2.1 等式性质与不等式性质-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

第二章一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质 白题 基础过关 限时：25min 题组1用不等式（组）表示不等关系 1.(2023·陕西西安高一期中)某铁路公司关于 若0>s0且0，则7月 乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品 的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm.设携 若a时则hc0 带品外部尺寸长、宽、高分别为a,b,c(单 7.已知2≤a≤6,4≤b≤5，则a-b的取值范围 位：cm),这个规定用数学关系式表示为 是 的取值范围是 8.(2024·湖北武汉高一月考)已知-1≤a+b≤ A.a+b+c<130 B.a+b+c>130 1,-1≤a-b≤1，则2a+3b的取值范围 C.a+b+c≤130 D.a+b+c≥130 是 2.(2024·河南洛阳一高高三月考)某杂志以每 题组4不等式性质的实际应用 本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市 9.(2024·安徽铜陵一中高一月考)建筑学规 场调查，若单价每提高0.1元，销售量就相应 定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积， 减少2000本.设提价后该杂志的单价为x元， 但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而 则用不等式表示销售的总收入仍不低于20万 且这个比值越大，采光效果越好 元为 (1)若某户住宅的窗户面积与地板面积的总 题组2比较代数式的大小 和为132m2,则这户住宅的地板面积最多 3.(2023·江苏南京高一月考)已知0<a,<1,0< 为多少平方米？ a2<1,记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大 (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积， 小关系是 住宅的采光效果是变好了还是变坏了？ A.M<N B.M>N 请说明理由 C.M=N D.无法确定 4.(2024·北京西城区高一期中)比较大小： x2+2x -x-3.(填“=”“>”“<”“≥” 或“≤”) 5.若P=a+7+a,Q=a+3+√a+4(a≥0)，则 P Q(填“<”“≤”或“=”) 题组3不等式性质的理解及应用 6.(多选)(2024·湖南长沙高一期末)下列命题 为真命题的是 ( A.若a>b>0,则ac2>bc2 B.若a<b<0,则a2>ab>b 必修第-册：RJA黑白题022 黑题 应用提优 限时：30min 1,(2023·四川成都高二期中)已知-1<a<0,b> 的于，请从这个实例中提炼出一个不等式组： 0,则下列大小关系正确的是 ( A.ab<b<a'b B.b<ab<a'b C.b<a'b<ab D.ab<a'b<b 7.已知a+b+c=0,且a≥b≥c,则二的取值范围是 2.已知a>b>1,c>0,则下列不等式一定成立的是 ( a+bc 1 a+bc 1 A.brac c B. 8.(1)已知a<b<c,且a+b+c=0,证明： a-c b-c b+ac a a+bc (2)证明：va-√a-2<√a-1-√a-3(a≥3) C.brac a+bc <c D. b+ac <a 3,(多选)有外表一样，质量不同的六个小球，它 们的质量分别是a,b,c,d,e,f,已知a+b+c= d+e+f,a+b+e>c+d+f,a+b+f<c+d+e,a+e<b. 下列判断正确的有 A.b>c>f B.b>ezf C.c>ezf D.b>e>e 4.(2024·广东广州高一月考)我国经典数学名 9.(2023·山西朔州高一月考)先后两次购买同 著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱 一种物品，可采取两种不同的方式，第一种是 五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各 不考虑物品价格的升降，每次购买该物品的数 几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根 量一定：第二种是不考虑物品价格的升降，每 拟分大、小两种竹子为单位进行计算，每根竹 次购买该物品所花的钱数一定.甲、乙二人先 子单价各是多少钱？假设每根大竹子比小竹 后两次结伴购买同一种物品，其中甲在两次购 子贵1钱，则在这个问题中大竹子每根的单价 物时采用第一种方式，乙在两次购物时采用第 可能为 ( 二种方式.已知第一次购物时该物品单价为 A.6钱 B.7钱 C.8钱 D.9钱 P1,第二次购物时该物品单价为p2(p,≠p2).甲 5能说明若a>6,则。<为假命题的一组a,6 两次购物的平均价格记为Q,乙两次购物的 a 平均价格记为Q2: 的值依次为 (1)求Q,Q2的表达式（用P1,P2表示）： 6,(2024·黑龙江哈尔滨高一月考)用锤子以均 (2)通过比较Q,Q2的大小，说明哪种购物方 匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深入， 式比较划算. 铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木 板的钉子长度后一次为前一次的，(keN”), 已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第 一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长 进阶突破拔高练P3 第二章黑白题023第一章 真题演练 选B. 10.C 解析:解法一:因为xy0,且--2,所以2)--2xy,即 黑题 真题体险 y1 1. A 解析:由f.B=3.5.而A=1.31.所以fBUA=1.3.5.故 &+2y=o.即(x4y)}=0.所以xy=0.所以“x+y=0”是“ 选A. 2. C 解析:方法-:因为=x1--6→0|=xlx<-2或x3ì. _--2”的充要条件. 面M= -2.-1.0.1.21.所以MO=1-21.故选C. 方法二:因为M=-2.-1.0.1.2.将-2.-1.0.1.2代人不等式}- 解法二:充分性:因为yz0.且x+y-0.所以x--y,所以-,)。 -6>0.只有-2使不等式成立.所以MON=-2.故选C. 3.A 解:由题意,=xlx+2→|=xlx-21,V=|lx-1<0l= ._--1-1--2.所以充分性成立; xlx<ll.根据交集的运算可知,MOV={xl-2<x1l.故选A. r-y 4. A 解析:由题意可得MU=xlx<2ì,则(MU)=xlx2. 必要性:因为z0,且,---2.所以--2xy,即 选A正确;f$M=xlx1|.则VfM=xx-1l,选项B错$ 误:MOV=lxl-1<r<l|.则(n]=|xlx-1或;1l.选$ +2xy=0.即(x+y)?-0,所以x+y=0,所以必要性成立 C错误:f=xlx-1或x,则MUf=xlx1或x. 所以“xy=0”是----2”的充要条件. 选项D错误.故选A. _r 5. B 解析:因为ACB,则有:若a-2=0.解得a=2.此时A=0.-2. 解法三:充分性:因为y%0.且x+y=0.所以_. B= 1.0.21,不符合题意;若2a-2=0,解得a=1,此时A=0.-1ì. 2+2y-2^y(x+y)}-2-y-20y-2.所以充分性成立; B= 1.-1.0 .符合题意.综上所述,a=1.故选B. ir 1 6. A 解析:因为整数集Z=xlx=3.kezìUìxlx=3+1ke tor $=3k+2keì.=.所以MUN)=xlx=3.ke .故 选A. 7.B 解析:由题意,A0B=15.7.111,故A0B中元素的个数为3.故 1 选B. r 0.所以x+y-0.所以必要性成立,所以“x+y-0”是“---2”的 1ry=8. rx 充要条件.故选C 82x,得x54.所以满足x+y=8的有(1.7).(2.6).(3.5).(4.4). 11. D 解析:由全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题 故A0B中元素的个数为4.故选C. 的否定是全称量词命题得,命题"VxeB.习neN',使得ax2”的 9. B 解析:由a}=b},则a=*b,当a=-b≠0时a?+b}=2ab不成立,充$ 否定形式是“xeR.VneN*.使得nx””故选D. 分性不成立;由a^+b2}=2ab,则(a-b)?}=0.即a-b,显然a2}=b}成立。 12.C 解析:存在量词命题的否定是全称量词命题,故选C 必要性成立,所以“a^{}=b”是“a+b}=2ab”的必要不充分条件,故 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质 口重难点拨 1. 比较两个数(式)大小的两种方法:作差与作商 白题 关 2. 与充要条件相结合问题,用不等式的性质分别判断p和a 1.C 解析:·长、宽,高之和不超过130em,.a+b+c130.故选C. 是否正确,要注意特殊信法的应用。 3. 与命题真假判断相结合问题,解决此类问题除根据不等式的性质 求解外,还经常采用特殊值验证的方法。 4. 在求式子的范围时,如果多次使用不等式的可加性,式子中的等 号不能间时取到,会导致范围扩大。 0.2)。万元,所以不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以用 7.-3a-b2 解析:·4b5...-5-b-4 :>20 3.B 解析:M-N=aa-(a+a-1)=aa-a,-a+1=(a-1)(a-1), 2 :<a1.0<a<Ia-1<0.a-1<0M-N>0.即M>N.故选B 8.-352a+3<3 解析:设2a+36-A(a+6)(a-6),则A=2. 4解析:因为+-(-3)-+→3(3-(_-)-→0.所以 -=3. +2x-x-3.故答案为. 得{ 5. 解析:依题意可知P>0.0>0.a>0.p2=2a+7+2va+7a. =2a+7+2+7a+l2,所以P<0,所以Pc0.故答案为< 6. BCD 解析:对于A选项,当c=0时,ac{}=be{},A错;对于B选项,若 所 a<bco.由不等式的性质可得a?}>ab,ab>b},则a?>ab>b?,B对;对于C 以-3<2a+33. 9.解:(1)设窗户面积与地板面积分别为am{}.bm{},由已知可得. fat=132. b>a10%=0.16. 可得C对:对于D选项,若a且士. 所以有1.16132.120.所以这户住宅的地板 面积最多为120m2} 0.所以abco.D对.故选BCD (2)住宅的采光效果变好了,理由:假设同时增加的面积为c(c>0). 必修第-册·PJA 黑白题010 7.-2 (b+c) b(b+c) 解析:由a+b+c=0.得b=-a-c.'a>bc..ab. 2 以→0.所以“_.所以住宅的采光效果变好了。 ac 3a→a+b+e=0.a>0.由题意a=0舍去,故a>o.由a+b+c= D方法总结 2 1. 比较法是不等式性质证明的理论依据,是不等式证明的主要方 [-2. # 法之一,比较法之一作差法的主要步弹为作差一变形 数 等价干 新正,色。 1-1 2. 判新不等式是否成立,主要有利用不等式的性质和特殊值验证 。 两种方法,特别是对于有一定条件限制的选择题,用特殊值验证的 方法更简单. 。 8.证明:(1)因为a<b<c.且a+b+e=0. 黑 ) 应翻提础 所以aco,且a-c<b-e<o,所以(a-c)(b-c)>o 1.D 解析:ab-b=b(a-l).由-1<a<0.$b0.则$(a-1)co,即ab<b; - 所以一 b ab-b=b(a}-1)=b(a-1)(a+1),由-1<a<o,bo,则a-1<0.a+1> (a-c)(b-e)(a-c)(b-e)' 0.即b(a-1)(a+1)co.可得a}bcb:a?b-ab=ab(a-1),由-l<a<0.b 0.则a-1<o.即ab(a-1)>0.可得ab<a}b.综上 ab<a?b<b.故选D. 2. D解析:对于A.+ac( atbe 1ac+be?-b-ac b(c2-1) (),当e时. (2)要证va-va-2<va-I-va-3(a>3). (+ac)c 只需证+va-3<va-I+va-2. (b+ac)e 对B) 即证a+(a-3)+2va(a-3)<(a-1)+(a-2)+2(a-1)(a-2). ,当ac1时. 即证va(-3)v(a-l)(-2). (b+ac)a 即证a(a-3)z(a-1)(a-2).即证0c2,显然成立. 所以ā-va-2<a-I-a-3(a>3). (h+ac)a 9.解:(1)设甲两次购物时购物量均为m.则两次购物总花费为p.m+ b+ac b+r P:m,购物总量为2m.平均价格为o. P.mp+P 2n bor 设乙两次购物时用去钱数均为n.则两次购物总花费为2i.购物总量 为_”平均价格为0。-- 2 2pP _+ hr 所以a(1-b)<0.(b-a)c0.所以g(1-6b)(b--)zo. 即t.则 P ): 综上.-0.- ha har 2p: D正确故选D 2 :+ 3.ABD 解析:因为atb+e=d+e+f.a+b+e>c+d+f.所以e-e>c-e.所 (2):p*p.P.0.p>0. 以e>c又因为a+b+e=d+e+f,atb+f<c+d+e,所以c-f-c.所以c>f,所 .0.-0.-p2(p)-4pp(p-) 以ec>f.C错误.又因为a+e<b,所以a<b,e<b,所以b>e>c.b>e>f,b> 2 Pp: 2(p+p) 2()0. /均成立,ABD正确.故选ABD. 4.C 解析:依题意可设买大竹子x根,每根单价为n钱,购买小竹子 2.0.>0.由此可知,第二种购物方式比较划算 (78-)根,每根单价为(m-1)钱,所以576=mx+(78-x)(m-1).即 2.2 基本不等式 7 8m+x=654.1即x=6(109-13m)因为0x78.所以$$ 白题 _109 期 (109-13m=0. →语 (6(109-13m)78* 1.根据题意只有C 选项在这个范图里,此时x=30.所以买大竹子30根,每根8钱.故 选C 只需a.5同号即可,所以①③④均满足要求.故选ACD □易错提醒 a 假命题,不妨取a=1.b=-1. 利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: 4。 (1)“一正”:各项必须为正数; (2)”二定”:要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定 _ {444 解析:依题意,知第二次敲击铁钉没有全部进入 77:1. 值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值; (3)“三相等”:利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条 eN. 件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发 生错误的地方。 /. 木板,第三次敲击铁钉全部进入木板,所以{4.44 2. B 解析:正数a,b.c.d满足a+b=ol=4..4-a+b2vab,即ab< 1#.故答案 4.当且仅当a=b=2时."=“成立:又4=ods eN'. ## 且仅当c=a=2时,"=”成立,综上得abSe+d,且等号成立时a,b,c.d 的取值都为2.故选B. 3. D 解析::0<a<l.0<b<1.且a*b..a2+b}>2ab,a+b>2Vab,a>a?. bb?a+b>a?+b2故选D. eN". 4.D 解析:对于A选项,因为a^2}+b}-4ab=(a-b)}-2ab不一定大于或 参考答案 黑白题011