，，则的取值范围为 ． 5．（23-24高一上·湖南长沙·月考）若实数，满足且，则的取值范围是 ． 6．（23-24高一上·山东·月考）（多选）已知，．则（    ） A． B． C．的最大值为24 D． 易错点3 忽略变量的取值范围致错 易错点拨：运用基本不等式求最值时，容易忽略前提“一正、二定、三相等”，要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可，“一正”时首先要判断变量（含变量的代数式）是不是正数，只有确定变量（含变量的代数式）为正数，才可以用基本不等式求解. 7．（22-23高一上·天津·期中）下列命题中正确的是（    ） A．函数的最小值为2. B．函数的最小值为2. C．函数的最小值为 D．函数的最大值为 8．（23-24高一上·甘肃·月考）已知，则的最大值是 ． 9．（23-24高一上·江苏·月考）（1）若，求的最大值． （2）已知，求的最大值． 易错点4 多次应用基本不等式致错 易错点拨：在连续使用基本不等式求最值的问题中，要注意各不等式取等号时条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到去等号的条件成立. 10．（23-24高一上·重庆·月考）对任意的正实数，且满足，则的最小值为 . 11．（23-24高一上·山东青岛·期中）若，则的最小值为 ． 12．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知且满足，若不等式恒成立，记的最小值为，则的最小值为 . 易错点5 漏掉端点的取值情况致错 易错点拨：一元二次不等式在某个区间恒成立时，一定注意端点的取值情况，验证端点的值是否能够取到. 13．（23-24高一上·辽宁朝阳·月考）若命题“”为真命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·陕西汉中·期末）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（22-23高一上·江苏苏州·月考）对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 易错点6 忽略二次项系数的讨论而致错 易错点拨：处理二次项系数含参数的问题时，要注意对二次项系数进行讨论。二次项系数部位0时“二次”的前提，分类应做到使所给参数a的集合的并集为全集，交集为空集，只有这样才能达到“不重不漏”. 16．（23-24高一上·江苏·月考）不等式的解集为，则实数的取值范围为 17．（23-24高一上·北京·月考）若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）已知条件：“不等式的解集是空集”，则条件： “”是条件的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一元二次函数、方程和不等式6个易错陷阱 易错点1 误用不等式的性质而致错 易错点拨：运用不等式的性质判断命题真假时常可以选择特殊值来排除错误选项，其余选项用不等式的性质来证明或推导结论，此时一定要注意不等式的性质成立的条件，准确记住每一条性质，才能推导正确. 1．（21-22高一上·广东湛江·月考）已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导成立的是（    ） A．若， B．若， C．若， D．若， 【答案】D 【解析】对于A：若，，则，则，故A错误； 对于B：若，，例如，则，故B错误； 对于C：若，可得，则，无法得出，故C错误； 对于D：若，则，可得，则， 所以，故D正确．故选：D． 2．（23-24高一上·河北沧州·期末）（多选）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A项，，，，即，，故A项正确； 对于B项，不妨依次把取为：，则．故B项不正确； 对于C项，，，．故C项正确； 对于D项，，， ，，．故D项正确．故选：ACD． 3．（23-24高一上·云南昆明·期中）（多选）下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【解析】对于选项A：例如，则，故A为假命题； 对于选项B：若，则，即，故B为真命题； 对于选项C：若，则，可得，故C为假命题； 对于选项D：因为，则，所以，故D为假命题；故选：ACD. 易错点2 多次应用不等式的性质扩大取值范围致错 易错点拨：利用不等式求某个代数式（特别是涉及两个或两个以上未知量的代数式）的取值范围时，往往需要理由不等式的性质“同向可加性”，但这一性质不具有可逆性，多次使用就可能扩大取值范围（所推得的不等式仍然成立，但并不是准确的取值范围）。因此尽量使用整体代换的思想解决问题. 4．（23-24高一上·福建厦门·月考）已知，，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】设， 所以，解得， 又因为，， 所以，，即， 所以的取值范围为. 5．（23-24高一上·湖南长沙·月考）若实数，满足且，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】设， 即， 故，解得， 所以， 故，， 故，即. 6．（23-24高一上·山东·月考）（多选）已知，．则（    ） A． B． C．的最大值为24 D． 【答案】AD 【解析】对于A，因为，， 所以，即，即，故A正确； 对于B，由，可得， 又，则，即，即，故B错误； 设， 则，解得，， 因为，，所以，D正确； 若的最大值为24，又，， 则，，此时，C错误．故选：AD. 易错点3 忽略变量的取值范围致错 易错点拨：运用基本不等式求最值时，容易忽略前提“一正、二定、三相等”，要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可，“一正”时首先要判断变量（含变量的代数式）是不是正数，只有确定变量（含变量的代数式）为正数，才可以用基本不等式求解. 7．（22-23高一上·天津·期中）下列命题中正确的是（    ） A．函数的最小值为2. B．函数的最小值为2. C．函数的最小值为 D．函数的最大值为 【答案】D 【解析】对于A，时为负值，故A错误 对于B，，而无解，无法取等，故B错误 对于 ，当且仅当即时等号成立， 故，D正确，C错误故选：D 8．（23-24高一上·甘肃·月考）已知，则的最大值是 ． 【答案】-7 【解析】， 因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故，即原式的最大值为. 9．（23-24高一上·江苏·月考）（1）若，求的最大值． （2）已知，求的最大值． 【答案】（1）（2） 【解析】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当即时取等号， 所以即最大值为. （2）因为， 所以，则， 所以， 当且仅当时，即时取等号， 所以的最大值是． 易错点4 多次应用基本不等式致错 易错点拨：在连续使用基本不等式求最值的问题中，要注意各不等式取等号时条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到去等号的条件成立. 10．（23-24高一上·重庆·月考）对任意的正实数，且满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】由正实数，且可得 ; 当且仅当时，即时，等号成立； 又， 当且仅当，即时，等号成立； 所以当，时，等号成立，此时的最小值为. 11．（23-24高一上·山东青岛·期中）若，则的最小值为 ． 【答案】24 【解析】 又因为， 所以， 故有，当且仅当即时等号成立， 则原式. 当且仅当且即且时等号成立， 故的最小值为24. 12．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知且满足，若不等式恒成立，记的最小值为，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为实数，且满足，可得， 又因为恒成立，即， 由 当且仅当时，等号成立， 由不等式，即， 即，解得，即， 又由， 令，原式， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以实数的值为，所以实数的最小值为. 易错点5 漏掉端点的取值情况致错 易错点拨：一元二次不等式在某个区间恒成立时，一定注意端点的取值情况，验证端点的值是否能够取到. 13．（23-24高一上·辽宁朝阳·月考）若命题“”为真命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由命题“”为真命题，即不等式在上恒成立， 设， 根据二次函数的性质，可得，所以.故选：A. 14．（23-24高一上·陕西汉中·期末）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以，故选：B. 15．（22-23高一上·江苏苏州·月考）对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令开口向上，由在上恒成立， 所以，可得.故选：B 易错点6 忽略二次项系数的讨论而致错 易错点拨：处理二次项系数含参数的问题时，要注意对二次项系数进行讨论。二次项系数部位0时“二次”的前提，分类应做到使所给参数a的集合的并集为全集，交集为空集，只有这样才能达到“不重不漏”. 16．（23-24高一上·江苏·月考）不等式的解集为，则实数的取值范围为 【答案】 【解析】当时，恒成立，满足题意； 当时，由题知，解得. 综上，实数的取值范围为. 17．（23-24高一上·北京·月考）若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不等式化为，即， 当时，不等式化为，得，有无数个整数解，不符合题意； 当时，由关于x的不等式只有一个整数解，可知， 不等式的解为，由题意，，解得； 当时，不等式的解为或，有无数个整数解，不符合题意． 综上，实数a的取值范围是.故选：C 18．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）已知条件：“不等式的解集是空集”，则条件： “”是条件的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为不等式的解集是空集， 所以不等式的解集是， 当即 时， 若 ，则 ， 舍； 若 ，则 ， ； 当时，则 ，解得 ， 综上所述 ， 所以条件是条件的充分不必要条件．故选：A． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$