第1章 专题探究1 集合的综合问题-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

专题探究1集合的综合问题 黑题 专题强化 限时：45min 题组1集合中的参数问题 5.(多选)(2024·江苏苏州中学高一期中)用 1.(多选)(2024·湖南岳阳高一期末)已知U= C(A)表示非空集合A中元素的个数，定义 R,集合A={xx≤a,集合B=xlx<1},则下 A*B= 1C(A)-C(B),C(A)≥C(B)已知集 列正确的是 ( C(B)-C(A),C(A)<C(B), A.若BU(CA)=R,则实数a∈ala<1 合A={x|x2+x=0},B={x∈R1(x2+ax)(x2+ B.若BU(CA)=R,则实数a∈ala≤1} ax+1)=0,则下面结论正确的是 () C.若Bn(C4)=☑，则实数reala>1日 A.3aER.C(B)=3 D.若Bn(CA)=☑，则实数a∈{ala≥1 B.Ha∈R,C(B)≥2 2.(2024·安徽六安高一期末)已知集合A= C.“a=0”是“A*B=1”的必要不充分条件 {xlIx-11<3},B=xlx2-3x-10<0,若aA, D.若S={aERIA*B=1},则C(S)=3 且a∈B,则a的取值范围是 6.(2024·北京海淀区高一期中)定义：给定整 3.(2024·四川成都高一月考)关于x的方程 数i,如果非空集合满足如下3个条件： x2+a=x(a∈R)的解集为A(A≠☑)，关于x ①ACN;②A≠11：③Hx,yeN,若x+ 的方程(x2+a)2+a=x(a∈R)的解集为B. yeA,则xy-i∈A,则称集合A为“减i集” (1)对于集合M,N,若Hx∈M,x∈N,则 (1)P=1,2是否为“减0集”？是否为“减 MCN.求证：ACB. 1集”？ (2)若A=B,求实数a的取值范围. (2)证明：不存在“减2集” (3)是否存在“减1集”？如果存在，求出所有 “减1集”：如果不存在，说明理由。 题组2集合中的新定义问题 4.(2023·山东青岛一中高一月考)设U=11,2, 3,4},A与B是U的两个子集，若A∩B=3, 4,则称(A,B)为一个“理想配集”，那么符合 此条件的“理想配集”（规定(A,B)与(B,A)是 两个不同的“理想配集”)的个数是( A.7 B.8 C.9 D.10 必修第-册：RJA黑白题016 题组3集合中的新运算问题 D.若x,y∈A,则x-yA 7.(多选)(2024·江苏苏州一中高一月考)定义 11.(2023·湖北十堰高一月考)给定数集A,若 集合运算：A☒B={zlz=(x+y)×(x-y),x∈A, 对于任意a,b∈A,有a+b∈A且a-b∈A,则 y∈B1,设A=12,N31,B=11,2},则( 称集合A为闭集合. A.1∈A☒B (1)判断集合A={-4,-2,0,2,4,B={x B.(A⑧A)⑧B=A☒(A⑧B) x=3k,k∈Z}是否为闭集合，并给出证明， C.A☒B中有4个元素 (2)若集合A,B为闭集合，则AUB是否一定 D.A☒B的子集有8个 为闭集合？请说明理由. 8.(2024·江苏南京高一月考)定义集合运算A- (3)若集合A,B为闭集合，且AR,B至R, B=x|x∈A且xB称为集合A与集合B的 证明：(AUB)R 差集：定义集合运算A△B=(A-B)U(B-A) 称为集合A与集合B的对称差，有以下4个命 题：①A△B=B△A:②(A△B)△C=A△(B△ C):③A∩(B△C)=(A∩B)△(A∩C):④AU (B△C)=(AUB)△(AUC).则4个命题中是 真命题的是 A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 9.集合G关于运算①满足：(1)对任 意的a,b∈G,都有a①b∈G:(2)存 在e∈G,对任意a∈G,都有a①e=e④a=a,则 称G关于运算④为“融洽集”，现给出下列集 合和运算：①G=非负整数}，⊕为整数的加 法：②G=偶数，①为整数的乘法：③G=二 次三项式}，①为多项式的加法.其中G关于运 算④为“融洽集”的是 .(填序号) 题组4集合中的新性质问题 10.(多选)(2024·黑龙江牡丹江高一月考)非 空集合A具有下列性质：①若x,y∈A,则 上∈A:②若，y∈A,则x+y∈A.下列选项正 确的是 A.-1年A B.2022 2023壁A C.若x,y∈A,则y∈A 第一章黑白题0171.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定 所以p为假命题.命题p的否定：Vx∈N,62-7x+2>0.故选C 5.C解析：由题意得3x∈R,使得x2+4x-1=0为直命题.当m=0时， 白题基础关 1.B解析：“任一个都成立”的否定为“存在一个不成立”，故命题的 =号符合题意：当m0时，只要4=16t加≥0即可，解得和≥-4 香定为3xexl>0,x3≤x故选B. 且m0,综上，m≥-4故选C 2.D解析：全称量词命题和存在量词命愿的否定，分两步走，换符号 6.x2心r<8解析：依据三角形三边之间的大小关系，列出不等式组 否结论.存在量词命题的否定为全称量词命题.排除AC选项：其中 中230可解得-2，因为>-2的否定应是x≤-2，故D选项正确 为-解得2<8故答案为1x2<8. 7.解：(1)由命题p:“HxeB,xEA"是真命题，可知BCA, 故选D. 2m+1≤3m-2, 四重难点拨 又B≠0，所以{2m+1≥-3，解得3≤m≤4 1.否定全称量词命现和存在量词命题时，一是要改写量词，全称量 3m-2写10. 词改写为存在量词，存在量词政万为全称量词：二是要否定结论. (2)因为B≠☑，所以2m+1≤3m-2.解得m≥3 2.判定全称量词命题”Vxe1,P(x)”是真命题，商要对集合M中 因为命题g:”了xeA,xeB”是真命题，所以A∩B≠O, 的每一个元素x,证明(x)成立：要判断存在量词命题是真命题，只 所以-3≤2m+1≤10或-3≤3m-2≤10，解得-2≤m≤ 1 要在限定集合内找到一个x=,使P(n)成立即可. 9 3.B解析：命题“某班所有的男生都爱踢足球“是一个全称量词命愿 综上，3≤m忘 2 它的否定是一个存在量词命题，分析四个选项，“某班至少有一个男 压轴挑战 生不爱踢足球“是所研究命题的否定，故选B, 4.C解析：由于x2+16-8x=(x-4)2≥0，x=4时取等号，因此命题p是 解：若命题p:3xeR,x2-2x+m-3=0为真命题.则4=4-4(m-3)≥0 假命题，它的否定是真命题，全称量词命题的否定是存在量问命题 解得m≤4：若命题g:HxeR,x2-2(m-5)r+m2+19≠0为直命题.则命 因此命题p的否定是3xex|>11,x2+16≤8x故选C. 题9：3x@R,x2-2(m-5)x+m2+19=0为假命题，即方程x2-2(m 5)x+m2+19=0无实数根，因此4=4(m-5)2-4(m2+19)<0.解得m 5.AC解析：对于A选项，原俞题的否定为x∈R,x2-x+ 4会0，是全 称量词命题：“2-+↓ -(-)广≥0命超的香定为直金 又p?都为真合愿.所以实数n的取值范国是ma≤4n一心 3 5 题，A正确.对于B选项原向题为全称量词命题，其否定为存在量问 }-{m4} 命题，B错误.对于C选项.原命题的否定为HxeR.x2+2x+2≠0： 四重难点拨 x2+2x+2=(x+1)2+1≥1，.x2+2x+2≠0恒成立，则命题的否定为 【.由命题真假求参数的方法步骤： 真命题，C正确.对于D选项，原命题的香定为对于任意实数x,都有 (1)求出每个命题是其命题时参数的取值览国： x+1≠0：当=-1时，x+1=0,.命题的否定为假命题.D错误.故 (2)根据每个命则的真假情况，求出参数的取值范围 选AC 2.全称量同命题可转化为恒成立问题： 6.解：(1)因为：3xER,x2=-1,所以命题p的否定：Vx∈R,x2-1. 含量词的命冠中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的 显然当xCR时，x2≥0，x2≠-1.命题p的否定为直命题 最值解决 (2)因为P:不论m取何实数，关于x的方程m2+x-1=0必有实 数根， 专题探究1集合的综合问题 所以命题p的否定：存在实数m,关于x的方程m2x2+x-1=0没有实 数根.当m=0时，方程-1=0有实根，当m≠0时，方程m'x+x-1=0 黑题 专题强化 的根的判别式4=1+4m>0,故命题p为真命题，命题p的否定为限 1.AD解析：，·∥=R,集合A=xx写a.集合B=|xx<1,则A=x 命题 x>a,若BU(CA)=R,则实数a的取值范围是1aa<1{:若B∩ (3):有的平行四边形的对角线相等，命题的否定：所有的平行四 (CA)=).则实数a的取值范围是{la≥1.故选AD. 边形的对角线都不相等，则命题？是真角题.命题的否定是假命题. 2.{al4≤a<5解析：由题意得A={x1-2<x<4,B=xl-2<x<51,因 7.B解析：因为一p为假命题，所以p为真命题，则不等式x2+2x-a>0 为aA且a■B,所以4≤a<5,故a的取值范围是|a|4≤a<5, 在R上恒成立，即a<x2+2x在R上恒成立.令y=x2+2x,则y= 3.(1)证明：设和A,后+=x0,将代入方程(x2+)2+a=x,等式 x2+24=(x+1)2-1≥-1.所以a<-1.故选B 成立，∴.x0是方程(x2+a)2+a=x的解，0∈B,∴.ACB 8.mm≥1|解析：因为“3xeR,品+2o+2=m"的否定是假命愿， 所以3eR,后+2+2=m“是直命怒.因此关于x的方程x2+ (2)解A≠0,2-x+a=0有实根，…4=1-4如≥0，a≤4 2x+2-m=0有实根，所以4=22-4×1×(2-m)≥0.解得m≥1，因此实 集合B为方程(x2+a)2+a=x即x+2x2-x+a2+a=0的根的集合。 数m的取值范用是m≥1.故答案为mm≥1， 由(1)的结论ACB,且集合A为方程x2-x+=0的根的集合， 1.5阶段综合 .因式x+2x2-x+a2+a分解后必定含有因式x2-x+a. 由多项式的除法得x+2ax2-x+a2+a=(x2-x+a)(x2+x+a+1) 黑题 阶段强化 ,A=B,.x2+r++1=0无实根或其根为方程x2-x+=0的根 1.A解析：命题“3xe{xx≥2，x2≤4“的否定是"Hxex|x≥2： x2>4",故选A. 当x2+r+a+1=0无实根时，4=1-4(a+1)<0,解得a> 2.D解析：根据全称量词命题的否定是存在量词命题.可知，费马大 当x2+x++1=0的根为方程x2-x+=0的根时， 定理的否定为“存在正整数n>2,关于x,y,:的方程+y=”至少 ①当x2+x+a+1▣0有两个不等实根时，其根不可能与x2-x+:=0的 存在一组正整数解”，故D正确.故选D. 3.AB解析：A中，当x=-1时，满足x2-x-2=0,所以A是真命题： 限相钢（香别设达两个不等去身，周仁侣无部小片 B中，15能同时被3和5整除，所以B是真命题：C中，因为所有实数 ②当x2+x+a+1=0有两个相等实根时，即4=1-4(a+1)=0,即a= 的平方非负，即x2≥0，所以C是假命题：D是全称量同命题，所以不 符合题意故选AB. 程的根为三了此根刚好是2-x+口=0的 4C解析：命题p为存在量问命圈，由6x2-7x+2≤0，得 2 26≤3 件综上，a的取值范围是-3。 4≤a4 参考答案黑白题007 4.C解析：对子集A分类讨论：当A是二元集{3,4时，此时B可以为 所以，AU(B△C)≠(AUB)△(AUC),④措.故选B 11.2.3,41,11,3,4},12,3,4,3,4,共4种结果：当A是三元集 9.①解析：根据题意，判断给出的集合对运算④是否满足条件(1) 11,3,4时.此时B可以为2,3,4,13,4.共2种结果：当A是三元 (2)即可.其中，条件(1)的含义是：集合G中任意两个元素关于运算 集{2,3,4时，此时B可以为11,3.4.{3,4，共2种结果：当A是四 ①的结果仍然是集合G的元素：条件(2)的含义是：集合G中存在元 元集11,2,3,4：时，此时B取13.4，有1种结果，知共有4+2+2+1= 素：，它与G中任何一个元素：关于运算④满足交换律，且运算结果 9(种)结果.故选C 等于a.①中，G=1非负整数，©为整数的加法，满足对任意a,beG 5.AD解析：对于A,当a=2时，B=10.-2.-11.此时C(B)=3. 都有a①b∈G,且存在=0，使得a④0=0④a=a,所以①中的G关于 故A正确：对于B.当a=0时.B=0,此时C(B)=1.故B错误：对 运算④为“隐洽集”：②中，G=侧数{，⊕为整数的乘法，若存在e∈ 于C,当a=0时，B=101,所以C(B)=1,A=|0,-1,所以C(A)=2, G,使a④e=④a=a.则e=1,与e∈G矛盾，所以2中的G关于运算④ 所以A◆B=1:当A◆B=1时，因为C(A)=2.所以C(B)=1或3.若 不是“陆治集”：③中，G=二次三项式1，④为多项式的加法，两个三 C1.满起公4o解得a=0若c(B=.图为方之 次三项式相加得到的可能不是二次三项式，所以③中的G关于运算 ①不是“融洽集”，综上，G关于运算④为“隐洽集”的只有①.故答案 =0的两个根，1=0,2=-a都不是方程x2+x+1=0的根，所以需 为①. 满起804 解得a=±2，所以“=0”是“A事B=1”的充分不必 10.AC 解析：对于人，若-1∈4，期}1eA,此时-1+1=0EA,雨当 要条件，故C错误；对于D,因为C(A)=2,要使得A率B=1,那么 C(B)=1或3.由C可知a=0或4=±2.所以S=|0.2,-2引，所以 -1e,=0EA时，。显然无意义，不满足兰EA所以-1足4， C(S)=3,故D正确：故选AD. 6.(1)解：，PCN”,P≠11,1+1=2∈P,1×1-0EP,P是“减0集”： 故A正确：对于B,若x0且xEA,则1=上后A,所以2=1+1eA, 同理.PN”,P≠|1,1+1=2∈P,1×1-1使P,.P不是“减1集”. 3=2+1eA.以此类推，得对任意的meN°.有n自A.所以2022eA. (2)证明：假设存在A是“减2集”，则若+yeA. 那么-2EA,当x+y=y-2时，有(x-1)(y-1)=3. 223e4,所以A,故B错讽：对于C,者eA.则0且 则xy…个为2，一个为4.所以集合A中有元索6， 但是3+3@A.3×3-2gA.与A是“减2集"矛盾， y≠0，义1后A,所以L后A,所以=其 ∈A,故C正确：对于D,因 当x+y≠y-2时，则x+y=y-1或x+y=y-m(m>2).若x+y=xy-1, M为除1以外的最小元索，则x=M-1,y=1时，xy-2=M-3小于M, 为2eA.1∈A,取x=2y=1,则x-y=1∈A,故D错误故选AC 若要符合题意，则M▣4，此时取x=2,y■2时.y-2=2不属于A.故 11.(1)解：集合A不是闭集合，集合B是闭集合.证明：4，-4∈A,但 不符合题意：m>2时.(x-1)(y-1)=m+1.同样得出矛盾， 是4-(-4)=8生A,.A不是闭集合：任取a,b∈B,设a=3m.b 综上所述，不存在“减2集”。 3n.m,neZ,则a+b=3m+3n=3(m+n)且m+n∈Z.a+beB,同理， (3)解：存在“减1集”AA1. 1-b∈B,故B是闭集合 ①D假设1©A,则A中除了元素1以外，必然还含有其他元素 (2)解：不一定.理由：令A=xlx=2k,keZ引，B=1x1x=3k,keZ引， 假设2∈A,1+1EA,而1×1-1EA,因此2生A 则由(1)可知.A,B为闭集合，但2,3∈(AUB),2+3=5E(AUB), 假设3∈A.1+2eA.而1×2-1∈A,因此3eA 因此可以有A=1.31, 因此4UB不一定是闭集合 假设4后A.1+3EA,而1×3-1EA,因此4华A (3)证明：（反证法）若AUB=R.:AR,,存在aeR且a￥A,放 假设5∈A.1+4EA,1x4-1∈A,2+3=5,2×3-1eA.因此5EA aeB.同理，，B军R..存在bER且b住B,故beA.a+b∈R=AU 因此可以有A=1,3.5. B,∴.a+bEeA或a+bEB.若a+b∈A,则由A为闭集合，得a=(a+b) 以此类推可得：A={1,3.5,…,2n-1,…(neN), b∈A,与aA矛盾：若a+b∈B,则由B为闭集合，得b=(a+b)-a∈ 所以满足条件A的集合为I,3,11,3,5,…,1xx=2n-1,neN·, B,与bB矛盾综上，存在cER.使得cE(AUB),即(AUB)R 7.AD解析：由题设A⑧B=0.1.2,故1eA@B,且共有3个元素，故 第一章章末检测 子集有8个，AD对.C错：A☒A=-1.0,11,则(A⑧A)©B=-2 -1.0.而A☒(A图B)=1-2.-1.1.2.31,显然(A☒A)☒B≠4图(A 1.C解析：由题意U={xeN1x<6=0,1,2.3.4,5,又A=0,2,4, ②B),B错：故选AD. 所以[A=|1,3,5,又B=1,2,5,所以(C1A)∩B=1,5引.故选C 8.B解析：对于①，B△A=(B-A)U(A-B)=(A-B)U(B-A)=A△B, 2.C解析：根据全称量词命题的否定为存在量词命题知，若命题P: ①对：对于②.A-B=x|x@A且xB引=|x|xeA且x￥(A门 “x>1,x2-1>0”,则p为“3>1，x2-1≤0”故选C. B)1=A-(A∩B),同理B-A=B-(A∩B),则A△B=(A-B)U 3.B解析：101是以0为元素的非空集合，故A错误：x2+x+2=0的 (B-A)=(AUB)-(A∩B),所以(A△B)△C=(A△B)UC-(A △=-7<0，无实数根，做B正确：相同集合的元素顺序可以不同.故 △B)门C表示的集合如下图中的阴影部分区域所示： C错误：同一集合不能有相同元素，故D错误故选B, 4.A解析：由A=B可知，两集合元素金部相等，得到口或 lab=b 0b,又根据集合互异性，可知a卡1，解得a=1(含)， 《h=1, {a三-la=l(合)，所以a=-1,6=0.则a2m+=(-1)2+ (b=0,(6=1 同理A△(B△C)=AU(B△C)-A∩(B△C)也表示如上图阴影部分 022=-1.故选A 区域所示，故(A△B)△C=A△(B△C).②对： 5.C解析：由图得A={xx2-8x+15=0=|3,5引，因为A∩B=B.所以 对于3.An(B△C)=A∩(BUC-BnC)=An(BUC)-An(BnC)= B二A,当=0时，r-1=0无解，此时B=☑，满足题意：当a≠0时. (AnB)U(AnC)-(A∩B)n(AnC)=(A∩B)△(AnC),3对： 对于④，如下图所示： 得=，所以=3或。=5，解a=或a=，综上，实数a的 值可以为0,3，了，不可以为3故选C 6.A解析：记D=A-B,则D是由集合A中的元素去掉A门B中的元素 后剩余部分组成的，面C-(A-B)=C-D是由集合C中的元素去掉 C门D中的元素后剩余部分组成的.故选A AUB△ AUB△AUC 7.D解析：因为A=|x∈Z11<x≤3引=|2,3.B=xeZ1x2-7x+10< 必修第一册·RJA黑白题008