3.3 幂函数-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

3.3幂函数 白题 基础过关 时：45min 题组1幂函数的概念及其应用 坐标系中的部分图象如图所示，则a,b,c,d的 1.(2023·河北沧州高一期末)下列函数是幂函 大小关系正确的是 () 数的是 ( A.y=2x2 1 B.y= C.y=-x- D.y=2 2.(2024·福建厦门高一期中)已知幂函数f(x) A.a>b>1 B.a>1>b C.0>e>d D.0>d>e 的图象经过点(-3，-27)，则f(2)( 8.既在函数f(x)=x的图象上，又在函数g(x)= .2 x的图象上的点是 ( A.(0,0) B.(1,1) c2. D(分2 3.(2024·安徽安庆一中高一期中)已知函数 9.(2023·湖北十堰高一期末)已知幂函数的图 f八x)=(k+1)x是幂函数，则f(2)=( A号 B.2 c.2 D.1 象经过点P2,4),则该幂函数的大致图象是 4.(2024·安徽阜阳高一期末)已知幂函数y= (m2-m-1)x"(m∈R)的图象不经过第二象 限，则m= A.2 B.-2或1 C.-1或2 D.-1 5.(2023·河北邯郸高三期未)已知幂函数f八x) 满足=4，则兮)的值为 ( f(2) C D A.2 B. 10.(多选)(2024·浙江杭州高一期中)函数 1 C.4 D.-2 fx)=ax2+2x+1与g(x)=x“在同一平面直 角坐标系中的图象可能为 6.(2024·河南商丘高一期末)若f(x)=(m2-3)· x"是定义域为R的幂函数，则m= 题组2幂函数的图象及其应用 7.(多选)(2024·四川德阳高一期末)若四个幂 函数y=x“,y=x,y=x,y=x在同一平面直角 必修第-册：RJA黑白题056 17.已知函数f(x)=(m2+m-1)x"是幂函数，且 在(0，+)上单调递减 (1)求实数m的值： (2)请画出f(x)的大致图象 11.(2023·河南濮阳一高高一期中)不论实数a 取何值，函数y=(x-1)“+2恒过的定点坐 标是 12.已知幂函数f(x)过点(4,2)，若0<x1<x2,则 ) f(x)+f(x2) （填“>”“<” 或“=”) 题组3幂函数的性质及其应用 13.(2024·山东临沂高一期末)已知函数(x)= (m2-2m-2)·xm-2是幂函数，且在区间(0， +)上单调递增，则实数m A.-1 B.-1或3 C.3 18.(2024·浙江台州高一期中)若幂函数(x)= D.2 (2m2+m-2)x2m在其定义域上是增函数 14.(多选)(2024·陕西汉中高一期中)已知函 (1)求f(x)的函数解析式： 数x)=”的图象经过点(2,2)，则 (2)若f(2-a)<f(a2-4),求a的取值范围. A)的图象经过点(6，石） B.f八x)为奇函数 C.f八x)在定义域上单凋递减 D.f(x)在(0.，+)内的值域为(0，+) 15.(2024·天津河西区高三月考)若a=26,b= 0.6,c=36,则它们的大小关系是() A.e>a>b B.c>b>a C.a>e>b D.b>a>c 16.（2024·湖北荆门高一期末)已知幂函数 f(x)=(m2-3m+3)x"是偶函数，则f(2)》 第三章黑白题057 黑题 应用提优 限时：35mim 1.(多选)(2023·安徽芜湖一中高一月考)下列6.(2024·广东中山高一月考)函数f(x)= 关于幂函数的说法正确的是 ( (m2-m-1)x+m-3是幂函数，对任意x1,x2∈ A.图象必过点(1,1) (0,+0),且斯≠，满足x)f ->0,若 B.可能是非奇非偶函数 x1-X2 C.都是单调函数 a,beR,且a+b>0,ab<0,则f(a)+fb)的值 D.图象不会位于第四象限 ( ) 2.幂函数y=x"“(m∈Z)的图象如图所示， A.恒大于0 B.恒小于0 则m的值为 ( C.等于0 D.无法判断 7.(2024·福建泉州高一月考)已知a∈{-2， -1,221,2,3,若幂函数x)=为奇 11 A.0 B.1 C.2 D.3 函数，且在(0，+)上是减函数，则α取值的 3.(2024·湖南长沙高一期末)“幂函数y= 集合是 (m2-m-5)x"的图象分布在第一、二象限”是 8.(2024·湖北武汉高一期末)若幂函数f(x)= “m=3或m=-2”的 ( (m2+m-5)x22加3为偶函数，则不等式f(2x A.充要条件 1)>f(x+3)的解集为 B.必要不充分条件 9.已知幂函数f八x)=(m2-m-1)x之2m C.充分不必要条件 (1)求f(x)的解析式 D.既不充分也不必要条件 (2)①若(x)的图象不经过坐标原点，直接写 4.幂函数的图象经过点（分，2），若0<a<b<1,则 出函数f(x)的单调区间： ②若代x)的图象经过坐标原点，解不等式 下列各式正确的是 f(2-x)>fx) fa)6)f6)(日) Bff(6)fo)sa） ca)sb))(片) D.f日）a)(G)sb) 或(2024：山西翔州高一期末)已知a=(?) b=2,c=3,则a,b,c大小关系是 A.a<b<c B.c<a<b C.a<e<b D.c<b<a 进阶突破拔高练P0网 必修第-册：RJA黑白题058R上的奇函数,g(x)+g()=0.则M-2+m-2=0.M+m= - 1-(n,-x)(1-x) 4.故选D. -{()_×(x)→(x)-x{(x) (1+)(1+)(1+)(1+) 9. A解析;不妨设xx.>0. 因为xt,x(-1.1).且x<x,所以xx(-1.1).1-xrx0 一 <0,又(1+x)(1+x})>0,所以/(x.)-f(x)<0.即f(x) 0xf{x)>xf(x),故F(x)=xf(x)在(0.+)上单调递增,因为 /(). fx)为定义在R上的奇函数,所以/(-x)=-f(x),故F(x)=xf(x)的 所以函数ffx)在区间(-1.1)上单调递增 定义域为R.且F(-x)=-f-x)=xfx)=F(x).故F(x)=x/(x)为 (2)由(1)知函数(x)是定义在(-1.1)上的奇函数且在区间(-1. 偶函数.因为(2)=0.所以F(2)=0.f(x)0e-xf(x)>0esF(x)>o 1)上单调递增,所以由/(x-1)f(x)<o得/(x)<-/f(x-1)=f(1-x). 士 {.# 一F(lxl)>0=F(2).所以lxl>2.解得x>2或x-2.故选A 所以 -11,即 [r. 解得0<x<.所以原不等式的解集 f[a-3c0. 1 1-1-1c1. 2a>0. -11. 10.(0.2]解析:由题意可得 解得0<a2.故答案 02. (a-3)x145=2 为(o.。). 1 为(0.2). 15.解:(1)因为/(x)的定义域为[-1.1]. 11.4+2 解析:函数/(x)=x(1xl-2)= (x(x-2)x=0.的图象如下. (-1+1s1. 所以有 当x0时,令x(r-2)=3.得x--1(含去),3-3 1-x(r42).x0 所以g(x)的定义域为[-2.0]. =3. “ (2)令x=y=0,可得f(0)=f(0)+f(0),即f(0)=0. 当x0时,令-x(x+2)=-1.得x.=-1-v2. 令y=-x.得/(x)+/(-x)=/(0)=0,所以/(x)是奇函数, x=-1+v②(含去).结合图象可得(n-m)=x-=3--1- 所以g(1)>0等价于(x1)>(). 2)=4+2.故答案为4+v2. 12.(-~) 令xx=[-1.1],且x>x, 解析:若对Vxi=[1.2],总存在x[2.3],使得 _1得(--o].,即不等武的解鲜集为(-- 则有f(x)-fx。)=/f(x。-x)>0.即/(x)在定义域上单调递增,所以 g(.)f(x)成立,则g(x.)→f(x).当xe[2.3]时,令s= 1-20. 9-2在[4.9])上单调递增,所以当,s 49]时,i(s)-hn(4)= 压轴挑战 1.A 解析;因为函数/(2x+1)为偶函数,则f(1-2x)=j(1+2x). 令=2x.则/(1-t)=/f(1+t).即f(1-x)=f(1+x),则/f(x)=f(2-x). 因为函数f(x42)为奇函数,则f(2-x)=-f(2+x).所以函数/(x)的图 意的xe[1,2]桓成立,所以1c对任意的xe[1.2]恒成立,函 象关于直线x=1对称,也关于点(2.0)对称,则/(2)=-/(2).可得 f(2)=0.所以/(x)=-f(2+x)=/(x+4).故函数/(x)为周期函数,且周 数p(x)=在[1.2]上单调递增,所以当xe[1.2]时,p(x) 期为4.对于A选项,f(4)=/(0)=/(2)=0.A正确;对于B.C.D 选项、f-1)=f(3)=-f1)f(5)=f1).但/f(1)的值无法确定.B.C P(1)-故1故答案为(×) D均错误.故选A. 2. ABD 解析:令x=y=0得/(0)+/(0)=/(0).即得/(0)=0.A正确; 13.解:(1)·函数/(x)是偶函数.2./(-x)=/(x)恒成立,即x2-ba+c 在定义域范围内令y=-得/(x)+)(-x)=/(0)=0.即得/(x)是奇函 ?+br+e.2br=0,对xR恒成立.b=.f(x)=”+c./(1)= 数,B正确;令x“,y=-,且x.<x,所以/f(x)-f(x)=/(x 1c=0:=-1.fx)=r”-1. (2)由(1)知(x)=x-1,xe[-1.3].当x=0时.f(x)取得最小值. 为-1,当x=3时/(x)取得最大值,为8. x_x2o.所以/(x)- -2.要使函数(x)在[-1. (3)/f(x)=x2++c的对称轴为直线x=- 。 fx)<0,即f(x.)<(x).所以(x)在区间(-1.1)上单调递增,D正 确.C错误.故选ABD. :.b的取值范围是(-x,-6]U[2.+x). 3.-35 解析:由题知/(x)=x2+2x+1+m=(x+1)+mm.要想 14.解:(1)因为函数(x)-是定义在(-1.1)上的函数,且 1+2 ff(x))o恒成立,只需V:mf(t).0即可.因为/f(t)的对称轴 f(-x)=-f(x)恒成立,所以/(0)=b=0. 为1-1.m<-1时,1(m.-1).f(t)单调递减,te(-1.+x).f)单 调递增,所以/(t).=f(-1)=n→0.与m<-1矛盾,含去;m-l 时,te(m,+)f(t)单调递增,所以f(t)=f(m)=m{}+3m+1=0 5.故-34综上_n的最小 解得m-3-5 2(含去)或_-35 2 2 值是3_故答案为-3 。 验证:当a=1.b=0时,/f(x)= 1v(-): 1(-x)31+{ 2 2 f(x),满足题意,故函数/(x)的解析式为f(x)= 3.3 霉函数 1+ 函数/(x)在区间(-1.1)上单调递增,证明如下: 自题 任取xE(-1.1).且x.. 1.B 解析:B项可化为y=x-.根据寡函数的概念,可知函数y=x}是 则/(xo)-f(x)= x. 3(1+)-x(1+x) 1+}1+(1+})(1+) 必修第一册·PJA 黑白题030 2. C 解析:设寡函数/f(x)=x”,所以(-3)*=-27,解得a=3,所以 $7.解;(1)由函数/f(x)是幕函数,知m{+m-1=1.解得m=-2或m=1. (x)-x,故/()-故选C. 又因为ffx)在(0.+)上单调递 减,所以m=-2. 3. C 解析:由题知+1=1.解得&=0.(x)=x./(2)故 (2)由(1)知(x)--1 选C. 定义域为(-x.0)U(0.+).满足 4. D 解析:因为y=(m-n-1)x”是寡函数,所以m{}-m-I=1.解 fx)=/(-x). 得m--1或m=2.当m=-1时,y=x-1--显然其图象不经过第二 结合描点法,则/(x)的大致图象如 71 图所示 象限,满足题意:当m三2时,v=x}.其图象经过第二象限,不满足题 18.解:(1)·/f(x)=(2n}+m-2)}*1是函数. 意综上,m=-1.故选D. 5.B 解析:依题意,设(x)=x”,则f(6)6 2.2m}+m-2=1.解得m=- {2))3-=-4. 1.m=1,则(x)-. 所以()#()-故选 0.即m- / (2)ffx)为增函数..由/(2-a)<f(a?-4)可得2-a<a?-4.解得 6.2 解析:因为/f(x)=(m{}-3)x”为寡函数,所以有m2}-3=1.解得m= a>2或a<-3...a的取值范围是ala>2或ac-3. +2.又因为函数f(x)=r2的定义域为R,所以m=2.故答案为2. 删题 7.BC 解析:由寡函数的图象与性质,在第一象限内,在x=1的右侧部 分的图象,图象由下至上,寡指数依次增大,可得a>1>b>0>c>d.故 1.ABD解析:寡函数的解析式为v=x”(g=R).当x=1时,无论a取 选BC. 何值,都有v=1.图象必过点(1.1).A选项正确:当a=2时。v=r^2}、定$ 8.B 解析:由寡函数y=x*的图象恒过点(1.1),知B选项满足条件 义域为R,此函数为偶函数,当a--时,y-V,定义域为xlx=0l. 故选B. 9.C 解析:设幕函数的解析式为y=王",因为该幕函数的图象经过点 此函数为非奇非偶函数,所以可能是非奇非偶函数,B选项正确;当 P(2.)所以2-.即2”=22,解得a-2. a=2时,y=r^{,此函数先单调递减再单调递增,则都是单调函数不成 立,C选项错误;当)0时,无论a取何值,都有>0.所以图象不会位 即该寡函数的解析式为y-2,其定义域为|x1x0l,y=x-为偶函 于第四象限.D选项正确.故选ABD 数,且在区间(0.+x)上为减函数.故选C. 2.C 解析:由题中的函数图象可知,写函数为偶函数,且寡指数小于0 10. ACD 解析:对于A和B.若函数g(x)=x”正确,可得出acO.此时 当m=0时,m2-4m=0.不合题意;当m=1时,m2-4m=-3.幕函数为 二次函数图象开口向下,对称轴x---→0.所给图象符合这一特 奇函数.不合题意:当m=2时,n{}-4m三-4.满足函数为偶函数,目 器指数小于0.符合题意:当m=3时,n-4m三-3.哥函数为奇函数 征的可能是A.不可能是B;对于C.若函数g(x)=r”正确,可得出 不合题意.因此m的值为2.故选C a>0.此时二次函数图象开口向上,对称轴x--1<o.所给图象符 口方法总结 函数y=x”的性质和图象,由于a的取值不同而比较复杂,一般 合这一特征,故可能是C;对于D.若函数g(x)=x”正确,可得出a 可从三方面考查: 0.此时二次函数图象开口向上,对称轴x--1<0.所给图象符合 (1)a的正负:a>0时图象经过点(0.0)和(1.1),在第一象限的部 这一特征,故可能是D.故选ACD 分“上升”;a<0时图象不经过点(0.0),经过点(1.1),在第一象限 11.(2.3)解析:因为1=1.故当x-1-1.即x=2时,v=3.即函数y” 的部分“下降”; (x-1)*+2恒过定点(2.3).故答案为(2.3). (2)曲线在第一象限的凹凸性:a>1时曲线下回,0<a<1时曲线上 凸,a0时曲线下回; 12.>解析:设/(x)x,将点(4.2)代人得a-(x)=v,再根据 1 (3)函数的奇偶性:一般先将涵数式化为正指数等或根式形式,再 图象可知填“>”. 根据涵数定又域和夸偶性定义判断其奇偶性。 13. C 解析:由题意知m}-2m-2=1.即(m+1)(m-3)=0.解得m=-1 3. C 解析:由幕函数y=(m-m-5)x”知m}-m-5=1.得m=3 或m=3.:当m=-1时,m-2=-3.则/(x)=x在区间(0.+x)上 或m=-2.当m=3时,y=x”的图象分布在第一、三象限与原点,不满 单调递减,不合题意;当m=3时,m-2=1.则/(x)=x在区间(0. 足.当m=-2时,y=x的图象分布在第一,二象限.故“暮函数y= +x)上单调递增.符合题意..m=3.故选C. (m2-m-5)x”的图象分布在第一,二象限”的充要条件是m=-2,故 “寡函数y=(m-n-5)x”的图象分布在第一,二象限”是“m=3 得a--1.所以(x)-x!.对于A.将(6.。)代人(x)-x.得 或m=-2”的充分不必要条件,故选C。 4.B 解析:设(x)=x”,则/()-()“-2.va--1.即(x) -=6-}成立,故A正确;对于B/(x)=x的定义域为lx1x0l. --,函数f(v)在区间(0.+)上单调递减.:0<acb<1.:.0<a< 1--(a),是奇函数,故B正确;对于C.在定义域 ##))()()选 满足/(一x):一 内不单调,在(-x,0).(0.+)上单调递减,故C错误;对于D.当 o0时.->0.即(x)在(0.+x)内的值域为(0.+x),故D正确 5. B 解析:因为a() →0.0-(2){ 0.c-(3){ )0.故 故选ABD. 只需比校25.3的大小.( (2)-2-16-128.()- 15.A 解析:因为y=x0*在(0.+x)上单调递增,所以1<2*5<30. 即c>a1,又0.6<1.即1,故ca>6.故选A. #)(2)())(3)--20) 16.4 解析:因为函数/(x)为寡函数,所以m{}-3m+3=1.解得m=1 或m=2.当m=1时,f(x)=x.函数/(x)为奇函数,不合题意; 当m=2时,/f(x)=x2.函数/(x)为偶函数,所以/f(2)=4.故答案 ()1(3)() 为4 参考答案 黑白题031 (#()#(2)#} 又、-x在(0.+xe)上单调递增. 即c<a<h.故选B. 解得v=-20kmh(含去)或v=30km/h.所以甲车未超速; □重难点拨 通过观察三个数的特征可知,很难化成同底形式,所以可通过构造 解得v=-40kmh(含去)或v=50km/h,所以乙车超速了.故选C. 6.B 解析:依题意/(A)=2A}-A2=16.解得A=4(负值已含去). 寡函数y一x”,利用其单调性即可比较得出结果。 1_4. /(2)--2.可得n=6.故(x)= (6 6.A解析:因为对任意的x,x(0.+×).且x.*x,满足 ./(9) 八(&)-{(x)o.所以函数在(0.+×)上单调通增.由《x)-(m’-m- ·/() 2x81-4x9-42.故选B. 2}-414. ::-。 1 2-3是暮函数,可得m-m-1=1,解得m=2或m=-1. 3 当m=2时/f(x)=x};当m=-1时/(x)=x}.不满足单调性,排除$ 7.解:(1)根据题意,当0<x14时,g(x)=16x-f(x)-30=- 故m=2.ffx)=x.又a+b>0.ab<0. 00故 故/(a)+f(b)=a+b=(a+b)(a’-ab+b}})>o恒成立.故选A. $$ r-30;当14< t35时,g(x)=16x-fx)-30=50-- 奇函数,且在(0.+x)上是减函数,.a是奇数,且a<0..a=-1.故 g()- 答案为-11. 50-400 ,1,14r35. (2)当0<rs14时,g(x)=- 函数,则m+m-5=1.解得m=-3或m=2当m=2时fx)=x,为奇$ 函数,不符合题意;当m=-3时,f(x)=x1.为偶函数,符合题意,且在 (-x.0)上单调递减,在(0.+x)上单调递增.若/f(2x-1)>/(x+3). 。 2.400 则12x-11>1x+31,解得x<- (-×)(4.+).故答案为(-*)(4.+*). 时,g(x)取得最大值24.即为使公司获得的年利润最大,每年应生产 9万件该芯片。 8.B 解析:设平均每年降低成本x.则(1-x)2=1-36%=0.64,解得x= 9.解:(1)因为函数/(x)=(m}-m-I)2-2-1. 0.2 =20%或x=1.8=180%(含去).故选B.$ 所以m{}-m-1=1.解得m=-1或m=2.所以函数为f(x)=x或 9. A 解析:由题可知,加密密钥为y=u,由已知可得当x=4时,y=2 所以2=kx4,解得k= 2 1 (2)①因为/(x)的图象不经过坐标原点,所以/(x)-x-1 函数的单调递减区间为(-,0).(0.+x),无单调递增区间 10. ABD解析:由题图知,0x听0.2时图象过点(0.0)(0.2.1),且 ②因为/(x)的图象经过坐标原点,所以/(x)=x2因为f(x)=x为偶 与x成正比.即函数为y=5x.因此A正确;由题图知.x>0.2时过 函数,且在区间[0,+x)上为增函数,所以/(12-xl)>/f(x1). 点(02.1).即-1.可得a-=02.即函数为y-.因此B正确;令 所以12-xl>1xl.两边平方解得xi<1.所以不等式的解集为(-×,1). y=5x=0.25.得x=0.05;令"5- 3.4 函数的应用(一) 1-0.25.得x=0.8.故教室内持续有 扫题 耳世读 效杀灭病毒的时间为0.75h.C错误;由C知从0.05h开始有效杀 1. D 解析:因利润;=12x-(6++30000),所以:=6x-30000.由:=0. 灭病毒,即3min后开始有效杀灭病毒,因此D正确.故选ABD. 题 解得x5000.故至少日生产文具盒5000套.故选D 2.A 解析:当销售量为4台时,该公司赢利0万元,故A错误;当销售 1. B 解析:设该商品每件的售价为x元,则每件商品售出所获利润为 量多于4台时,该公司才开始赢利,故B正确;当销售量为2台时,该 (x-8)元,销售量为[100-10(x-10)]件,商场每天销售该商品所得 公司亏本1万元,故C正确;当销售量为6台时,该公司赢利1万元. 的利润y=(-8)[100-10(x-10)]=-10^*+280r-1600= 故D正确.故选A. -10(x-14)+360,所以当x=14时,y=360(元),所以该商品每 3.A 解析:由条件可知,t=12ms.g=10m/s2,则y=12-5r}1,即$ 件的售价为14元,故选B 240=(0.00 026V。 2. B 解析:由题意可得总耗油量为/(V)=0 240 .即0.082.32.所以停留 5 的时间约为2.32-0.08=2.24(s).故选A 0.00 161*+0201475v)240. )20240(00 020*%00041V40.214705),.由 4.C 解析:设这个活动区垂直于墙的一边长是xm,则平行于墙的一边 于(V)为开口向上的二次函数,对称轴为-2x0.40222-80e[0., 长是12-2+1.2=(13.2-2x)m.:面积$=x13.2-2)=-2+132 0.416x2 ·墙长5.2m.所以0<13.2-2x<5.2.解得4<x<6.6.$=-2x2+13.2x. 其对称轴方程为x=3.3,开口向下,函数在[4.6.6)上单调递减.:当 120].故速度为80km/h时,总耗油量最少,故选B. x=4时,$最大为-2×4+13.2×4=20.8(m}).故选C 3.D 解析:设初始状态为(x.,y),则x.=16x.,y=8y. □重难点拨 又y.=k ,y=k ,即8y,=k(16r.)*=k·16“ 8y..16 1. 设变量时一般要把求最大值或最小信的变量定义为函数 1 2. 根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式或 者函数性质求得涵数的最值 4.B 解析;水箱内水量y-200+2^*-34 .当(- 3. 在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变 ).289~4.故至多可供4人洗澡.故选B. 量的取值范围)内求解 必修第-册·PJA黑白题032