1.1 集合的概念-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念 白题 基础过关 限时:30min 题组1 集合的概念与元素的特征 (2)设集合M为所有四边形组成的集合,集 1.(多选)(2024·江西景德镇高一期中)下列各 合N为所有平行四边形组成的集合;p表 ( 组对象中,可以组成集合的有 _ 示某个梯形,表示某个正三角形,则 M;p A. 高中数学必修第一册课本中所有的难题 N;q P M. B. 2023年参加杭州亚运会的全体运动员 8.(2024·山东滩坊高一期中)已知集合M= x. C. 小于9的所有素数 x+2.2,若0eM,则x= D. 高一年级视力比较好的同学 9. 已知集合A中的元素x满足x=m^{②}-n2(m.n 2.(2024·河北邢台高一期中)英文单词 7).试判断下列元素与集合A之间的关系 excellent的所有字母组成的集合共有( (1)0; A.6个元素 B.7个元素 (2)3; C.8个元素 D.9个元素 (3)4; 3.由a.lal,-a组成集合A.则集合A中的元素 (4)已知一个元素aEA.试判断-a与集合A 最多有 C ) 的关系,并说明理由 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4.(2024·安徽铜陵一中高一月考)已知正数集 合A=a.,a,a,al,则以a,a,a,a.为边 ( 长构成的四边形可能是 _ A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.梯形 题组2 元素与集合的关系 5.(2024·河北保定一中高一月考)下列选项 & 中正确的是 ~ A./2=N B.0=N C. aEa,b,cl D.0= 题组3 6.(2023·江西上饶高一月考)若A= (2,-2). 集合的表示方法 C (2.2),则集合A中元素有 - 10.集合1.3.5.7用描述法表示应为 _ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 A. xx是不大于7的非负奇数 7.用符号“E”或“”填空 B. xl1<x7 (1)集合A中的元素x满足x=5k+2.5Z.则 C. xlxEN且x<7 3 A. A;-3 D. xlx=乙且1<x<7 第一章 黑白题001 11.(多选)(2024·陕西汉中高一期中)下列说 重难聚焦 C 法中不正确的是 。 题组4 根据元素与集合的关系求参数 A.0与0表示同一个集合 $5.设集合A=-4.2a-1,2,B=9.a-5.1 B. 集合1.2.3与3.2.1是两个相同的 a,且A.B中有唯一的公共元素9,则实数 集合 a的值为 _. C. 方程(x-1)(x-2)=0的所有解组成的集 16.已知集合A=xlx-2x+a>0,且1A.则 合可表示为1,1,2{ 实数a的取值范围是 D. 集合xl4 x<5可以用列举法表示 17.(2023·江苏连云港高一期中联考)已知集 12.(2024·重庆南开中学高一月考)下列集合 合A=xlax2}+2x+1=0.aER. 中表示同一集合的是 ( ) (1)若A中只有一个元素,求a的值 A.M=(3.2)l,N= (2.3) (2)若A中至少有一个元素,求a的取值 B. M=(x,lx+y=1 ,N=ylx+=1 范围. C. M= 1.2,N= (1,2) D.M=ly=x$}+3},V=ly=-3$ 13.设集合A=2,4,B=1,2^,集合M={z= C ) A.3 B.5 C.7 D.9 14.(2023·湖北十堰高一月考)设集合B= #1). (1)试判断元素1和2与集合B的关系; (2)用列举法表示集合B 题组5 集合中的新定义问题 18.集合M由正整数的平方组成 即M=1.4.9,16.25.... .若对 某集合中的任意两个元素进行某种运算, 运算结果仍在此集合中,则称此集合对该 运算是封闭的,V对下列运算是封闭的 是 .(填序号) ①加法:②减法:③乘法:④除法 必修第一册·RJA 黑白题002 应用提优 限时:30min 1.(多选)(2023·福建泉州高一期中)给出下列 7.(2023·河南南阳高一期中)已知集合A= 说法,其中不正确的是 1.2.3 ,B= 1.m.n ,若2-mEA,n+2e/.$$ A. 集合xENlx=x用列举法表示为0.1 则m+n= B.实数集可以表示为xlx为所有实数或R 8.(2023·广东惠州高一期中)非空有限数集s [x+y=0. 满足:若a.beS.则必有a2,b,abeS.则满足 C.方程组 的解组成的集合为x= -y=-1 条件且含有两个元素的数集S= .(写 1 出一个即可) 9.已知集合A是由元素x组成的,其中x=mt D. 集合yly=x2}与 (x,y)ly=x是同一个 n/2,m.nE乙 集合 ( 2.若集合A-{xx*-4-0,则 _二 A.4EA B.(2EA (1-3v②),试判断x,x,x.与A之间的 C.2EA D.-2A 关系; 3. 方程x2=2x的所有实数根组成的集合为 _ (2)任取x,xA,试判断x.+x,xx与A之 A.(0,2) B. (0,2)) 间的关系. C. 0,21 D. 2=2x{ 4.(2023·湖北孝感高一期中联考)已知集 合A=4.a2+2a.2a+1,且3EA.则a= 。 __ A.1 B.-3或1 压轴挑战 C.3 D.-3 5.(2023·湖南衡阳高一月考)已知集合A= (2024·福建厦门高一月考)已知由实数组成 xl<4.集合B=xlxEN*且x-1EA .则$ B= (1)A能否是仅含一个元素的单元素集,试说明 A.0.1 B. 0,1,2{ 理由; C. 1,2,3/ D. 1.2,3,4{ (2)A中含元素个数一定是3n(neN)个吗? 6.(多选)(2023·河南洛阳高一月考)设所有被 若是,给出证明:若不是,说明理由 4除余数为h(k=0.1.2.3)的整数组成的集合 为A..即A.=xlx=4n+k,nEZ ,则下列结论 中正确的是 __ A. 2022eA. B. 若a+bEA.,则aEA.,beA C.-1eA. D. 若aEA,bEA,则a-beA 进阶突破 拨高练P01 第一章 黑白题003正文参考答案 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念 重难聚焦 $15.-3 解析:A=-4.2a-1.|,B=9.a-5.1-a ,且A.B中有唯 白题] 础 一的公共元素9:2a-1=9或a2=9.当2a-1=9时,a=5.此时A= 1. BC 解析:A选项,“难题”无法确定,所以不能组成集合.B选项, 1-4.9.25 .B=19.0.-4.A.B中还有公共元素-4.不符合题意;当 “2023年参加杭州亚运会的全体运动员”可以组成集合.C选项,“小 =9时,a=+3,若a=3.则B=19,-2,-2 ,集合B违背互异性.若 于9的所有素数”是“2.3.5.7”,可以组成集合,D选项,“视力比较 a-3.则A=-4.-7.9 .B=9.-8.4.AOB=91满足题 . 好”无法确定,所以不能组成集合.故选BC. .a=-3.故答案为-3. 2. A 解析:excellent的所有字母组成的集合为e.x.c.1.n.tì,共有 口重难点拨 6个元素.故选A 3.C 解析:根据集合中元素的互异性可知,集合A中的元素最多有 1. 研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素是什么,即弄清该 集合是数集,点集,还是其他集合;再看集合的构成元素满足的限制 2个.故选C. 条件是什么,从而准确把握集合的含义。 4. D. 解析:根据集合中元素的互异性可知,构成的四边形边长都不相 等,其中平行四边形,矩形和菱形对边均相等,不合要求,梯形的四 2. 利用集合元素的服制条件求参数的值或确定集合中元素的个数 边可能互不相等,故可能为梯形,故选D 时,要注意检脸集合中的元素是否满足互异性。 5. B 解析:对于A.v②不是自然数,故A错误;对于B.0是自然数,故 16. ala1解析:根据1A,可知元素1不满足x2-2x+a>0,故问 B正确;对于C.集合之间不用属于符号,故C错误;对于D.0不属于 题可转化为元素1满足不等式-2x+a0.即1-2+a0,解得 空集,故D错误.故选B. a1. 6.B 解析:因为A=1(2.-2).(2.2)1,所以集合A中有(2,-2). 17.解:(1)由题意,当a=0时,2x+1=0.得x=- -,集合A只有一个元 (2.2)两个元素.故选B. 7.(1)s(2)E = 素,满足条件;当a-0时,ax2+2x+1=0为一元二次方程,A=4-4a= 解析:(1)令5k+2=3.得1没有整数解,故3A;令5k+2=-3.得k= 0.得a=1,集合A只有一个元素x=-1,,.A中只有一个元素时a=0 -1.故-3eA.(2)梯形是四边形但不是平行四边形,故peM. 或=1. PN;正三角形不是四边形,故qM. (2)A中至少有一个元素包含两种情况:一个元素和两个元素,A中 8. -2 解析:因为0eM.若x=0.则x+2=2.与集合中元素的互异性矛 有两个元素时,a*0并且A=4-4a>0.得a<1且a0.再结合A中 盾,因此x≠0;若x+2=0.则x=-2.此时M=-2.0.21,满足题意.故 有一个元素的情况,.a的取值范围是ala1ì. 答案为-2. 18.③ 解析:本题属于新定义问题,采用特殊值可快速判断一1+4= 9.解:(1)'0=m-m(meZ).0=A 5aM.此集合对加法运算不是封闭的;4-1=3eM..此集合对 (2)3-2-1(2.1Z):3=A. 减法运算不是封闭的;2944=2.25eM..此集合对除法运算不是 (3)4-2*-0(2.0=乙):4=A. 封闭的;对于任意两个正整数a和b,a2和在集合M中,而 (4)-aeA.理由:由于aeA.则一定存在m.neZ满足a=m?-a,因 (ab)-a2?也在集合M中,因此M对乘法运算是封闭的 塑题 此-=-m.结合n,ns乙可知-sA. 10.A 解析:对于A选项,集合中的元素为1.3.5.7.符合题意.对于B 1. BCD 解析:对于A.集合xeN1x=xl中只含有两个元素0和1.所 选项,集合中的元素还包括2.4.6以及分数和无理数,不符合题意. 以用列举法表示为10.11.故A正确;对于B.R就表示实数集,实数 对于C选项.集合中的元素还包括0.2.4.6.不符合题意.对于D 集用 R为错误表示,另外花括号具有“所有的”意义,描述内容中不 选项,集合中的元素还包括2,4.6.不符合题意,故选A. 11. ACD 解析:0是元素不是集合,0)表示以0为元素的一个集合 故A错误;集合1.2.31与|3.2.11的构成元素完全相同,所以是 两个相同的集合,故B正确;方程(x-1)(x-2)=0的所有解组成 的集合可表示为1.2.集合中的元素是不同的,故C错误;集合 [(x.y)ly=x②}表示点集,所以两个集合不是同一个集合,故D错误 x14x5表示大于4且小于5的全体实数,有无数个,不能一 故选BCD. 列举出来,故不可以用列举法表示,故D错误,故选ACD 2.C 解析:因为A=xl-4-0l=l-2.21,所以2eA-2eA,4$A. 12. D 解析:对于A.两个集合都为点集.(3.2)与(2.3)是不同点, 故AD错误:21是集合,不是元素,故B错误,故选C 故M.V为不同集合,故A错误;对于B.是点集,V是数集。 3.C 解析:由x2=2x.解得x=2或x=0.所以方程x^2}=2x的所有实数 故M.N为不同集合.故B错误;对于C.V是数集.N是点集. 根组成的集合为x=R1r2-2x]=0.21.故选C. 故M,V为不同集合,故C错误;对于D.M=|yly=x2+3|=yly 4.D 解析:因为集合A=4.a2+2a.2a+1|.且3eA.所以a2+2a=3 31.=xly=x-3=lxlx3l,故M.为同一集合,故D正确 或$ a+1=3.当}+2a=3时,=1或=-3.当2a+l=3时,=1当=$$ 故选D. 1时,a}+2a=2a+l=3.集合A中的元素不满足互异性;当a=-3 $3.C 解析:当x=2.y=1时,:-2;当x2.y=2时,=1;当x=4.y= 时,A=4.3.-5 .符合题意,综上:=-3.故选D. 时,-4;当x=4.y=2时,=2.所以M=1.2,4),中所有元素之 5.C 解:A=x1x*4|=xl-2x2l,B=|xlx=N*且x- 和为7.故选C. 1=A.B=1.2.31.故选C. 6 14.解:(1)当x-1时.-=2-N: 6.ACD 解析;2022=4x505+2.所以2022eA,故A正确;若a b=A.,则aeA..beA.或aeA.bA.或aeA.,beA:或aeA 63 当x-2时-3N.所以1eB.2B. beA,故B错误;-1=4x(-1)+3.所以-1eA.,故C正确;令a= 4n+k,b=4m+k,m,n=Z,则a-b=4(n-m)+0.n-meZ,故a-b=A。, 故D正确.故选ACD. 7.-1 解析:因为2-meA.所以2-m=1或2-m=2或2-m=3.解 得B=10.1.41. 得m=1或m=0或ma-1.因为a+2eA.所以n+2=1或a+2=2或 参考答案 黑白题001 r+2=3.解得a=-1或a=0或n=1.又因为B= 1.m.n.所 $$ 相等集合,故A错误;B.集合M表示数集,有2个元素,分别是1和 0.集合N是点集,只有1个元素,为(1.0).所以不是相等集合,故 B错误;C.-4x+4=0.得x=2.即M-=21,故C正确;D.集合M 8. 0.1l(或 -1.1l)解析:不妨设5=a.b,根据题意有a?,ab. 是空集,但集合V是非空集,里面有1个元素.所以不是相等集合 =S.所以a?,b?,ab中必有两个是相等的. 故D错误.故选C 若=b},则a=-b,故ab=-^},又a?}=a或a}=b=-a,所以a=(含$$ 9.B 解析:因为A-B.根据题意a*0.故--0-b-0,所以a.0.1= 去)或a=1或a=-1,此时s-1-1.1; 若?=ab,则a=0,此时2-b,故b=1,此时$=0.1; ,a.0l,则a}=1.即a=土1.当a=1时,与集合的互异性矛盾,故舍 若=ab,则b-0.此时a2=a.故a=1.此时$-10.1ì; 去;当a=-1时,1-1.0.11=1.-1.0,符合题意,所以a2^m 综上,$=10.11或5=-1.11.故答案为0.1(或 -1.11). b2-1.故选B. 34/② 重难聚焦 3-42232×t4:=V9-42 10. D 解析:A=xl-7x<0.xN*|=1.2.3.4.5.6].即子集的个数 9-2V-8-2v8+1=(8-1)-8-1=-1+22xA. 为26=64.故选D. 'x=(1-3/2)}=19-6v2..xi4.综上.A,xA,x=A. 11.A 解析:因为集合A有15个真子集,所以集合A中有4个元素,所 (2)任取x..xA,设x.=m.+n②,x=m+n②,n,n,m,n 以-1mc0. 12.C 解析:因为A*B= 1.2.3.4,所以AB集合的子集的个数 Z.则.+x=(m.+n.v②)(m+n②)=(m.+m)+(n.+n)v2 其中m.+m.n.+neZ..x.+xA. 是2=16.故选C $3.1 解析:由题知A=-1.3.2m-1 .B=3.m|.若BCA.则m-1 x=(m.+n.2)(m+n2)=(m,m+2a,n)+(m,n+ 或m?=2m-1.当m?=-1时,方程无解;当m?=2m-1时,m?-2m+$ mn)/2. 1=0.解得m=1.此时,A= -1,3.11,B=l3,1,符合题意,所以m= 其中m.m.+2n.n,m.n.+ma:=Z..x.x:eA. 1.故答案为1. 综上,x:+=A,x,x:eA. 14{。)}# 压轴挑战 解析:由题意可知,集合lx1x?+x+a=0]是空集,即 解:(1)不能.理由:假设A中仅含一个元素,不妨设为a.则a=A,有 围值是故答案为( ) 0.即方程无实数根..不存在这样的实数a.故A不可能是单元素集合 (2)A中所含元素个数一定是3n(aeN)个.证明::1A.xA. 口重难点拨 1 A.- .- 1 _二 1.若BCA,应分B=②和B“②两种情况讨论。 。_ 2. 已知两个集合同的关系求参数时,关键是将两个集合同的关系 和_A.下证二 转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数满足的关系,解 决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图,化抽象为直观进行 求解 题 1-1时.r-x+1=0.A=1-4c0. 1.D 解析:由A=1.2,ACB可知B中包含元素1和2.所以B可以 方程-x+10无解._ 为1.2.3. 2.C 解析;对于①,集合与集合的关系是包含和包含于的关系,根据子 3n(neN)个. 集的定义知|1C0.1.21,错误;对于②,两集合元素相同,所以两 集合相等,即1.-3=1-3.11,正确;对于③,由子集性质知,任意集 1.2 集合间的基本关系 合是本身的子集,所以0.1.2C1.0.2.正确;对于④.空集是 基础过笑 回题 任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,所以C10.1.21.C 101.错误,综上,五个式子中错误的个数为3.故选C. 1.C 解析:ACB成立的含义是集合A中的任何一个元素都是集合B 3.B 解析:由A=1.a.b|可知a*1.b1.因为A=B,所以a=1或 的元素,不成立的含义是集合A中至少有一个元素不属于集合B.故 选C $*}=1$当a}=1时,得a=-1或a=1(含).则b=b},解得b=0或b=$ 2.C 解析:集合A由小于3的自然数组成,0eA.-1aA.只有C正确 (舍),此时A=11.-1.0l.B=|-1.1.0ì.符合题意,此时a·b= (-1)x=0;当&}=1时,得&=-1或b=1(含),则a=^},解得a=$ 故选C. 3. ala31解析:由题意可知3<a.故答案为lala→3ì. 或a=1(含).此时A= 1.0.-1l.B= -1.0.1.符合题意,此时a 4.A 解析:由于任何一个集合都是它本身的子集,空集的子集还是空 $=0x(-1)=0.综上所述.a·b=0.故选B. 4.B 解析:假设①a*-1错,②b=-1错,③c0对,因为la.b,cl= 集,故①不正确;由于空集的子集还是空集,所以空集的子集只有一 个,故②不正确;由于空集的子集还是空集,但不是真子集,故③不正 -1.0.1ì,所以有a=-1.b=0.c=1,此时a2-2b+4e=-144=3;假 确;由于②CA.则A为非空集合或A=②.故④不正确.综上,正确的 设①a≠-1错,③c0错,②=-1对,因为a-1错,必有a=-1.而 说法有0个,故选A. b--1.不符合集合元素的互异性,假设不成立;假设②b=-1错, 5.ABD 解析:由空集的定义知:0.A正确;C0.B正确; ③c0错,①a-1对,因为c:0错,所以c=0.因为b=-1错,所以 0.C错误:②②.D正确.故选ABD. b--1对,而a≠-1对,因此只能a=b=1,不符合集合元素的互异 6.AB 解析.1eR.P<0...无解,为空集,A符合题意;A=9-4x 性,假设不成立.综上所述:a2^*2-2b+4c=3.故选B. 6=-15<0.xER.:.方程无解,为空集,B符合题意;由x+2022= 2rn 2022得x=0.故C不符合题意;由(x+1)?+ly-21=0得x=-1.y=2. #)(-----_01 201 即(-1.2)e(x.y)1(x+1)+ly-21-0l,故D不符合题意.故选AB. 7.1.2(答案不唯一)解析:因为集合M满足|1.21CMC 1.2.3. 4.所以M-1.2或1.23或1.2.4或1.2.3.4. 8.C 解析:A.两个集合都是点集,两个集合的元素不相同,所以不是 必修第一册·RJA 黑白题002