2.2 基本不等式-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

2.2基本不等式 白题 基础过关 限时：40min 题组1基本不等式的理解 7.(2024·湖北咸宁高一月考)已知0<x<1, 1.(多选)(2023·河南焦作高一月考)给出下列 则2x(3-3x)的最大值为 ) 条件：①ab>0:②ab<0:③a>0,b>0:④a<0,b< 1 B. 0.其中能使+≥2成立的条件有 4 ( a b A.① B.② C.③ D.④ C.2 0.4 2.如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,有以下四 8.(2024·黑龙江哈尔滨高一期末)已知实数x> 种说法： ①ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯 1测2的 () 一：②ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值 A.最小值为1 B.最大值为1 唯一：③ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取 C.最小值为-1 D.最大值为-1 值不唯一：④ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d 9.(2024·四川泸州高一期末)若x>2,则y 的取值不唯一.其中说法正确的个数是( x2-2x+4 的最小值为 () A.0 B.1 C.2 D.3 x-2 题组2利用基本不等式比较大小 A.4 B.5 C.6 D.8 3.(2023·湖北十堰高一月考)若0<a<1,0<b< 10.(2024·湖南长沙高一期中)已知0<a<1,则 1,且a≠b,则a+b,2ab,2ab,a2+b2中最大的 1 4 的最小值是 a 1-a ( ) 一个是 ( A.4 B.8 C.9 D.10 A.a2+b2 B.2√ab C.2ab D.a+b 题组4 利用基本不等式求最值之有条件求 4.(2023·江苏泰州高一月考)下列不等式中正 最值 确的是 ( 11.(2024·广东茂名高一期末)已知4a2+b2=6, A.a2+b2≥4ab 4 B.a+-≥4 则ab的最大值为 () a C.a2+2+1 2≥4 0a2+4≥4 B D.3 5.(2023·山西吕梁高一期末)设m>3,P=m+ 12.(2024·江西九江一中高一期未)若正数x,y m-3Q=9,则P,Q的大小关系为 满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是 ( ) A.P<0 B.P=QC.P≥0 D.P≤Q 24 A. C.5 D.6 题组3利用基本不等式求最值之无条件求最值 6.(2024·广东汕头高一期末)若x>0,则x+ 13.(2023·山东临沂高一期末)已知x,y,z都 4 是正实数，若xz=1,则(x+y)(y+z)(z+x)的 —-2的最小值为 ( 最小值为 () A.-2 B.0 C.2 D.3 A.2 B.4 C.6 D.8 必修第-册RUA黑白题024 14.(2024·湖南娄底高一期末)若非零实数a,b 题组6利用基本不等式解决实际问题 满足8=v26,则心的最小值为（ 20.(2024·陕西西安高一期末)某公司购买一 批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产 A.42B.22C.4 D.2 的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机 15.(多选)(2024·河南周口高一期末)若a> 器运转时间x(单位：年)的关系为y=-x2+ 0,b>0,且2a+b=1,则下列说法正确的是 18x-25(x∈N·),则该公司每台机器年平均 利润的最大值是 () 人山有最大值时 A.8万元 B.12万元 C.28万元 D.56万元 B.2a+b有最大值2 21.(2023·浙江宁波高一月考)某人要买房，随 C.+有最小值4 着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此 a b 不满意度升高.当住第n层楼时，上下楼造成 D+有最个子 的不满意度为n.但高处空气清新，嘈杂音较 小，环境较为安静，因此随着楼层的升高，环 16.(2024·安微阜阳高一期末)已知a>0,b>0 境不满意度降低.设住第n层楼时，环境不满 且a+b=1,则 的最小值为 ( 意程度为3则此人应选第 楼，会有 A. B. C.2 9 D.4 一个最佳满意度， 17.(2024·福建泉州高一期中联考)已知正实 题组7利用基本不等式解决恒成立问题 数x,y满足y+2x+y=16,那么y的最大值 22.若任意的正数x,y都能使k√y≤4x+y成立， 为 则k的取值范围是 ( 18.(2024·江苏镇江高一期末)已知x>0,y>0, A.k≤2 B.0<k≤2 且1+11 x+3)2则的最小值为 C.k≤4 D.2<k≤4 十 题组5利用基本不等式证明 23.若不等式+2 m 恒成立，则实数m Ja b Ja+2b 19.(2024·陕西渭南高一月考)已知a>0,b> 的最大值为 0,c>0,求证： A.2 B.3 C.4 D.9 ≥6： 24.(多选)(2024·湖南株洲高一月考)若对于 (2)a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)≥6abc. 任意x20,2+3x+1 a恒成立，则实数a的 取值可以是 25.(2024·福建宁德高一期末)Hx>2,x+ 1 2m+3m恒成立，则实数m的取值范围 是 第二章黑白题025 黑题 应用提优 限时：40min 1.(多选)下列结论中正确的是 盘使之平衡，顾客获得这两块黄金，则该顾客 A.若a,beR,则2+≥2 实际所得黄金 a b A.小于20克 B.不大于20克 4 4 C.大于20克 D.不小于20克 B.若x<0,则x+≥-2x·=-4 7.(2023·河南信阳高中高一期末)若关于x的 ,b2a2 6≥a+6 C.若a>0,b>0.则+ 不等式a≥20(a>0)对于一切实数 D.若a>0,b>0,则a+b≥2√ab x都成立，则实数a的范围是 2.(2024·安徽皖北六校高一期末联考)若正数x, A0as9R.0agCa≥g D.a≥9 y满足+2厅=23，则y的最大值为( 8.(2024·安徽合肥一中高一期末)设x>0且 A.6 B.9 号1，则写的最大值为 3.(2024·湖南邵阳高一期末)若正实数x,y满 9.(2024·山西运城高一期末)已知正实数a,b 足4+y-y=0,则3的最大值为 x+y 满足a+26r5=a6,且不等式6之0的型 1 D.3 成立，则实数m的取值范围是 10.(2023·山东滨州高一期末)已知实数a>0. 4.(2024·福建莆田一中高三期中)实数x,y满 b>0,a+2b=2. 足2x+y=-1,>0,则x-y的最小值为( )术后的最小值。 A.1 B.2 C.3 D.4 (2)求a2+4b2+5ab的最大值， 5.(多选)(2024·山东菏泽一中高三月考)下列 命题中正确的是 A. x2+5 的最小值是2 2+4 B当>1时+的最小值是3 C.当0<x<10时，√x(10-x)的最大值是5 D.若正数，y满足2+=3，则2x+y的最小 x Y 压轴挑战 值为3 6.(2024·江苏扬州高一期末)某金店用一杆不 (2024·河南漯河高一月考)已知正 实数a,b,c满足b+e=2abc,则a+ 准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客 be Sabe 需要购买20克黄金，他要求先将10克的砝码 b+c ab+bc+ca 的最小值为 放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡：然后又 将10克的砝码放入右盘，将另一黄金放在左 进阶突破拔高练P时 必修第-册RUA黑白题0267.-2 (b+c) b(b+c) 解析:由a+b+c=0.得b=-a-c.'a>bc..ab. 2 以→0.所以“_.所以住宅的采光效果变好了。 ac 3a→a+b+e=0.a>0.由题意a=0舍去,故a>o.由a+b+c= D方法总结 2 1. 比较法是不等式性质证明的理论依据,是不等式证明的主要方 [-2. # 法之一,比较法之一作差法的主要步弹为作差一变形 数 等价干 新正,色。 1-1 2. 判新不等式是否成立,主要有利用不等式的性质和特殊值验证 。 两种方法,特别是对于有一定条件限制的选择题,用特殊值验证的 方法更简单. 。 8.证明:(1)因为a<b<c.且a+b+e=0. 黑 ) 应翻提础 所以aco,且a-c<b-e<o,所以(a-c)(b-c)>o 1.D 解析:ab-b=b(a-l).由-1<a<0.$b0.则$(a-1)co,即ab<b; - 所以一 b ab-b=b(a}-1)=b(a-1)(a+1),由-1<a<o,bo,则a-1<0.a+1> (a-c)(b-e)(a-c)(b-e)' 0.即b(a-1)(a+1)co.可得a}bcb:a?b-ab=ab(a-1),由-l<a<0.b 0.则a-1<o.即ab(a-1)>0.可得ab<a}b.综上 ab<a?b<b.故选D. 2. D解析:对于A.+ac( atbe 1ac+be?-b-ac b(c2-1) (),当e时. (2)要证va-va-2<va-I-va-3(a>3). (+ac)c 只需证+va-3<va-I+va-2. (b+ac)e 对B) 即证a+(a-3)+2va(a-3)<(a-1)+(a-2)+2(a-1)(a-2). ,当ac1时. 即证va(-3)v(a-l)(-2). (b+ac)a 即证a(a-3)z(a-1)(a-2).即证0c2,显然成立. 所以ā-va-2<a-I-a-3(a>3). (h+ac)a 9.解:(1)设甲两次购物时购物量均为m.则两次购物总花费为p.m+ b+ac b+r P:m,购物总量为2m.平均价格为o. P.mp+P 2n bor 设乙两次购物时用去钱数均为n.则两次购物总花费为2i.购物总量 为_”平均价格为0。-- 2 2pP _+ hr 所以a(1-b)<0.(b-a)c0.所以g(1-6b)(b--)zo. 即t.则 P ): 综上.-0.- ha har 2p: D正确故选D 2 :+ 3.ABD 解析:因为atb+e=d+e+f.a+b+e>c+d+f.所以e-e>c-e.所 (2):p*p.P.0.p>0. 以e>c又因为a+b+e=d+e+f,atb+f<c+d+e,所以c-f-c.所以c>f,所 .0.-0.-p2(p)-4pp(p-) 以ec>f.C错误.又因为a+e<b,所以a<b,e<b,所以b>e>c.b>e>f,b> 2 Pp: 2(p+p) 2()0. /均成立,ABD正确.故选ABD. 4.C 解析:依题意可设买大竹子x根,每根单价为n钱,购买小竹子 2.0.>0.由此可知,第二种购物方式比较划算 (78-)根,每根单价为(m-1)钱,所以576=mx+(78-x)(m-1).即 2.2 基本不等式 7 8m+x=654.1即x=6(109-13m)因为0x78.所以$$ 白题 _109 期 (109-13m=0. →语 (6(109-13m)78* 1.根据题意只有C 选项在这个范图里,此时x=30.所以买大竹子30根,每根8钱.故 选C 只需a.5同号即可,所以①③④均满足要求.故选ACD □易错提醒 a 假命题,不妨取a=1.b=-1. 利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: 4。 (1)“一正”:各项必须为正数; (2)”二定”:要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定 _ {444 解析:依题意,知第二次敲击铁钉没有全部进入 77:1. 值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值; (3)“三相等”:利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条 eN. 件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发 生错误的地方。 /. 木板,第三次敲击铁钉全部进入木板,所以{4.44 2. B 解析:正数a,b.c.d满足a+b=ol=4..4-a+b2vab,即ab< 1#.故答案 4.当且仅当a=b=2时."=“成立:又4=ods eN'. ## 且仅当c=a=2时,"=”成立,综上得abSe+d,且等号成立时a,b,c.d 的取值都为2.故选B. 3. D 解析::0<a<l.0<b<1.且a*b..a2+b}>2ab,a+b>2Vab,a>a?. bb?a+b>a?+b2故选D. eN". 4.D 解析:对于A选项,因为a^2}+b}-4ab=(a-b)}-2ab不一定大于或 参考答案 黑白题011 /1.8 #.b-4/2时,等号成立,故ab的最小值为4.故选C. 15. AC 解析:对于A.ab= 4 /. 4-4.当且仅当a-tv②时取等号,所以该选项正确,故选D. 9 9 5.C 解析:因为m>3.所以P=m+ +-3“m-3 +_+3》 对于B.因为2a+b→2V2ab.所以2(2a+b)=2a+b+22a= (V②)*,所以v②+/②(2+b)=②,当且仅当2a=b 2(m-3) .3=9=0. 0 当且仅当m-3-_.即m三6时等号成立,故选C. 9 =2+2 4 文 故C正确; 对于D.因为4a}+h{>2x2ab,所以2(4}+)>4a{}+b+2x2= 7. C 解析:由题意可知,当0<x<1时,3-3x>0.:.2x(3-3x)= (2at)”,所以4a(2a)”1 2 号,所以4a{+6有最小值.故D错误,故选AC. -时取等号:最大值为3故选C. 16 8) /1+ 4 ---1-_[(-1)]1- 1_7 2/(c-1) 17. 8 解析:由于正实数x.y满足vy+2x+y=16. 故最大值为-1.故选D. 故16=x+2x+x+2v②xry.即(x+②)18 9. C 解析:因为xo2.所以x-2>0.所以y--2-4 4--24 所以0<vxy+v2<32,则vry2v2.i.ry8. -2 当且仅当2x=v.结合xr+2x+y=16.即x=2.y=4时等号成立.故x 18.5解析:y→2[(x)()-3-2(23) 的最大值为8,故答案为8 3=2(2-~)-3-._时,等号成 立,所以x+y的最小值为5.故答案为5. 19.证明:(1)c a+at△ ①b 1- a 1- 6 C __。_ #.2{ 11. B 解析:由题意得,6=4a+6}=(2a)+b}>2·2a·b.即abs 3 ). :a0b0c0.. 3 -2) 。 -2. 以ab的最大值为.故选B. 当且仅当a-b-c时,等号成立+e at a_6. ab。 (2)b}+e}2be.a>0a(b?+c”)2abc.当且仅当b=e时,等号 成立: 9 4 12y 3x 13.12 “ac2}→2ac.b>0:b(a}+e})2abc,当且仅当a=e时,等号 成立; 答案为C. '+b}=2ab,c>0..c(a”+b)>2abe,当且仅当a=b时,等号 13.D 解析:由x0y>00可知x+y→2vx>0(当且仅当x=y时等 成立; 号成立),y+>Vy>0(当且仅当y=:时等号成立),x+:→2v 累加,得a(b}+e})+b(a?+e2)+c(a2+b)>6abc.证毕. (当且仅当x三:时等号成立),以上三个不等式两边同时相乘,可得 (x+y)(y+)(+x)→8 xy=8(当且仅当x=y=:=1时等号成 立),故选D. 口易错提醒 21.3 解析:设此人应选第。层楼,此时的不满意程度为y.由题意知 利用基本不等式求最值或证明不等式时,注意等号能否同时成立 1=rn+ n 1 a& 必修第-册·PJA 黑白题012 817 x=2时等号成立,所以B选项正确.C选项,当0<x<10时,10->0. 所以vx(10-x)+10--5.当且仅当x=10-x,即x=5时等号成 22.C 解析:因为x>0.y>0,且kvy<4r+y恒成立,所以k4-y- 2 o 立,所以C选项正确D选项,x,y是正数,2x+y--(2xty)(2+ 45为4-→24-4.当 (5#)(5#) )-3.当且仅当 即x=y=1时等号成立,所以D选项正确.故选BCD d # 2020~52 25.2-9.当且仅当a6时取 # 恒成立.又5+ 6. C 解析:设天平的左臂长为a.右臂长为b(不妨设a>h),第一次称 ## 出的黄金重为xg.第二次称出的黄金重为yg.由杠杆平衡的原理. 等号,故实数m的最大值为9. 1 __- -。 ,_ 2+3+1 20 /-20.所以顾客所得的黄金大于20克故选C. 1 _后 D重难点拨 基本不等式的应用非常广泛,它可以和数学的其他知识交汇考查。 解决这类间题的策路。 1.先根据所交汇的知识进行变形,通过换元、配凑,巧换“1“等手段 把最值问题转化为用基本不等式求解,这是难点。 2.要有利用基本不等式求最值的意识,善于把条件转化为能利用基 25.m1-4m11 解析:Vx>2.1 本不等式的形式。 3.检验等号是否成立,完成后续问题. -即x-3时,等号成立. 故4m}+3m.解得-4<n<1,故答案为1m1-4<m<1. 应提础 中xeR.又a(x}+1)>0.r2+1>0.则由基本不等式有: -[(-)(-)]<~2(-)x(-)--4.当且仅当 1 2+1 =2.当且仅当a(x2+1)= b2 1 x-2时“=”成立,故B错误;当a>0.6>0时, += “(1时取等号.则2 # 3/2 解析:由 8. 2-1.可得22y=2.所以由0.v1o. 4 相加可。{ 可得:12v212-132 -atb,故C正确;当a>0b>0时,a+b2vab,当且 22 22 32当且仅当2--1t 。石 仅当a=b时“=“成立,故D正确,故选CD. 即= ③ 2. C 解析:因为+2=23=22Vry.所以8Vxry12.xry , #3_.当且仅当x-3.y-寻时取等号.故选C. 3 9m1m=-18 解析:由题意,m(10-2ab)(2a+6) 2.4(2分)_(-)-)(c)分)(-) a+2+5 3. D解析:依题意,正实数x.y满足4x+y-y=0.所以4x._。 y yy #-21 0.即4-1.所以xy-(xcy) t) 。 )4 2。)) -9.当且仅当-4-,即y-2x-6时等号成立,所以 x) 2 4. D 解析:因为2x+y--1.所以y--1-2-,所以_-.142- 10.(1)()()-(-) , 。 1→2>2+2=4.当且仅当x-1取等号,故选D. 0.0.(52-)(5( /2-)- 2+5(2+4)1. 5. BCD 解析:A选项. 2+4 V+4 4 , V4. /4 /+4 所以①等号不成立,所以A选项错说B选项,当珍1时,x-1>0.s (2):a?+4?+5ab=(a+2b)?+ab=4+ab. 13.当且仅当x-1- 又at26-2=2v20: a. ~7即 2. 参考答案黑白题013 故$& 46 +5ab4-2 1.9 当0<a<1时.→1,原不等式的解集为 》; 当且仅当a-2,即a=1.b-时,等号成立。 当a=1时,-=1,原不等式的解集为; 当ao时,1,原不等式的解集为 或. 压轴挑战 综上,不可能的解集为 ×<1或.故选D. 6.解(1)当a=-2时,不等式为-2v+5r+3<0. 1 8 11111 -2a+ b+e ab+bc+ea 整理得(21+1)(x-3)>0.解得1-或x>3. #-节6) 故当a-~2时,不等式解集为{ 或x3 . 。{ 3. #({) (2)当a>0时,不等式ar2-(3a+1)x+3<0整理得(x-3) 当且仅当2a+ a ) 所以ab+beto b8n的最小值为4.故答案为4. 2.3 二次函数与一元二次方程,不等式 白题。 当0<a时,解集为(3): 解集为{ 故选B. 当时,解集(### 2. CD 解析:对于A:4”-11-()→o幅成立,即不等式 ^-+1>0的解集为R,故A错误;对于B:不等式-2xr2+x+1>0. 1.由xl-2<xllxl-2xl,故;是。的充分不必要条件故 选A. -2-10的鲜集为 1),故B错误;对于C:不等 8. C 解析:A-12^+-6s0- -2531-{ 式2x->5.即}-2x+5<0,因为-2x+5=(-1)+4>0恒成立,所 {-1st-3-1,则An一-3.故选C。 以不等式2-2x+5之0的解集为空集,故C正确;对于D:不等式}+ (<-2.即20因为2-(1)-→0但成立。所以 9.D解析:不等式+2-3o即(143)(1-10.当x10即1-1 r+1 r+1 不等式+x<-2的解集为空集,故D正确.故选CD 时,(x+3)(x-1)0即-3<1,故此时-1<x1;当x+1<0即x ①重难点拨 -1时.(x+3)(x-1)>0即x1或x-3,故此时x-3.故不等式 1.解一元二次不等式的一般方法和步骤: +2--30的解集为x1xs-3或-1s11.故选D. (1)化;把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式 1 (2)判:计算对应方程的判别式,根据判别式判断方程有没育实根 10. 解:(1)当a=2时,集合A=xl(x-a-1)(x-2a+3)<0l=xl(x- (无实根时,不等式解集为R或②). (3)求:求出对应的一元二次方程的根 (4)写:利用”大于取两边,小于取中间”写出不等式的解菜。 以A0B=xl1<rc3. 2. 含有参数的不等式的求解,首先需要对二次项系数讨论,再比较 (2-3.#得=3此时<3; (2)因为AnB=A,所以ACB,当a<4时,A=xl2a-3<x<a+1,则 相应方程概的大小,注意分类讨论思想的应用。 3. D解析:因为0<m<1.所以m.所以(x-m)(y-)<0的解集 1a+14. 当a=4时,A-,符合题意: #为{##.故选D. 4. D 解析;由不等式(m-1)x2+2(1-m)x+3<0的解集为空集,当m- 此时a不存在. 1=0时,即m=1时,不等式3<0不成立,所以不等式的解集为空 综上:实数a的取值范用是{ 3-3口141. 集;当m-10时,即m×1时,要使得(m-1)x+2(1-m)x+3 0的 解集为空集,则满足{n-1>0. (-4(1-m)2-4(m-1)x3<0. 解得1<m<4.综 上可得,实数m的取值范围为mil1m<4ì.故选D. 5. D 解析:由题意,原不等式可化为(ax-1)(x-1)<0,当a=0时,原 不等式为-x+1c0,解得xv1.原不等式的解集为1x1D1; 实根,所以{ 当时.0(1.原不等式的鲜集为{1): 12. A 解析:因为ax-a+c>0的解集为 xl-2<x<l|.所以方程ax}- 必修第-册·PJA 黑白题014