第02讲 解一元二次方程（配方法）（2个知识点+2种题型+分层练习）- 2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第02讲 解一元二次方程（配方法）（2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 知识点2．配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 题型强化 题型一．解一元二次方程-配方法 1．（2023秋•常州期末）如图，在用配方法解一元二次方程时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是、宽是、面积是40的矩形割补成一个正方形，则的值是 　　． 2．（2023秋•大足区期末）用配方法解一元二次方程，此方程可化为　　 A． B． C． D． 3．（2024•灞桥区校级二模）解下列方程．（用配方法） 题型二．配方法的应用 4．（2023秋•沈丘县期末）无论，为何值代数式的值总是　　 A．非负数 B．0 C．正数 D．负数 5．（2023秋•莲池区校级月考）用配方法把代数式：化为的形式，当取 　　时，代数式的值最大是 　　． 6．（2023秋•东湖区校级期末）【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如： 求的最小值． 解： ， ， ， 即的最小值为． 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：　　． （2）求的最大值． （3）已知，求的值． 分层练习 一、单选题 1．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）用配方法解一元二次方程，步骤如下：①，②，③，④即，．其中开始错误的步骤是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）用配方法解方程时，配方后所得的方程为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）将方程配方成的形式，则，分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（22-23九年级上·山东济宁·期中）将式子化为的形式，其结果为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）用配方法解方程，变形后的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·全国·单元测试）若方程的左边可以写成一个完全平方式，则的值为(    ) A．或 B． C． D．或 7．（2024九年级上·全国·专题练习）已知，（x为任意实数），则关于P，Q的大小关系判断正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 8．（2024·山东东营·一模）小明和小林在探索代数式（）有没有最大（小）值时，小明做了如下探索： ∵， ∴小明的结论是的最小值为， 小林做了如下探索： ∵， 小林的结论是的最小值为2；则（    ） A．小明正确 B．小林正确 C．小明和小林都正确 D．小明和小林都不正确 9．（23-24九年级上·湖南衡阳·阶段练习）一元二次方程经过配方后，可变形为（    ） A． B． C． D． 10．已知，，下面关于A，B的三个结论：①关于x的方程的解是，②，③若式子的值为整数，则整数x的取值是3或7，其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 11．（23-24九年级上·全国·单元测试）将一元二次方程配方得 ． 12．（23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）代数式有最 值，其最值为 ． 13．（2024九年级上·全国·专题练习）若方程有解，那么的取值范围是 ． 14．（22-23九年级上·湖南永州·期中）用配方法解方程时，则方程需变形为 ． 15．（24-25九年级上·全国·课后作业）若一元二次方程的两根为a，b，且，则的值为 ． 16．（2024·内蒙古包头·模拟预测）若是方程的一个解，则代数式的最小值为 ． 17．（23-24九年级上·吉林·期末）将一元二次方程通过配方转化为的形式，则的值为 ． 18．用配方法解一元二次方程时，可将原方程配方成，则的值是 ． 三、解答题 19．（22-23九年级上·山东临沂·阶段练习）解方程：． 20．（23-24九年级上·全国·单元测试）用配方法解关于的一元二次方程． 21．（24-25九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 22．（23-24九年级上·全国·单元测试）（1）概念：当时，一元二次方程的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法． （2）计算：写出解方程，得到求根公式的过程． 23．（23-24九年级上·全国·单元测试）把方程配方，得到． (1)求常数与的值； (2)求出此方程的解． 24．（23-24九年级上·全国·单元测试）对于二次三项式，学完配方法后，小李同学得到如下结论：无论取何值，它的值都大于你是否同意他的说法？请你用配方法加以说明． 25．（23-24九年级上·全国·单元测试）（1）①比较与的大小：（填“”、“”或“=”） 当时，________； 当时，________； 当时，________． ②观察并归纳①中的规律，无论m取什么值，________填“”“”“”或“，并说明理由． （2）利用上题的结论回答：试比较与的大小关系，并说明理由． 26．（22-23九年级上·河南鹤壁·开学考试）“题载思想”，马明同学常对自己的错题进行“究错”，以下是摘自他的一篇究错日记，请你对马明所编的习题进行解答． 【错题日期】 9月18日 【错题来源】 当堂测验 【错题重现】 已知代数式，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值很小，最小值是多少？ 【所属考点】 配方法的应用 【错因分析】 误把代数式变形等同于方程变形，把二次项系数化为1时，直接除以二次项系数，导致本题错误． 【马明编题】 已知代数式，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是负数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最大，最大值是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 解一元二次方程（配方法）（2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 知识点2．配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 题型强化 题型一．解一元二次方程-配方法 1．（2023秋•常州期末）如图，在用配方法解一元二次方程时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是、宽是、面积是40的矩形割补成一个正方形，则的值是 　3　． 【分析】用配方法求解即可． 【解答】解：， ， ， ． 故答案为：3． 【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的配方法是解题的关键． 2．（2023秋•大足区期末）用配方法解一元二次方程，此方程可化为　　 A． B． C． D． 【分析】把常数项3移项后，在左右两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【解答】解：， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，熟知配方法的一般步骤是解题的关键． 3．（2024•灞桥区校级二模）解下列方程．（用配方法） 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得． 【解答】解：， ， 则， ，即， ， ，． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 题型二．配方法的应用 4．（2023秋•沈丘县期末）无论，为何值代数式的值总是　　 A．非负数 B．0 C．正数 D．负数 【分析】把含的放一块，配成完全平方公式，把含的放一块，配成完全平方公式，根据平方的非负性即可得出答案． 【解答】解：原式 ， ，， ， 即原式的值总是正数． 故选：． 【点评】本题考查了配方法的应用，对代数式进行正确变形是解题的关键． 5．（2023秋•莲池区校级月考）用配方法把代数式：化为的形式，当取 　　时，代数式的值最大是 　　． 【分析】利用配方法和非负数的性质解答即可． 【解答】解： ， ， ， 当取时，代数式的值最大是． 故答案为：；． 【点评】本题主要考查了配方法，完全平方式，非负数的应用，熟练掌握配方法是解题的关键． 6．（2023秋•东湖区校级期末）【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如： 求的最小值． 解： ， ， ， 即的最小值为． 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：　4　． （2）求的最大值． （3）已知，求的值． 【分析】（1）根据完全平方式结构直接添加常数项即可求解． （2）利用配方法配方即可解决问题； （3）利用配方法配方，然后求出最大值． 【解答】解：（1）根据题意，直接计算； 故答案为：4． （2） ， ， ， 即的最大值为9． （3）原式可化为， 即， ，， ，， ． 【点评】本题考查配方法的应用，非负数的性质等知识，解题的关键是掌握配方法解决问题． 分层练习 一、单选题 1．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）用配方法解一元二次方程，步骤如下：①，②，③，④即，．其中开始错误的步骤是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先两边乘以4，再开方，移项，合并同类项得出解并判断即可． 【详解】解：， 两边乘以4，得， 开方，得， 即， ∴． 其中开始错误得步骤是③． 故选：C． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）用配方法解方程时，配方后所得的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，移项后把左边配成完全平方式，右边化为常数即可得出结果． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）将方程配方成的形式，则，分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用，根据，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即，即可作答． 【详解】解：∵方程配方成的形式 ∴方程两边同时加上一次项系数一半的平方 ∴ 即 ∴， 故选：A 4．（22-23九年级上·山东济宁·期中）将式子化为的形式，其结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了配方法的应用，根据配方法的步骤求解即可． 【详解】解： 故选C 5．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）用配方法解方程，变形后的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方．先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可． 【详解】解：∵， ∴， 即：， 故选：C． 6．（23-24九年级上·全国·单元测试）若方程的左边可以写成一个完全平方式，则的值为(    ) A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的运用，根据完全平方式的特点，进行求解即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴或， ∴或； 故选D． 7．（2024九年级上·全国·专题练习）已知，（x为任意实数），则关于P，Q的大小关系判断正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将变形为，再结合非负性判断即可． 【详解】解：， ， 故选：A． 8．（2024·山东东营·一模）小明和小林在探索代数式（）有没有最大（小）值时，小明做了如下探索： ∵， ∴小明的结论是的最小值为， 小林做了如下探索： ∵， 小林的结论是的最小值为2；则（    ） A．小明正确 B．小林正确 C．小明和小林都正确 D．小明和小林都不正确 【答案】B 【分析】本题考查了配方法的应用，根据小明和小林的探究方法，分别求出当有最小值时的值即可判断，熟练掌握完全平方公式的形式是解题的关键． 【详解】解：小明的探究：， 则当，即时，有最小值为， 而无解， 小明的探究是错误的， 小林的探究：， 则当，即时，有最小值为2， 小林的探究是正确的， 故选：B． 9．（23-24九年级上·湖南衡阳·阶段练习）一元二次方程经过配方后，可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了配方法解方程，正确运用配方的基本要领解答即可． 【详解】， ， ， ， 故选C． 10．已知，，下面关于A，B的三个结论：①关于x的方程的解是，②，③若式子的值为整数，则整数x的取值是3或7，其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查的是配方法的应用，解分式方程，分式的值为整数的条件，理解题意是解本题的关键，先建立分式方程，解方程后可判断①，求解，再结合配方法可判断②，把化为，再结合分式的值可判断③． 【详解】解：∵，， ∴， 去分母得：， 解得：， 经检验是原方程的根，故①符合题意； ∵，， ∴ ， ∴，故②符合题意； ∵， 而式子的值为整数，为整数， ∴，， ∴或或或；故③不符合题意； 故选C 二、填空题 11．（23-24九年级上·全国·单元测试）将一元二次方程配方得 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法，先移项，得，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，，最后配成完全平方公式，据此即可作答． 【详解】解：∵ ∴先移项，得 则 ∴ 故答案为： 12．（23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）代数式有最 值，其最值为 ． 【答案】 小 1 【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法把原代数式变形为，根据得到，据此可得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值1， ∴有最小值，最小值为1， 故答案为：小，1． 13．（2024九年级上·全国·专题练习）若方程有解，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一个数的平方是非负数，熟练掌握该特征是解题的关键；本题考查因为方程为形式，左边是一个完全平方式，总是大于等于，所以在有解的情况下要求． 【详解】解：依题意，在方程中，， 故． 故答案为： 14．（22-23九年级上·湖南永州·期中）用配方法解方程时，则方程需变形为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，即可得出答案．解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即． 故答案为：． 15．（24-25九年级上·全国·课后作业）若一元二次方程的两根为a，b，且，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先解一元二次方程，得出a、b的值，然后求出的值即可． 【详解】解：， 移项得：， 方程两边同除以4得：， 方程两边同加上得：， 配方得：， 开平方得：， 解得：，， ∵一元二次方程的两根为a，b，且， ∴，， ∴． 故答案为：0． 16．（2024·内蒙古包头·模拟预测）若是方程的一个解，则代数式的最小值为 ． 【答案】36 【分析】该题主要考查了二元一次方程的解，完全平方公式等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 将代入求出，再代入化简即可得即可求解； 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴， ∴ ， ∴代数式的最小值为36． 故答案为：36． 17．（23-24九年级上·吉林·期末）将一元二次方程通过配方转化为的形式，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查配方法．根据配方法的步骤进行配方即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：10． 18．用配方法解一元二次方程时，可将原方程配方成，则的值是 ． 【答案】20 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．根据配方法的一般步骤，将配方为，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即 ∴． 故答案为：20． 三、解答题 19．（22-23九年级上·山东临沂·阶段练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用配方法解方程即可． 【详解】解： ∴． 20．（23-24九年级上·全国·单元测试）用配方法解关于的一元二次方程． 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．找出一次项系数，根据完全平方公式进行配方即可求解． 【详解】解： ，且， ∴ ∴． 21．（24-25九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键： （1）配方法解方程即可； （2）配方法解方程即可； （3）配方法解方程即可； （4）配方法解方程即可． 【详解】（1）解： ， ∴； （2） ∴； （3） ∴； （4） ， ∴． 22．（23-24九年级上·全国·单元测试）（1）概念：当时，一元二次方程的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法． （2）计算：写出解方程，得到求根公式的过程． 【答案】见解析 【分析】题目主要考查利用配方法得出一元二次方程的公式法，熟练掌握配方法是解题关键． 利用配方法求解即可． 【详解】解：， 方程两边同时除以a得：， ∴， ∴， 当时，原方程有解， ∴， ∴． 23．（23-24九年级上·全国·单元测试）把方程配方，得到． (1)求常数与的值； (2)求出此方程的解． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法， （1）移项，配方即可得出，，即可得解； （2）将的值代入后配方得出，开方得出，即可得解； 解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①将二次项系数化为， 当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数； ②将常数项移到方程的另一边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式； ③配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴，， 解得：，； （2）∵， ∴， ∴， ∴方程的解是：，． 24．（23-24九年级上·全国·单元测试）对于二次三项式，学完配方法后，小李同学得到如下结论：无论取何值，它的值都大于你是否同意他的说法？请你用配方法加以说明． 【答案】同意，理由见解析 【分析】本题考查配方法的应用，非负数的性质，同意，理由为：已知多项式变形后，配方得到结果，根据完全平方式大于等于即可得解．掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：同意． 理由： ， ∴无论取何值，它的值都大于 25．（23-24九年级上·全国·单元测试）（1）①比较与的大小：（填“”、“”或“=”） 当时，________； 当时，________； 当时，________． ②观察并归纳①中的规律，无论m取什么值，________填“”“”“”或“，并说明理由． （2）利用上题的结论回答：试比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）①；；；②，理由见解析；（2），理由见解析 【分析】此题考查了配方法的应用，不等式的性质 ，熟练掌握用作差法比较两个数或两个代数式的大小是解题的关键； （1）①分别将m的值代入计算，再进行比较即可；②将两个式子作差得，根据完全平方的非负性，即可得出答案； （2）两个代数式作差，得到完全平方形式，比较大小，即可得出答案． 【详解】解：①当时，，，则， 当时，，，则， 当时，，，则， 故答案为；；；； ②，理由如下：， 无论m取何值， ∴无论m取何值，总有； 故答案是：； （2），理由如下： ∵ ∴． 26．（22-23九年级上·河南鹤壁·开学考试）“题载思想”，马明同学常对自己的错题进行“究错”，以下是摘自他的一篇究错日记，请你对马明所编的习题进行解答． 【错题日期】 9月18日 【错题来源】 当堂测验 【错题重现】 已知代数式，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值很小，最小值是多少？ 【所属考点】 配方法的应用 【错因分析】 误把代数式变形等同于方程变形，把二次项系数化为1时，直接除以二次项系数，导致本题错误． 【马明编题】 已知代数式，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是负数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最大，最大值是多少？ 【答案】证明见解析；当x取1时，这个代数式的值最大，最大值是 【分析】本题考查了配方法的应用：配方法的理论依据是公式．二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．首先将代数式变形为，根据非负数的意义即可得到结论．首先将代数式变形为，根据非负数的意义即可得到结论． 【详解】解：， 不论取何值，这个代数式的值总是正数；当取1时，这个代数式的值很小，最小值是5； ， 不论取何值，这个代数式的值总是负数；当取1时，这个代数式的值最大，最大值是． 学科网（北京）股份有限公司 $$